高中数学空间几何体文人教实验A必修2知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学空间几何体高二数学空间几何体 文文 人教实验人教实验 A A 版版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 空间几何体 二. 重点、难点： 1. 空间几何体的结构 柱体锥体台体球体 多面体棱柱棱锥棱台 旋转体圆柱圆锥圆台球 2. 三视图与直观图，斜二测画法 3. 表面积与体积 各个面面积之和 多面体 ShSV 柱 )(2cabcabS 长方体 hSV 3 1 锥 2 6aS 正 hSSSSV)( 3 1 下上下上台 )(2lrrS 圆柱 hrV 2 圆柱 )(lrrS 圆锥 hrV 2 3 1 圆锥 )( 21 2 2 2 1 lrlrrrS 圆台 hrrrrV)( 3 1 21 2 2 2 1 圆台 2 4 rS 球 3 3 4 rV 球 【典型例题典型例题】 例 1（1）棱柱有 个面 个顶点 棱 个侧面 侧n 棱。 （2）棱锥有 个面 个顶点 棱 个侧面 侧棱。n （3）棱台有 个面 顶点 棱 个侧面 侧棱。n 解：解： （1）nnnnn,3 ,2 , 2 （2）nnnnn,2 , 1, 1 （3）nnnnn,3 ,2 , 2 例 2 下列命题中正确的是（ ） 用心 爱心 专心 A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 的几何体叫棱柱 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 答案：答案：C 例 3 若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能 是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 圆台 答案：答案：C 例 4 已知正三角形 ABC 边长为，那么的平面直观图的面积为 aABCCBA 。 解：解：如图 aBAaBOAO 2 1 aCO 4 3 过 C 作于 BADC D 45DOCaDC 8 6 2 16 6 2 1 aDCBAS CBA 例 5 中，（）分别绕 BC、AC、AB 旋ABCRt90CbAC aBC ba 转三角形得三个旋转体，其体积的由大到小顺序为 。 cba VVV、 解：解：abVa 2 3 1 用心 爱心 专心 baVb 2 3 1 22 22 222 22 3 )( 3 1 ba ba ba ba ab Vc 0)( 3 1 baabVV ab ab VV 1 3 1 22 2 ba a abVV ca 0)( 3 22 22 2 aba ba ab ca VV cab VVV 例 6 圆柱全面积为 S，侧面积为 Q，求体积。 解：解：设底面半径为，高为rh )(2 2 2 22 2 2 QS Q h QS r Qrh Srrh )(2 4 2 QS Q hrV 例 7 圆锥全面积为，求体积的最大值。 解：解：设底面半径为，高为，母线长为rhl 2 1 1 2 2 222 2 r h r r l hrl rlr 8 1 ) 4 1 (2 3 2 3 2 1 3 1 3 1 2242 2 22 rrr r rhrV 用心 爱心 专心 ，时， 4 1 2 r 2 1 r 12 2 max V 例 8 球、正方体、等边圆柱（轴截面为正方形，即）等边圆锥（轴截面为正，rl2 ）体积相等，则表面积的大小关系。rl2 解：解： 设体积为 V，正方体棱长为，圆柱底面半径为，圆锥底面半径为，球半径为a 1 r 2 r 3 r （1）正方体：， 3 aV 3 1 Va 3 2 2 1 66VaS （2）圆柱：， 3 1 2 rV 3 2 32 12 3 1 546, 2 VrS V r （3）圆锥： 3 2 32 23 3 2 3 2 3243, 32 , 6 3 VrS V rrV （4）球： 3 2 . 3 2 34 3 3 3 3 364, 4 3 , 3 4 VrS V rrV 4213 SSSS 例 9 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球 过这个正方体的各个顶点。 （1）求这个三个球的表面积之比 （2）求这个三个球的体积之比 解： （1） 2 1 , 2 ,2aS a rar 2 2 2, 2 2 ,22aSarar 2 3 3, 2 3 ,32aSarar 3:2:1: 321 SSS 用心 爱心 专心 （2） 6 ) 2 ( 3 4 3 3 1 aa V 3 2 ) 2 2 ( 3 4 3 3 2 a aV 2 3 ) 2 3 ( 3 4 3 3 3 a aV 33:22:1: 321 VVV 例 10 长方体中，AB=3，BB1=2，BC=1，求沿表面由 A 到 C1的最短 1111 DCBAABCD 距离。 解：解：主要研究长方体的表面展开图 （1）沿，展开， 11C B 11D C 11A D2333 22 1 AC （2）沿 BB1，B1C1，C1C 展开，2651 2 1 AC （3）沿展开， 111 ,BCCCBC5242 22 1 AC 用心 爱心 专心 最小为 1 AC2 例 11 正四棱台两底面面积分别为，侧棱长为，求这个棱台的体积， 22 49,25cmcmcm23 表面积以及截得这个棱台的原棱锥的高。 解：解： （1）17 23 1 7 5 1 1 11 DB BB BD AB BA 17)75( 2 1 4)4925( 表 S 2 )172474(cm （2）4 23 2 27 25 1 1 11 EC CC CE AC CA 3 3 436 4)354925( 3 1 cmV （3） 2 2 5 1 FC2 2 7 CQ4 1 EC PQ=14 CQ FC PQ ECPQ 11 PQPQ5287 14 锥 h 用心 爱心 专心 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：50 分钟） 1. 由图 M 中的哪个平面，图形旋转得到图 N（ ） 图 M 图 N 2. 下图中不可能围成正方体的是（ ） 3. 木星的体积约为地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的 倍。30240 4. 如图锥高为，图 I 中水面高度为，将圆锥倒置图 II 中水面高度为 。cm8cm4 用心 爱心 专心 I II 5. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥 6. 一个圆锥底面半径为，高为，在其中有一个内接圆柱，求表面积最大值。cm2cm6 7. 一个长方体相邻的三个面的面积分别为 2，4，8，则体积为 。 8. 一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，r 水面高度恰好升高（球浸泡在水中） ，则 。r r R 9. 一个正方体的底面积和一个圆柱底面积相等，且侧面积相等，求正方体与圆柱的体积 比。 10. 把一个半径为的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的 3 倍， 3 25cm 则这个圆锥的高为 。 11. 平行于棱锥底面的平面，把棱锥的高三等分，则棱锥被分成三部分体积比为 。 12. 正四棱锥底面积为 S，侧面积为 Q，则体积为 。 13. 已知圆锥全面积是底面积的三倍，那么这圆锥侧面展开图扇形圆心角为 。 14. 一箱子顶部有三种设计方式 单向倾斜； 四向倾斜； 双向倾斜，体积分别均 为，则大小关系为 。 321 VVV、 15. 一飞行昆虫被长的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围体积为 。cm12 用心 爱心 专心 【试题答案试题答案】 1. A 2. D 3. 设半径为 rR,30240 3 4 3 4 3 3 r R V V 地 木3 2 3 2 3 2 9 3 532rR rrR120532 2 1 2 1 2 3 120 4 4 2 2 r R S S 地 木 4. 3 ) 2 1 ( V V空 VV 8 1 空 VV 8 7 水 8 7 ) 8 ( 3 h V V水 3 74h 5. D 6. 设圆柱底面半径为，高为 rh 6 6 2 hr rh36 hrrS22 2 表 )36(22 2 rrr622 2 rr 34 2 rr 4 9 ) 2 3 (4 2 r 时， 2 3 r9 max S 7. 设长宽高为cba, V=8 8 4 2 ca bc ab 8abc 8. rRr 23 3 4 22 3 4 rR rR 3 32 3 32 r R 9. 设正方体棱长为，圆柱底面半径为，高为arh 用心 爱心 专心 ah ar arh ra 2 1 42 2 22 3 aV 正 322 221 aaahrV 柱 2: 柱正 VV 10. 设圆锥底面半径为，高为rh 1000 33 4 3 rV球 rl hr rrl hrV 3 1000 3 1000 33 1 2 2 2 8000 8 1000 3 22 2 h rh hr 20h 11. 3 )( h h V V 小小 27:8:13:2:1)( : )( : 333 下中上中上上 VVVVVV 19:7:1: 下中上 VVV 12. 设底面边长为，高为ah 2 2 2 42 1 4h a aQ aS S SQ h