高中数学立体几何同步和单元苏教必修2

第九章 直线、平面、简单几何体1、平面的基本性质1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（ ）A， B，C， D，2下列推断中，错误的是（ ）A C，且A,B,C不共线重合 B D3两个平面把空间最多分成_ 部分，三个平面把空间最多分成_部分4判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）5看图填空 （1）ACBD= （4）平面A1C1CA平面D1B1BD= （2）平面AB1平面A1C1= （5）平面A1C1平面AB1平面B1C= （3）平面A1C1CA平面AC= （6）A1B1B1BB1C1= 66选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A三角形B菱形C梯形D四边相等的四边形（2）空间四条直线每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）A 1个B 4个C 6个D 8个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的（ ） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要7已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面. 答案：1. C 2. D 3. 2,4,8 4. 5.OA1B1OOO1B1B16. 答案： D C D7. 证明：因为a/b，由推论3，存在平面，使得又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，下面用反证法证明直线：假设，则,在平面内过点C作，因为b/c，则，此与矛盾.故直线.综上述，a、b、c、d四线共面. 2、线线问题及线面平行问题1判断题（对的打“”，错的打“”） （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（ ）EAFBCMND （2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则ABCD（ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60（ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（ ）2右图是正方体平面展开图，在这个正方体中BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）（A）（B）（C）（D）3已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若ACBD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若ABBCCDDA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇4完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec求证：BD和AE是异面直线证明：假设_ 共面于g，则点A、E、B、D都在平面_内 QAa，Da，_. QPa，P_.QPb，Bb，Pc，Ec _g，_g，这与_矛盾 BD、AE_5 已知分别是空间四边形四条边的中点，（1）求证四边形是平行四边形（2）若ACBD时，求证：为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求；（4）若AC、BD成30角，AC=6，BD=4，求四边形的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.6 空间四边形中，分别是的中点，求异面直线所成的角7. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.翰林汇翰林汇8在长方体中，已知AB=a，BC=b，=c(ab)，求异面直线与AC所成角的余弦值 9如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）若， 求异面直线与所成的角的大小10如图,正方形与不在同一平面内,、分别在、上，且求证：平面参考答案：1.（1） （2） （3） （4） 2. C3. 证明：(1)ABCD是空间四边形,A点不在平面BCD上,而C平面BCD,AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C,又BD平面BCD,且CBD.AC与BD是异面直线.(2)解如图,E,F分别为AB,BC的中点,EF/AC,且EF=AC.同理HG/AC,且HG=AC.EF平行且相等HG,EFGH是平行四边形.又F,G分别为BC,CD的中点,FG/BD,EFG是异面直线AC与BD所成的角.ACBD,EFG=90o.EFGH是矩形.(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.4. 答案：假设BD、AE共面于g，则点A、E、B、D都在平面 g 内Aa，Da， a g. Pa，P g .Pb，Bb，Pc，Ec. b g，c g，这与a、b、c不共面矛盾BD、AE是异面直线翰林5. 证明（1）：连结，是的边上的中点，同理，同理，所以，四边形是平行四边形证明（2）：由（1）四边形是平行四边形，由ACBD得，为矩形.解（3）：由（1）四边形是平行四边形BD=2，AC=6，由平行四边形的对角线的性质 .解（4）：由（1）四边形是平行四边形BD=4，AC=6，又，AC、BD成30角，EF、EH成30角，四边形的面积 .解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，MBMDNANC，MN是AC与BD的公垂线段且 AC与BD间的距离为. 6. 解：取中点，连结，分别是的中点，且，异面直线所成的角即为所成的角，在中，异面直线所成的角为7. 解(1)如图,连结BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方体,DD1平行且相等BB1.DBB1D1为平行四边形,BD/B1D1.A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形,A1BD=60o,A1BD是锐角,A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.O为BD中点,OE/BD1.EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDAEDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是AC的中点,EOAC,EOA=90o.又EOA是异面直线AC与BD1所成角,AC与BD1成角90o. 8. 解(1)如图,连结BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方体,DD1平行且相等BB1.DBB1D1为平行四边形,BD/B1D1.A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形,A1BD=60o,A1BD是锐角,A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.A1B与B1D1成角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.O为BD中点,OE/BD1.EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDAEDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是AC的中点,EOAC,EOA=90o.又EOA是异面直线AC与BD1所成角,AC与BD成角90o. 9. 略证（1）取PD的中点H，连接AH， 为平行四边形解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，OM=2，ON=所以，即异面直线与成的角10. 略证：作分别交BC、BE于T、H点从而有MNHT为平行四边形3、线面垂直问题1（1）“直线垂直于平面a内的无数条直线”是“a”的（ ）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线与平面a的一条垂线垂直，那么直线与平面a的位置关系是（ ）（A）a （B）a （C）a （D）a或a 答案：（1）B (2)D2（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一3能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？ 答案：（能，而且有无数条） （不能）4拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.5一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内.6过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个？为什么？答案：是.假若有两个平面过点A都于垂直，过这条公共垂线作一个不经过两平面的交线的平面，与分别相交于直线且，从而有，此与矛盾.7如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面答案：是8点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：证明：连结，且（三垂线定理逆定理）同理，为的垂心，又，（三垂线定理）9如图，已知ABCD是矩形，SA平面ABCD，E是SC上一点求证：BE不可能垂直于平面SCD证明：用到反证法，假设BE平面SCD， ABCD；ABBE ABSB，这与RtSAB中SBA为锐角矛盾 BE不可能垂直于平面SCD 10 已知：空间四边形，求证：证明：取中点，连结，平面，又平面，4、空间向量坐标运算 二面角与距离1设，且，记，求与轴正方向的夹角的余弦值2在ABC中，已知AB(2,4,0),BC(1,3,0)，则ABC3已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)，求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量分别与向量垂直，且|，求向量的坐标4直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值5如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小6如图，正方体的棱长为1，求：（1）与所成角；（2）与平面所成角的正切值；（3）平面与平面所成角7已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，（1）求证：是异面直线和的公垂线；（2）求异面直线和的距离参考答案：1设，且，记，求与轴正方向的夹角的余弦值解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，即为所求2在ABC中，已知AB(2,4,0),BC(1,3,0)，则ABC解： ABC453已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量分别与向量垂直，且|，求向量的坐标分析：BAC60，设(x,y,z)，则解得xyz1或xyz1，(1,1,1)或(1，1，1).4直角的斜边在平面内，与所成角分别为，是斜边上的高线，求与平面所成角的正弦值解：过点作于点，连接，则，为所求与所成角，记为，令，则，则在中，有在中，与平面所成角的正弦值.5如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小分析：点可能在二面角内部，也可能在外部，应区别处理解：如图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时， 面同理，面而面面面与面应重合即在同一平面内，则是二面角的平面角在中， 在中， 故（图1）或（图2）即二面角的大小为或说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角6如图，正方体的棱长为1，求：（1）与所成角；（2）与平面所成角的正切值；（3）平面与平面所成角解：（1） 与所成角就是平面 （三垂线定理）在中， （2）作，平面平面平面，为与平面所成角在中， （3） 平面又平面 平面平面即平面与平面所成角为7已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，（1）求证：是异面直线和的公垂线；（2）求异面直线和的距离解：（1）解法一：延长交于，则为的中点， ，连结，则，又是的中点，是异面直线和的公垂线（2）由（1）知，解法二：建立空间直角坐标系，用坐标运算证明（略）引申：求与间的距离解法一：（转化为到过且与平行的平面的距离）连结，则/，/平面，连，可证得，平面，平面平面，且两平面的交线为，过作，垂足为，则即为与平面的距离，也即与间的距离，在中，（解法二）：坐标法：以为原点，所在的直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，则，由（解法一）求点到平面的距离，设，在平面上，即，解得：，解法三：直接求与间的距离设与的公垂线为，且，设，设，则，同理，解得：，5、棱柱与棱锥1判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；（2）正四面体是四棱锥；（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥；（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥2 如图平行六面体中，求对角面的面积3已知：正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离4棱长为的正方体中，分别为棱上的动点，且，（1）求证：；（2）当的面积取得最大值时，求二面角的大小5 如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点求异面直线MN与所成的角6在三棱锥中，为正三角形，为中点，二面角为，（1）求证：；（2）求与底面所成的角，（3）求三棱锥的体积CBOC1B1A1A7 斜三棱柱的底面的边长是4cm的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱与底面相邻两边都成角.(1)求证:侧面是矩形;(2)求这个棱柱的侧面积;(3)求棱柱的体积.参考答案：1判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥，（2）正四面体是四棱锥，（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥答：（1）错 ，（2）错，（3）错，（4）对2 如图平行六面体中，求对角面的面积解：，所以，对角面是矩形，它的面积是3已知：正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离解：（1）连结，设交于，连结，是正方形，又底面，是二面角的平面角，在中，又，二面角为（2）作于，平面，平面，即为点到平面的距离，在等腰直角三角形中，所以，点到平面的距离为4棱长为的正方体中，分别为棱上的动点，且，（1）求证：；（2）当的面积取得最大值时，求二面角的大小证：（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，（2）由，则，当且仅当，即时等号成立，此时分别为的中点，取的中点，连，则，根据三垂线定理知，即为二面角的平面角，在中，在中，所以，二面角的大小是5 如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点求异面直线MN与所成的角解：，()，又， cos，即异面直线MN与所成的角为6在三棱锥中，为正三角形，为中点，二面角为，（1）求证：；（2）求与底面所成的角，（3）求三棱锥的体积解：（1）取的，连结，则，由，知，由为正三角形，得，又，平面，平面，（2）作，垂足为，平面，平面，平面，与底面所成的角，由，知是二面角的平面角，又，与底面所成的角为（3）为中点，到平面的距离，CBOC1B1A1A7 斜三棱柱的底面的边长是4cm的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱与底面相邻两边都成角.(1)求证:侧面是矩形;(2)求这个棱柱的侧面积;(3)求棱柱的体积.证明(1):与所成的角都为,A在面ABC上的射影O在的平分线上.又是正三角形 .又, ,四边形是矩形.(2)解:,又,.另法：可以作出直截面. (3)解:作,垂足为E,连结AE,则. 在中, 在中, 在中, 6、欧拉定理与球 1 一个面体共有8条棱，5个顶点，求2一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F2V44有没有棱数是7的简单多面体？说明理由5是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为 已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是 球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为 北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为 7北纬圈上有两地，在东径，在西径，设地球半径为，两地球面距离为 ；8一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为，则球半径为 ；9.设地球的半径为R，在北纬45圈上有A、B两点，它们的经度相差90，那么这两点间的纬线的长为_，两点间的球面距离是_10球的大圆面积增大为原来的倍，则体积增大为原来的 倍；11三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；12.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；14.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 15球O1、O2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比16表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积17 正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积练习参考答案：1 一个面体共有8条棱，5个顶点，求解：，即2一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：，即3一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F2V4证明：，VFE2 VF2F2V44有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E7，VFE2，VF729 ，多面体的顶点数V4，面数F4只有两种情况V4，F5或V5，F4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，没有棱数是7的多面体5是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数也都是奇数，则，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 不存在这样的多面体 6过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为 已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是 球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为 北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为 答案：一个或无数个 7北纬圈上有两地，在东径，在西径，设地球半径为，两地球面距离为 ；答案：8一个球夹在二面角内，两切点在球面上最短距离为，则球半径为 ；答案：9.设地球的半径为R，在北纬45圈上有A、B两点，它们的经度相差90，那么这两点间的纬线的长为_，两点间的球面距离是_分析：求A、B两点间的球面距离，就是求过球心和点A、B的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出A、B两点所在纬度圈的半径解：连结AB设地球球心为O，北纬45圈中心为O1，则O1OO1A，O1OO1B O1AO1BO1O两点间的纬线的长为： A、B两点的经度相差90，在中，两点间的球面距离是：10球的大圆面积增大为原来的倍，则体积增大为原来的 倍；答案： 8 11三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；答案： 3 12.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；答案： 7 13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；答案： 6 14.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 答案： ，15球O1、O2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为、， 三个球的表面积之比是16表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，又，17 正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等解：如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H由题设AOFAEG ，得AO1HAOF ，得另法：以O为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到，。7、立体几何高考题型 热点之一：点、线、面问题 包括平面的基本性质、空间的直线和平面的位置关系及判定方法，特别注意三垂线定理及其逆定理的应用。1已知是两个平面，直线若以，中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个2把边长为的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的线折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高为（ ）（A） （B）（C） （D）3在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）4如右图，点E是正方体的棱的中点，则过点E与直线和都相交的直线的条数是（ ） （A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）无数5在正方体中，写出过顶点A的一个平面_，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。热点之二：空间角与距离问题三个角：包括两条直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；八个距离：包括点到直线的距离、点到面的距离、两条平行直线的距离、异面直线的距离、直线与平行平面的距离、两个平行平面之间的距离、球面上两点的距离。 在求角或距离时，一定要“先找后解”。6如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，(1)与所成角的大小是_;(2) 与所成角的大小是_;(3) 与所成角的大小是_;(4)与所成角的大小是_;(5)与所成角大小是_;(6)与平面所成角的大小是_;(7)与平面所成角的大小是_;(8)二面角的大小是_;(9)二面角的大小是_;(10)二面角的大小是_;7将锐角为60，边长为的菱形沿较短的对角线BD折成60的二面角后，（1）求异面直线与的距离；（2）求三棱锥的体积；（3）求D到面的距离。8.已知斜三棱柱ABCA1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，ABC=90，BC=2，AC=2，且AA1 A1C，AA1= A1 C求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；求顶点C到侧面A1 ABB1的距离热点之三：表面积与体积问题9.棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积记作、，则( ) (A) (B) (C) (D)10三棱台的上底面积为4，下底面积为9，且三棱的体积为9，则三棱台的体积为( ) (A)19 (B)18 (C) (D)11直四棱柱的体积等于1，底面为平行四边形，则四面体体积为_。热点之四：立几综合题12.直四棱柱的侧棱的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为的中点。()求证:平面BCE平面BDE;()求二面角E-BD-C的大小;()求三棱锥的体积. 参考答案：1C 2 D 3B 4B 5面6（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8）（9） （10）7（1）（2）（3）8解：作A1DAC，垂足为D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，所以A1AD为A1A与面ABC所成的角.因为AA1A1C，AA1=A1C，所以A1AD =45为所求. 解：作DEAB，垂足为E，连A1E，则由A1D面ABC，得A1EAB.所以A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知，ABBC，得EDBC.又D是AC的中点，BC=2，AC=2，所以DE=1，AD=A1D=， tgA1ED=.故A1ED=60为所求.解：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离.连结HB，由于ABBC，得ABHB.又A1EAB，知HBA1E，且BCED，所以HBC=A1ED=60,所以CH=BCsin60=为所求.另解：连结A1B.根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥CA1AB的高h.由得，即 所以为所求. 9A 10C 1112()直四棱柱的侧棱的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为的中点。，DECE又DEEBDE平面EBC又DE平面EBD,平面EBC平面EBD. () 取DC的中点F，则EF平面BCD,作FHBD于H，连EH，则EHF就是二面角E-BD-C的一个平面角。由题意得 EF=a，EHF，EHF二面角E-BD-C的求大小为;(), 三棱锥的体积为. 8、单元测试题一、选择题1、点P到ABC三边所在直线的距离相等，P在ABC内的射影为O，则O为ABC的 （ ） （A）外心 （B）重心 （C）内心 （D）以上都不对2、已知两条异面直线a,b所成的角为，直线l与a, l与b所成的角都等于, 则的取值范围是 （ ） (A) (B) (C) (D) 3、ABC是正三角形，P是ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，若SPABSABC=，则二面角P-AB-C的余弦值为 （ ） （A） （B） （C） （D）4、已知矩形ABCD的长AD=4，宽AB=3，E、F分别为AD、BC的中点，现将ABFE沿EF折成 使二面角的平面角为60，则= （ ） （A） （B） （C） （D）5、一个简单多面体的各面都是三角形，且有六个顶点，则这个简单多面体的面数是（ ） （A）4 （B）6 （C）8 （D）106、A、B两地在同一纬线上，这两地间的纬线长为pRcosa，（R是地球半径，a是两地的纬度数），则这两地间的距离为 （ ） （A）pR （B）pRcosa （C）pR-2aR （D）pR-aR7、已知正四棱锥P-ABCD的棱长为a，侧面等腰三角形的顶角为30，则从点A出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程等于 （ ） （A） （B）4a （C）6a （D）8、空间四边形ABCD的各边与对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在CD上移动，则点P和Q的最短距离为 （ ） （A） （B） （C） （D）9、在长方形ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是 （ ） （A） （B） （C） （D）10、若四面体的一条棱长为x，其余棱长为1，体积为F(x)，则函数F(x)在其定义域上（ ） （A）是增函数但无最大值 （B）是增函数且有最大值 （C）不是增函数且无最大值 （D）不是增函数但有最大值二、填空题11、正四棱锥S-ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角为 。 12、已知a=(3,1,5), b=(1,2,-3), 向量c与z轴垂直，且满足ca=9, cb=-4，则c= 13、已知PA、PB、PC两两垂直且PA=，PB=，PC=2，则过P、A、B、C四点的球的体积为 。14、已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm, 高为4cm，过BC作一个截面，截面与底面ABC成60角，则截面的面积是 三、解答题15、 在立体图形P-ABCD中，四边形ABCD是DAB=60，且边长为a的棱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。（1）若G在AD边的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证ADPB；（3）求二面角A-BC-P的大小；（4）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论。 16、在三棱锥P-ABC中，PAAC，PBBC，ACBC，PA，PB与平面