北京大学1996-2009历年数学分析_考研真题试题1

北京大学，北京大学，1997年研究生入学考试考试考试科目：数学分析考试科目：数学分析1，1，(10分)函数22()反正切1 x f x=在0 x=点处展开为幂级数，并指出收敛区间。两点、两点和十点决定了广义积分的收敛性：0ln(1)d p x x x x x三点、三点和(15点)设()f x在()上有任意阶导数()，对于任意有限闭区间，a b，()()()n fx一致收敛于，a b () () x n ，证明：()x ce =，c是常数。四、四和(15)集合0 (1，2) nxn=和limnxa =，并用n 语言证明：limnxa =。五，五，(15点)求第二类曲面积分(ddcosddd) sxyyzxxy 其中s是222 1xyz=的外部。六、六和(20)集(，)xf u v=，(，)yg u v=，(，)ww x y=具有满足fguv=，fgvu=，2220 wwxy=，的二阶连续偏导数，证明了：(1)2222()()0fgfgfguv=，(2)()()(，(，)w u vw f u v g u v=满足2220 wwuv=.七，七，(15点)计算三重积分222 5/2 222 :2(D)DD XYZZ XYZZ。北京大学，北京大学，1998年研究生入学考试考试考试科目：数学分析考试科目：数学分析I，I，(26分)选择最准确的答案并填入括号内：1。设()f x在上定义，a b，如果有(，)fgrab(，)gR a b,则()a(，)fR a b , b(，)gC a b, c.f .可微，d.f .可微。2.假设()fC a b如果lim()1 xa f x =，lim () 2xbfx =，则()A.()f x在是一致连续的，a b，B. ()f x在是连续的，a b，C. ()f x在(，)a b，D. ()f x在(，)a b是可微的。3.如果反常(广义)积分10()df xx *和10()DG xx *都存在，那么反常积分10()()dfx gxx * a .收敛，b .发散，c .不一定收敛，d .不一定收敛。4.如果lim1 n n na =，那么1 n n a = () A发散，b收敛，c不一定收敛，d绝对收敛。5.在区域22 (，):1 x yxy 2.201 cotlim()x xx3.011 lim 2n x n=3，3，(10点)中设置(，)f x y，以获得以下积分值：1.322 dddd sxyzxxzxy222 :0，szzbxya=。2.11 ddcxyx :1，4，C yx=逆时针一周。四，四，(16分)回答以下问题：1。找到幂级数1 (1)！n n n n x ne =的收敛半径。2.找到系列0 2 (1)！n n n n =和。五，五，(24分)试着证明以下命题：1。不当积分20 Sin D1 P x x xP收敛。2.假设(，)f x y在22 (，):1Gx yxy=上有定义，如果(，0)f x在0 x=上是连续的，并且(，)y f x y 在g上是有界的，那么(，)f x y在(0，0)上是连续的。北京大学，北京大学，1999年研究生入学考试试题年研究生入学考试试题考试科目：数学分析考试科目：数学分析I，I，(15分)确定真()假(): 1。让n a是一系列数字。如果在任何子序列中有一个收敛的子序列，它就是一个收敛的子序列。()2。假设()fC a b,如果lim()0 xa f xA =,则(，)a b)必须存在，使()0f=成立。()3。假设()f x在上有界，a b，如果()f x在上是可积的，ab对于任何0，则()f x在上是可积的，a b. () 4。假设()f x，()g x在0，1上有自由积分，那么积()fxgx在0，1上有自由积分。()5。让级数1n n b=收敛。如果nn ab，(1，2，n=，级数1n n a=必须收敛。()2，2，(40点)找出以下极限值(写出计算过程):1.20 tan(1 cos)lim log(1)(1)x axbx xe, 22(0)2.2 sin in sin lim()11 12n nn n n pi pi pi pi3.120 lim(1)d n xx4 . lim 1 nn n a,(0)a3，3，(1)n求数列0 2 3 n n n n=的和。2.设(0，1)fC ,它在(0，1)上是可微的。如果有7 8 1 8()d(0)f xf=，则证明(0，1),这使得(0)f=.3.证明：级数1 Arctan(1)n n n n=收敛。4.证明了积分0dxyxey不一致收敛于(0，)。5.假设(，)uf x y z=，2(，)0 y g x ez=，sinyx=，已知f和g都有一阶连续偏导数，0 g z 求d d u x. 6。设()f x在1，1上有一个二次连续可微，并且有0 () lim0 x f x x =，证明了级数1 1()n f n=是绝对收敛的。北京大学，北京大学，2000年研究生入学考试试题，2000年研究生入学考试试题考试科目：数学分析考试科目：数学分析I，I，计算(8分5=40分)1。找到极限20 () limxx x axax x , 0a。2.找出泰勒展开式从2xx e到5 x项。3.计算积分10 d ln ba xx x x 其中0ab。4.计算积分222(ddv XYZ XYZv是实心球2222，0 xyzR 。5.计算积分333ddddd d sxyxyxzzxy，s是2222 xyza=的外表面。二、二、叙事定义(5分，5分=10分)1。lim () x f x =。2.当使用0xa 时，f x不限于a。三、三和(13点)函数()f x在上是一致连续的，a b，在上是一致连续的，b c，即由abc切割的部分。六，六，(10点)求极限2222222401 lim()d DDT xyzt fxyzxyz t其中f在上是连续的0，1，(0) 0，(0) 1f=。七，七，(10分钟)找到常数，这样曲线积分22 DD 01 xx rxryyyyyyy=22()rxy=适用于上半平面上的任何光滑闭合曲线l。八，八，(10点)证明函数11()x n f x n=在(1)上是无穷可微的。九，九，(10点)求广义积分220 arctan()arctan()dbxax x0ba。十，十，(10点)假设()f x是周期为2的周期函数，并且()fxxx=在外。八、八和(10点)判断级数11 lncos n=的收敛性并给出证明。九点、九点和十点证明：(1)函数项级数1 NX n nxe=在区间(0，)上不一致收敛；(2)函数项数1 NX n nxe=可以在区间(0，)上逐项导出。十，十，(10个点)集合()f x连续，0()()d x g x y f x y=，查找()g x 。北京大学，北京大学，2005年研究生入学考试试题，2005年研究生入学考试试题考试科目：数学分析考试科目：数学分析I，I，set 22 sin 1()sin xx f xx=，试着找出lim sup() x f x 和lim inf() x f x 。(1)假设()f x在开区间(，)a b中是可微的，并且()f x 在(，)a b中是有界的，并且证明()fx在(，)ab中是一致的。(2)在开区间上向上设置()f x，ab () ab 方向。摘要：7，7，(，)f x y是2 R上的一个连续函数，尝试使一个无界区域d使(，f x y)的广义积分收敛于d . 8，8，sin () ln (1) p x f x=，讨论不同p对(f x)在(1，)上积分的敛散性.九、九、注()1、n x y n f x ynye=，是否存在0a，函数()h x可在(1，1)aa和(1) h=上导出，从而(，()0F x h x=上。10，10，设()f x，()g x是上的黎曼可积的，a b，这证明了()f x的傅里叶展开式具有相同系数的充要条件是()()d0baafxgxx=。数学分析20081。证明有界闭区间上的连续函数是一致连续的。2 .在(-，)上有满足f(f(x)=e的连续函数f(x)吗？证明你的结论。3.序列x？(n1)，满意吗？n？验证x？无界。4.f (x)是(-1，1)，f(0)=1，