第一课 有限元基本理论及软件介绍(西交大).ppt

有限元方法及CAE软件,刘恒hengliu,由NordriDesign提供,课程安排,西安交通大学研究生课程教学计划进度表课程代码：012183课程名称：有限元方法及CAE软件总学分：4学时：80开课季节：秋上,考试安排,平时成绩占总成绩40%1次大作业闭卷考试占总成绩60%1、填空；2、选择；3、问答题交流群：西安交大有限元2016群号：581365633,参考书目,先修课：材料力学、弹性力学、振动力学、计算方法。参考书目：R.D.库克，有限元分析的概念和应用，程耿东等译，北京：科学出版社，1989王勛成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，北京：清华大学出版社，1995李人宪.有限元法基础.北京：国防工业出版社，2004，ISBN7-118-03562-9/TB138美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS入门手册，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS结构分析指南，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS热分析指南，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS动力学分析指南，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS非线性分析指南，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS耦合场分析指南，1998美国ANSYS公司北京办事处，ANSYS高级分析技术指南，1998,有限元网络资源,-Awebsitecreatedtoeducatepeopleinthelatestengineeringtechnologies,manufacturingtechniquesandsoftwaretools.ExellentFEMlinks,includinglinkstoallcommercialprovidersofFEMsoftware.,几点建议,作为大型有限元分析软件，ANSYS相当难学:一、需要学习者有比较扎实的力学理论基础，对ANSYS分析结果能有个比较准确的预测和判断，可以说，理论水平的高低在很大程度上决定了ANSYS使用水平；二、需要学习者不断摸索出软件的使用经验不断总结以提高解决问题的效率。几点建议：（1）将ANSYS的学习紧密与工程力学专业结合起来；（2）多问多思考多积累经验（一是要多问但不要不懂就问；二是要有耐心，不要郁闷，多思考；三是注意积累经验，不断总结经验）；（3）练习使用ANSYS最好直接找力学专业书后的习题来做（三点）；（4）保持带着问题去看ANSYS是怎样处理相关问题的良好习惯；（5）熟悉GUI操作之后再来使用命令流。,第一讲有限元方法概述,引言,偏微分方程,偏微分方程的解,有限元分析的实例,有限元基础知识,有限元中数学原理,各种有限元软件,引言各门力学学科分支间的关系,中学力学对象；质点特征；无变形无形状变量：1）质点描述质心2）运动状态描述3）力平衡描述方程：质点牛顿三定律求解：积分方法,理论力学对象；质点及刚体特征；无变形形状复杂的体变量：1)刚体描述转动2)运动状态描述3)力平衡描述方程：质点和刚体的牛顿三定律求解：积分方法,材料力学对象；简单变形体特征；变形小简单形状的体变量：1）材料物性描述2）变形方面描述3）力的平衡描述方程：1）物理本构方程2）几何变形方程3）力的平衡方程三大变量三大方程求解：简化求解方法,结构力学对象；简单多变形体特征；变形小简单形状的多体变量：1）材料物性描述2）变形方面描述3）力的平衡描述方程：1）物理本构方程2）几何变形方程3）力的平衡方程三大变量三大方程求解：简化求解方法,弹性力学对象；任意变形体特征；变形小任意形状的体变量：1）材料物性描述2）变形方面描述3）力的平衡描述方程(微体dxdydz):1）物理本构方程2）几何变形方程3）力的平衡方程三大变量三大方程求解:解析半解析法,弹塑性力学对象；任意变形体特征；变形(屈服)任意形状的体变量：1)材料弹塑物性描述2)变形方面描述3)力的平衡描述方程(微体dxdydz):1）物理本构方程(屈服、非线性)2）几何变形方程3）力的平衡方程三大变量三大方程求解:解析半解析法,非变形体（刚体）,变形体,引言变形体及其受力情况的描述,基本变量：u=uiijij(位移)(应变)(应力)(如研究xyz三个方向，对应张量描述)基本方程：1）材料方面2）几何方面3）力平衡方面求解方法：1）经典解析方法2）半解析方法3）传统数值求解方法4）现代数值求解(规范化、标准化、规模化、计算机化),三大类变量,三大类方程,引言有限元的思路和发展过程,思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有力学信息。,技术路线：标准化(任意复杂问题理论研究=标准化分解，单元建模-有限种标准单元)规范化(前处理：CAD几何、力学建模、求解、后处理结果显示)计算机化(标准程序、模块)应用规模化、普及化(可求解大型问题：10的8次到11次DOF),有限种类标准件,构造任意复杂对象,目前常用的计算方法包括第一原理从头计算法、分子动力学方法，蒙特卡洛方法，有限元分析等。,引言计算仿真的几个层次,引言有限元的思路和发展过程,发展过程：,工程师，boeing公司Turner、Clough分析飞机结构(采用自然离散)1960，Clough处理平面连续弹性问题，提出“有限单元法”名称1956-，Argyris(Univ.ofStuttgart)，Zienkiewicz(英国Swansan大学)，Topp等学者的大量理论及应用工作,连续体,离散体,自然离散(桁架),逼近离散(连续体),数学家1943，Courant研究分片连续与最小势能问题1963-1964，Besseling,Melosh,Jones研究FEM与Ritz法的关系及变分原理1951-至今，我国湖海昌、冯康、匡振邦。,在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同的路线得到,了相同的结果，即有限元法。,有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法,的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结,构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似,性。,1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举行的航空,学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问,题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位,移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。,1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分,析论文。,1960年，Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestress,analysis”的论文中首次提出了有限元（finiteelement）这一术语。,引言有限元的思路和发展过程,数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变,分原理和加权余量法。,在1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有,限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不,同变分原理导出的有限元计算公式。,1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成,变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步,骤求解。,1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是,Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。,引言有限元的思路和发展过程,我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其,中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原,理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯,康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，,我国的研究工作受到阻碍。,有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程,问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发,展，为工程设计和优化提供了有力的工具。,有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述,的场问题的求解。,引言有限元的思路和发展过程,有限元法分析计算的基本思想,对象离散化,单元特性分析,选择变量分布模式,分析单元的特性,计算等效节点载荷,单元组集,求解未知节点变量,引言弹性力学（线弹性有限元基础）,物体离散化,将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，,这一步称作单元剖分。,离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；,单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描,述变形形态的需要和计算进度而定。,用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划,分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实,际情况相符合。,引言弹性力学（线弹性有限元基础）,分析单元的特性,根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置,及其含义等，找出单元节点载荷和节点变量的关系式，,建立节点变量值与单元内任意点变量之间关系，等等，,这是单元分析中的关键一步。,如应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和,位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元,法的基本步骤之一。,引言弹性力学（线弹性有限元基础）,计算等效节点载荷,物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传,递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是,从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，,这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力,都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点,力来代替所有作用在单元上得力。,引言弹性力学（线弹性有限元基础）,单元组集（组装）,利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来,的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程,求解未知节点变量,可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。,引言弹性力学（线弹性有限元基础）,引言弹性力学（线弹性有限元基础）,研究对象：任意变形体物体内任意两点之间可以发生相对运动。,基本变量,基本方程,任意变形体,主位移,应变,应力,物体变形后的形状,物体的变形程度,物体的受力状态,几何方程,物理方程,平衡方程,弹模,引言线弹性的五个基本假设,1）物体内的物质连续性假设：物质无空隙，可用连续函数描述；2）物体内的物质均匀性假设：物体内各个位置的物质具有相同特性3）物体内的（力学）特性各向同性假设：物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性；4）线性弹性假设：物体的变形与外力作用关系是线性的，外力去除后物体可恢复原状；5）小变形假设：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时可略去高阶小量（二阶以上）。,引言求解弹性力学问题的主要方法和特点比较,偏微分方程,科学技术领域内，对于绝大部分问题，人,们已经得到了它们应遵循的基本方程（偏微分,方程或常微分方程）。,如：温度场方程（浓度场方程）,流场动力学方程,电磁场方程,固体力学方程,.,偏微分方程温度场方程,偏微分方程温度场方程,傅里叶传热定律：q=kgrad,热传导方程：c,=,ky,+kz,kx,+,+Q（在内）,txxyyzz,（在1上）,边界条件：,=,kx,nx+ky,ny+kz,nz=q,x,y,z,（在2上）,kx,nx+ky,ny+kz,nz=h(a)（在3上）,x,y,z,偏微分方程温度场方程,偏微分方程固体力学方程,偏微分方程固体力学方程,偏微分方程固体力学方程,偏微分方程电磁场方程,偏微分方程电磁场方程,偏微分方程分类及特点,偏微分方程分类及特点,偏微分方程分类及特点,偏微分方程分类及特点,边值问题与初值问题,描述物理现象的偏微分方程常常与其边,界条件或初始条件联系在一起。,平衡方程:,ij,xj,+bi=0,几何方程:,场方程（控制方程）,本构方程:,1uiuj,Dij=+,2xjxi,ep,ij=CijklDkl,偏微分方程的求解,Su,边界条件,V,Sp,问题的域V和边界S,应力边界条件:,运动学边界条件:,jinj=pi,ui=ui,或,(在Sp上),ui=ui,(在Su上),偏微分方程的求解,边值问题,A1(u),A(u)=A2(u)=0,B1(u),B(u)=B2(u)=0,（在域V内）,（在边界S上）,域V和边界S（S=Su+Sp）,界,微分方程的等效积分形式,V,VTA(u)dV+VTB(u)dS=0,S,偏微分方程的求解,（一）解析法,解析方法是直接应用现有的数学理,论和定律去推导和演绎数学方程（或模,型），得到用函数形式表示的解，也就,是解析解。,偏微分方程的求解,优点：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数,表达式能够清楚地表达温度场的各种影响因素，,有利于直观分析各参数变化对温度高低的影响。,缺点：通常需要采用多种简化假设，而这些假,设往往并不适合实际情况，这就使解的精确程,度受到不同程度的影响。目前，只有简单的一,维温度场（“半无限大”平板、圆柱体、球体）,才可能获得解析解。,偏微分方程的求解,（二）数值方法,数值方法又叫数值分析法，是用计算机程序,来求解数学模型的近似解，又称为数值模拟,或计算机模拟。,偏微分方程的求解,1.差分法,差分法是把原来求解物体内随空间、时间连续分布,的场量，转化为求在时间领域和空间领域内有限个,离散点的变量值问题，再用这些离散点上的变量值,去逼近连续的变量分布。,差分法的解题基础是用差商来代替微商，这样就将,偏微分微分方程转换为以节点变量为未知量的线性,代数方程组，得到各节点的数值解。,根据不同的差分格式分为：向前差分、向后差分、,平均差分、中心差分、加列金格式等。,偏微分方程的求解,2.有限元法,有限元法是根据变分原理来求解偏微分方程,的一种数值计算方法。有限元法的解题步骤是先,将连续求解域分割为有限个单元组成的离散化模,型，再用变分原理等数学方法将各单元内的偏微,分方程转化为等价的线性方程组，最后求解全域,内的总体合成矩阵。,偏微分方程的求解,数值计算方法分类,特点,差分法,等效积分法,（加权余量法或,优缺点,离散求解域；差分代替微分；解要求规则边界，几何形,代数方程组,状复杂时精度低,整体场函数用近似函数代替；微适合简单问题，复杂问,分方程及定解条件的等效积分转题很难解决,化为某个泛函的变分，-求极值,问题,离散求解域；分片连续函数近似节点可任意配置，边界,整体未知场函数；解线形方程组适应性好；适应任意支,撑条件和载荷；计算精,度与网格疏密和单元形,态有关，精度可控,泛函变分法）,有限元法,偏微分方程的求解,数值模拟方法的优越性,经济、快速、优化、并行,结果详尽,应力应变,温度,组织性能变化,虚拟、灵活,偏微分方程的求解,有限元分析实例,A380,飞机有限元模型,重型燃气轮机转子模型,有限元分析实例,新加坡国立大学工程系入口,有限元分析实例,有限元分析实例,有限元分析实例,有限元分析实例,0.2-1.5resolution(16000surfacenodes)23z-levels(2200003Dnodes),3DviewoftheNorthAtlanticmesh,有限元分析实例,有限元方法的基础知识,数学：求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方,法，其基础是变分原理和剖分逼近,力学：一种将连续体离散化，以求解各种力学问题的数值方法,土木工程：把物体或结构整体所具有的域(V)划分为有限多个被,称为单元的子域(Vn)，以求得近似解的一种数值计算方法,机械工程：对机械零件或构件等作应力分析的一种离散数值方,法,航空、航天工程：将结构用网格划分为计算模型的一种结构数,值分析方法,不同学科和工程类别从各自特有学术角度对有限元给出,相应的不同定义，但有一条是共同的，即都认为有限元,法是有效的数值分析方法。,学习有限元所需的理论基础,学科理论：理论力学、材料力学、结构力学、弹性力学、,流体力学、传热学等等。根据所要解决问题的不同，应具,备不同的专门知识。,数学基础：线性代数、变分原理、加权余量法等等,计算机基础：计算机的一般知识，算法语言，计算机的使,用和编程。,这些知识有些我们已经掌握，有些则还没有。但,是不能等全部掌握了所有这些知识再来学习有限,元法，只有再学习过程中逐渐掌握。好在有限元,法可以在不同的层次上理解和应用。,有限元方法的基础知识,基本特点,以简单逼近复杂,概念清楚，容易理解,矩阵数学便于编程和计算机求解,适用于形状复杂问题,适应性强，应用范围广泛,有限元方法的基础知识,基本特点,适应性强,弹性力学平面问题扩展到了空间问题、板壳,问题；,静力平衡问题扩展到了动态问题；,固态力学扩展到了流体力学、传热学；,弹性材料问题扩展到了弹塑性、塑性、粘弹,性和复合材料问题；,航空工程问题扩展到了宇航、土木建筑、机,械制造、水利工程及原子能学科等方面的问,题。,有限元方法的基础知识,特点,缺点：,必须首先编制（或具备）计算机程序，必须运,用计算机求解。,计算前的数据准备，计算结果的数据整理分析,工作量很大,然而，计算机日益普及和功能日益强大，可以,通过计算机进行有限元分析的前、后处理来大,大帮助减少工作量。,有限元方法的基础知识,基本步骤,1，求解区域离散化,2，选择插值函数,3，分析单元特性,4，组建整体刚度矩阵,5，求解系统的总体方程组,6，根据需要进行附加计算,基本思想,化整为零,积零为整,有限元方法的基础知识,基本思想,先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点,相互连接；-即原始连续求解域用有限个单元的集,合近似代替,对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函,数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物,理量来表示-通常称为插值函数或位移函数,基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即,单元刚度方程）,借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体,的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形,方程组，引入边界条件求解该方程组即可。,有限元方法的基础知识,基本思想,节点,vm,m(xmym),um,vj,u,j,vi,单元,ui,j(xjyj),y,i(xiyi),x,有限元方法的基础知识,基本概念,结构离散（有限元建模）,内容：1）网格划分,-即把结构按一定规则分割成有限单元,2）边界处理,-即把作用于结构边界上约束和载荷处为节点,约束和节点载荷,要求：1）离散结构必须与原始结构保形,-单元的几何特性,2）一个单元内的物理特性必须相同,-单元的物理特性,有限元方法的基础知识,单元：即原始结构离散,后，满足定几何特性,和物理特性的最小结构,域,节点：单元与单元间的,连接点。,节点力：单元与单元间,通过节点的相互作用力,节点载荷：作用于节点,上的外载。,基本概念,单元与节点,注意：,1)节点是有限元法的重要概念，,有限元模型中，相邻单元的作用,通过节点传递，而单元边界不传,递力，这是离散结构与实际结构,的重大差别；,2）节点力与节点载荷的差别,有限元方法的基础知识,基本概念,非法结构离散,节点不合法,不同材料,有限元方法的基础知识,单元类型,单元图形,节点数,杆单元,梁单元,典,型,单,元,类,型,平面单元,2,2,3,4,3,4,4,平面四边形,轴对称问题,板壳单元,四面体单元,基本概念,插值函数（或位移函数）,用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近,似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值,构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则,该函数称为位移函数。,选择位移函数的一般原则：,1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连,续的）；,2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。,注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在,单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解,有限元方法的基础知识,基本概念,位移函数的构造方法,广义坐标法,一维单元位移函数：,u(x)=0+1x+1x2+.nxn,简记为,u(x)=,i为待定系数，也称为广=1xx2.xn,义坐标,T,=012.n,有限元方法的基础知识,基本概念,位移函数的构造方法,插值函数法即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值,基函数积的和。,如一维单元,u(x)=N1(x)u1+N2(x)u2+.,=Ni(x)ui,n,1,二维单元,注：Ni可为Lagrange、,Hamiton多项式或形函,数，在+1-1,间变化,u(x,y)=Niui,1,n,v(x,y)=Nivi,1,n,有限元方法的基础知识,基本概念,有限元法的收敛准则,影响有限元解的误差：1）离散误差2）位移函数误差,收敛准则：,1）位移函数必须包括常量应变（即线形项）,2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；,3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；,4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；,注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三,个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称,为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个,条件的单元称为完备元。,有限元方法的基础知识,基本概念,新型单元的研究,1、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究,2、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究,几个热点问题,面向物理问题的有限元建模,如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算,法等,有限元法计算速度的研究,如并行计算等,结构优化,有限元方法的基础知识,有限元分析(FEA),有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统,（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相,互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知,量去逼近无限未知量的真实系统。,历史典故,结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究,者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。,有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅,炉进行手算评核的基础。,有限元方法的基础知识,物理系统举例,几何体,载荷,物理系统,结构,热,电磁,有限元模型,有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。,真实系统,有限元模型,自由度（DOF）,自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。,UY,ROTY,方向,结构,热,电,流体,磁,自由度,位移,温度,电位,压力,磁位,ROTZ,UZ,UX,ROTX,结构DOFs,节点和单元,载荷,节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和,存在相互物理作用。,单元:,一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵,描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、,面或实体以及二维或三维的单元等种类。,载荷,有限元模型由些简单形状的,单元组成，单元之间通过节点连,接，并承受一定载荷。,节点和单元(续),每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。,作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。,尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”,），然而在今天一个小的ANSYS分析就可能有5000个,未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。,历史典故,早期ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是,在1970年发布的，运行在价格为1，000，000的CDC、,由Univac和IBM生产的计算机上，它们的处理能力远远落,后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解,50005000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。,节点和单元(续),信息是通过单元之间的公共节点传递的。,2nodes,.,A,.,.,.,.,B,1node,.,.,.,A,.,.,B,具有公共节点的单元,之间存在信息传递,.,.,.,.,分离但节点重叠的单元,A和B之间没有信息传递,（需进行节点合并处理）,节点和单元(续),节点自由度是随连接该节点单元类型变化的,J,三维杆单元(铰接),UX,UY,UZ,I,L,K,二维或轴对称实体单元,UX,UY,I,I,P,M,L,I,N,K,J,I,J,O,P,三维实体结构单元,UX,UY,UZ,M,L,N,K,J,I,L,K,J,三维四边形壳单元,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ,O,三维实体热单元,TEMP,J,三维梁单元,UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ,单元形函数,FEA仅仅求解节点处的DOF值。,单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值,到单元内所有点处DOF值的计算方法。,因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果,的“形状”。,单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性,。,单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影,响求解精度。,单元形函数(续),二次曲线的线性近,(不理想结果),DOF值二次分布,真实的二次曲线,.,1,节点,单元,线性近似,(更理想的结果),.,2,真实的二次曲线,.,节点,单元,.,二次近似(接近于真实的二次近似拟合),(最理想结果),.,3,节点,单元,.,4,节点,单元,.,单元形函数(续),遵循:,DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单,元内的平均值与实际情况吻合得很好。,这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如结,构应力，热梯度）。,如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好,地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导,出来的。,单元形函数(续),遵循原则:,当选择了某种单元类型时，也就十分,确定地选择并接受该种单元类型所假,定的单元形函数。,在选定单元类型并随之确定了形函数,的情况下，必须确保分析时有足够数,量的单元和节点来精确描述所要求解,的问题。,加权余量法,变分法,法,里兹法,约束变分原理,有限元方法的数学原理,变分法,泛函,=F(u,V,u,u,)dV+E(u,)dS,S,x,x,其中u是未知函数，F和E是特定的算子，V是求解域，S是V的边界。,泛函取驻值的条件是，对于微小变化,u，泛函的“变分”等于零,=0,有限元方法的数学原理,加权余量法,近似解,u=u=Niai=Na,i=1,n,其中,ai是待定参数；Ni是形函数。,令余量的加权积分为0,V,WTA(Na)dV+WTB(Na)dS=0,j,j,S,(j=1n),有限元方法的数学原理,里兹法,u=u=Niai=Na,i=1,n,=,a1+,a2+,a1,a2,+,an=0,an,a,1,=a2=0,a,an,有限元方法的数学原理,关于里兹法的几点讨论,收敛性,（1）完备性：试探函数Ni（i=1n）应取自完全函数系列。,（2）协调性：Ni（i=1n）应满足Cm-1连续性要求。,应用中的困难,（1）在求解域比较复杂时，难以选取满足边界条件的试探函数。,（2）为了提高近似解的精度需要增加待定参数和试探函数的项数,有限元方法的数学原理,加权余量法示例（虚功原理）,平衡方程和力边界条件：ij,j+bi=0,（在V内）,（在Sp上）,ijnjpi=0,等效积分形式：,Vui(ij,j+bi)dVS,V,ui(ijnjpi)dS=0,p,V,得：,或,uiij,jdV=,V,1,ui,j+uj,iijdV+uiijnjdS,Sp,2,Sp,(,),=ijijdV+uiijnjdS,V(ijij+uibi)dV+S,V,ij,V,uipidS=0,p,ijdV=biuidV+piuidS,Sp,有限元方法的数学原理,线弹性力学的最小位能原理,代入：ij=Cijklkl,e,V,e,(ijCijklkluibi)dVuipidS=0,Sp,令：ijCijklkl=Cijklijkl=U(mn)，(ui)=biui,(ui)=piui,e,e,1,2,于是：,p=0,其中：p=p(ij,ui)=U(ij)+(ui)dV+,V,S(ui)dS,p,1e,=CijklijklbiuidVpiuidS,V2,Sp,有限元方法的数学原理,约束变分原理,考虑附加的约束关系C(u)=0,1拉格朗日乘子法,T,*=+C(u)dV,V,2罚函数法,*=+VCT(u)C(u)dV,有限元方法的数学原理,随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速,度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越,来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突,出,在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有,限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个,工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果,分析上。,增强可视化的前置建模和后置数据处理功能,各种有限元软件发展现状,增强可视化的前置建模和后置数据处理功能,目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功,能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用,户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动,划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将,大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，,便于极值搜索和所需数据的列表输出。,各种有限元软件发展现状,与CAD软件的无缝集成,当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件,的集成使用，即：在用CAD软件完成部件和零件的造,型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分,析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直,到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。当,今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的CAD,软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、,SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和,AutoCAD等）的接口。,各种有限元软件发展现状,失效分析阶段设计验证分析阶段保证产品正常工作分析阶段提高产品性能分析阶段设计创新分析阶段产品寿命分析阶段,各种有限元软件发展现状,各种有限元软件Nastran,Nastran是美国国家航空航天局(NationalAeronauyicsandSpaceAdministration简称NASA,又称美国宇航局)为适应各种工程分析问题而开发的多用途有限元分析程序。这个系统称为NASAStructuralAnalysisSystem,命名为Nastran。20世纪60年代初,美国宇航局为登月需要,决定使用有限元法开发大型结构分析系统,并能在当时所有大型计算机上运行。为此,以虚构名TomButler命名的NASA小组制定了一套全新的通用分析系统规范。它采用了当时唯一的但并不成熟的高级语言Fortran,在计算机计算速度还很慢,内存还很小,且没有磁盘存储器的情况下,创造性地完成了该系统的研制。开发小组包括ComputerScienceCorporation和MacNeal-SchwendlerCorporation(MSC公司,1999年更名为MSC.SoftwareCorporation,一般仍称MSC公司)。Nastran程序最早在1969年通过COSMIC(ComputerSoftwareManagementandInformationCenter)对外发行,一般称为COSMIC.Nastran。之后又有各种版本的Nastran程序发行,其中以Msc公司所开发的Msc.Nastran程序用户最为广泛。如今MSC.Nastran已成为标准版的Nastran,是全球应用最广泛的分析程序之一。,MSC.MARC有限元分析系统,各种有限元软件Nastran,MSC.PATRAN&.NASTRAN大型通用FEA分析系统,MSC.PATRAN&.NASTRAN是美国MSC公司生产的大型通用FEA分析系统为工业标准的FEA原代码程序及国际招标中工程分析和校验的工具,MSC.PATRAN前置处理系统,功能强大的有限元网格生成功能自动与半自动网格剖分网格优化功能网格加密功能,MSC.PATRAN,有强大的前置处理功能和各种分析应用模块MSC.PATRANADVANCDEFEA可解决各种静/动力、热传导、接触、非线性问题,拥