黑龙江哈尔滨第六中学高三数学第三次模拟考试理

黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用列举法写出集合U，根据补集的定义计算即可【详解】解：集合 所以 故答案为B【点睛】本题考查了补集的定义与一元二次不等式的解法问题，是基础题2.已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】在复平面内对应的点坐标为在第一象限，故选A.3.对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由题意，方程表示双曲线，则，得，所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件，故选：C【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题.4.已知直线平面，直线平面，则下列四个命题正确的是（ ）；.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得到答案.【详解】因直线平面，直线平面，若，则平面，则有，正确；如图，由图可知不正确；因为直线平面，所以 平面，又平面，所以，所以正确；由图可知不正确；所以正确的命题为，故选D.【点睛】该题考查的是有关空间关系的判定，在解题的过程中，注意把握住相应定理的条件和结论，注意有一定的空间想象能力.5.已知向量，若，则（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x【详解】；解得故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题6.的展开式中项的系数为（ ）A. 80B. -80C. -40D. 48【答案】B【解析】通项公式，令，解得，展开式中项的系数，故选B.7.为了配合哈尔滨创建全国文明城市的活动，现从哈六中高三学年4名男教师和5名女教师中选取3人，组成创文明城市志愿者小组，若男教师、女教师至少各有一人，则不同的选法共有（ ）A. 140种B. 70种C. 35种D. 84种【答案】B【解析】分两类：（1）2男1女，有种；（2）1男2女，有种，所以共有+种，故选B点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”8.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（ ）A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，=12（里）故选：C9.函数的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得函数在x0时0，在x0时0时0，排除C、D，在x0时0，排除B，故选A.【点睛】本题考查了函数的图象的应用，注意确定函数在某区间的值域，从而利用排除法求解即可10.已知的最大值为，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简，得，根据题意即求半个周期的A倍【详解】解：依题意,，的最小值为，故选：C【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题11.长方体中，点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，当长方体的体积 ，当最大，此时长方体为棱长为的正方体，的轨迹是平面中，以为圆心，为半径的圆的，设在平面中的射影为，则为的中点，的最小值为，线段的最小值是，故选B.12.已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）A. 为减函数B. 为增函数C. D. 【答案】D【解析】【分析】令G（x）x2exf（x），求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数G（x）的最小值，从而求出f（x）的符号即可【详解】解：令G（x）x2exf（x），G（x）xex（x+2）f（x）+xf（x），（x+2）f（x）+xf（x）0，x0时，G（x）0，x0时，G（x）0，故G（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，故G（x）G（0）0，又当 故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，构造函数G（x）x2exf（x）是解题的关键，属于中档题二、填空题（把答案填在题中横线上）13.已知，若，（均为正实数），则类比以上等式，可推测的值，进而可得_.【答案】【解析】试题分析：由已知，数列中项的构成规律为，所以，中.考点：1.归纳推理；2.数列的通项.14.若直线把圆分成面积相等的两部分，的最小值为_.【答案】8【解析】【分析】由题意，圆心（4，1）代入直线1：ax+by+10，可得4a+b1，利用“1”的代换，结合基本不等式求最值，即可得出结论详解】解：由题意，圆心（4，1）代入直线1：ax+by+10，可得4a+b1，（）（4a+b）44+48，当且仅当时取等号，的最小值为8.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及基本不等式的运用，关键是分析得到直线1：ax+by+10过圆的圆心15.抛物线的焦点为，其准线为直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的角平分线所在的直线斜率是_.【答案】【解析】分析：由抛物线定义可知，进而可推断出FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，利用斜率的两点式即可得到结论.详解：连接HF，因为点M在抛物线上，所以由抛物线的定义可知，所以MHF为等腰三角形，所以FMH的角平分线所在的直线经过HF的中点，因为F，所以HF的中点为，所以FMH的角平分线的斜率为.故答案为：点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线16.数列满足，则数列的前750项和_.【答案】【解析】【分析】计算数列an的前几项，结合数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和【详解】解：数列an满足a11，an+1，可得a2， a3， a750，可得数列an的前750项和S75011【点睛】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于基础题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数.（1）求函数最小正周期和单调递增区间；（2）已知的三个内角的对边分别为，其中，若锐角A满足且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性确定出f（x）的单调递减区间即可；（2）由f（x）解析式，以及f（），求出A的度数，将sinB+sinC，利用正弦定理化简，求出bc的值即可【详解】（1）f（x）2sinxcosx+2cos2xsin2xcos2x2sin（2x），2，f（x）的最小正周期T，2k2x2k，kZ，f（x）的单调减区间为k，k，kZ；（2）由f（）2sin2（）2sinA，即sinA，A为锐角，A，由正弦定理可得2R，sinB+sinC，b+c13，由余弦定理可知：cosA，整理得：bc40【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，考查三角恒等变换和三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.中国特色社会主义进入新时代，中国经济出现了一系列不一样的速度.（如图），2011年起年主营收入2000万以上的工业企业成为规模以上工业企业。据了解，规模以上工业企业占全国工业企业总数的，但其产值在全国工业企业产值中所占比例超过，在国民经济中起到了举足轻重的作用。在科技高速发展的今天科技进步对经济的影响日益增加，2017年全球企业研发投入排行榜中前50名中国仅有华为上榜，而且据统计全国仅有的规模以上工业企业设立了研发机构。年份20132014201520162017贡献率52.553.85556.257.5（1）现对20家规模以上工业企业进行调查，求恰有两家设置了研发机构的概率（只列式不求）；（2）国家长期科学与技术发展规划纲要中提出“到2020年力争科技进步对经济增长贡献率达到”，如图若科技进步对经济增长的贡献率与年份呈线性关系，设年份-2012，求出科技进步对经济增长的贡献率关于的回归直线方程（精确到0.01），并预测2020年能否实现目标；（3）结合图，请为中国未来经济发展提出合理化建议.【答案】（1） （2） ；能实现目标.（3）发展规模以上工业企业的；增加对科技研发的投入【解析】【分析】(1)显然“恰有两家设置了研发机构的概率”符合二项分布概型，代入公式即可.(2)求得代入的计算公式,求出回归直线方程后代入即可.(3)见详解.【详解】（1）设事件：恰有两家设置了研发机构，则（2） ，回归直线方程为当时，能实现目标.（3）发展规模以上工业企业的；增加对科技研发的投入.【点睛】本题考查统计概率中的二项分布,回归直线的求法,基础题.19.已知椭圆，为右焦点，过F的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，直线的斜率为，其中为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆上一动点，是否存在直线，使得四边形为平行四边形，若存在求直线方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在直线【解析】【分析】(1)先求出直线l垂直于x轴时，M（c，），利用直线OM的斜率为，建立方程，求得a，根据的关系求出椭圆方程.(2) 假设存在直线l，使得四边形ONPM为平行四边形，其充要条件为，则点P的坐标为（x1+x2，y1+y2）由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程【详解】（1）椭圆C：1（ab0），F（1，0）为右焦点，c1，过F的直线l交椭圆C与M，N两点，当直线l垂直于x轴时，M（c，），直线OM的斜率为，解得a，b，故椭圆C的方程为（2）设， 整理得假设存在直线l，使得四边形ONPM为平行四边形，其充要条件为即点在椭圆上解得综上，存在直线【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题20.在如图所示的六面体中，面是边长为2的正方形，面是直角梯形，.（1）求证：平面；（2）若二面角为，点P在线段上，当二面角的余弦值为时，求.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）连接AC，BD相交于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG只证ACFG，即可.(2)先证平面, 再以C为坐标原点，CB为x轴、CD为y轴、CE为z轴建立空间直角坐标系,用向量法求解即可【详解】（1）连接交于点O，取DE的中点为G，连接FG,OG.则又因为，所以四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.（2）是正方形，是直角梯形， ，平面，同理可证平面.又因为二面角为，为二面角的平面角，所以， 所以因平面，得，所以平面.以C为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为， ， 由题意知 ，设平面的法向量为， 所以，得，【点睛】本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，属于中档题21.已知函数，其中.（1）若在上为单调函数，求的取值范围；（2）设，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且存在最大值为【解析】试题分析：(1)函数存在极值点，将问题转化为导函数有根，且不为重根，据此分离系数，结合对勾函数的性质和函数的定义域求解实数 的取值范围即可；(2)分类讨论，当 时， 不存在最大值，当 时，由根与系数的关系求得 的解析式，结合 的式子构造新函数 ，利用新函数的性质结合题意即可求得 的最大值.解：（1），.由题意，得，在上有根（不为重根）.即在上有解.由在上单调递增，得.检验：当时，在上存在极值点.（2）若，在上满足， 在上单调递减，.不存在最大值.则.方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设则.在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，对，有；对，有，.将，代入上式，消去得，.据在上单调递增，得.设，.，.，即在上单调递增.存在最大值为.点睛：可导函数在点 处取得极值的充要条件是，且在 左侧与右侧的符号不同若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化