知识讲解 正态分布(理)VIP

正态分布学习目标1.了解正态分布曲线的特征和曲线的意义。2.了解正态曲线和正态分布的性质。要点排序关键注释：第一点，概率密度曲线和概率密度函数1.概念：对于连续随机变量，它们位于轴上方并落在任何区间(a，b)内的概率等于由轴、直线和直线(如阴影部分所示)围成的弯曲梯形的面积。这种概率曲线称为概率密度曲线，它作为图像的功能称为概率密度函数。2.自然：(1)概率密度函数取的每个值都是非负的。(2)夹在概率密度曲线和轴之间的“平面图形”的面积为1的值等于直线、概率密度曲线和轴围成的“平面图形”的面积。第二点。正态分布1.正态变量的概率密度函数正态变量的概率密度函数表达式为：()其中x是随机变量的值；是正态变量的期望值；是正常变量的标准偏差。2.正态分布(1)定义如果对于任何真实的随机变量，据说随机变量服从正态分布。把它写下来。(2)正态分布的期望和方差如果是，期望和方差分别为：关键注释：(1)正态分布由参数和决定。参数是平均值，它是反映随机变量值平均水平的特征数，可以通过样本的平均值来估计。是标准差是衡量随机变量总体波动的特征数，可以通过样本的标准差来估计。(2)经验表明，如果一个随机变量是众多的、不相关的、主要的和次要的偶然因素的作用结果的总和，它服从或几乎服从正态分布。在现实生活中，许多随机变量服从或近似服从正态分布，如长度测量误差。某一地区同一年龄组的身高、体重和肺活量；在一定条件下种植的小麦的株高、穗长和单位面积产量；正常生产条件下各种产品的质量指标(如零件尺寸、纤维细度、电容器容量、电子管寿命等)。)；平均温度、平均湿度、降雨量等。每年七月的一个地方；一般来说，它们服从正态分布。点3:法线曲线及其性质；1.正常曲线如果随机变量x的概率密度函数是，其中实数的和是参数()，那么函数的图像被称为正态分布密度曲线，它被简称为正态曲线。2.法线曲线的属性：(1)曲线位于轴上方，不与轴相交；(2)曲线是单峰的，并且关于直线对称；(3)曲线在合适的时间达到峰值；(4)当时，曲线上升；那时，曲线下降，当曲线无限期地向左右两边延伸时，它以x轴为渐近线无限接近它。曲线与轴线之间的面积为1；确定曲线的位置和对称性；确定后，曲线对称轴的位置由下式确定：如下图所示，随着的变化，曲线沿轴平移。确定曲线的形状；确定后，曲线的形状由。曲线越小，越高越薄，表明整体分布越集中。曲线越大，它就越“矮胖”，表明整体分布更分散。如下图所示。关键注释：性质表明该函数有一个取值范围(函数值为正)和一条渐近线(x轴)。性质也表明该函数具有对称性。属性表明当使用x=时，函数取其最大值。性质解释越大，总体分布越分散、越小，总体分布越集中。第四点：找出给定区间内正态分布的概率1.随机变量值的概率与面积的关系如果随机变量服从正态分布，那么对于任何实数a，b (a b)，当随机变量取区间(a，b)中的一个值时，取该值的概率等于由正态曲线和直线x=a，x=b(ab x轴)包围的图形的面积。阴影部分的面积一般来说，当随机变量取区间(-，a)中的值时，取值的概率是x=a左侧的法线曲线和x轴所包围的区域，如图(2)所示。在(a, )上取随机变量值的概率是由x=a右侧的法线曲线和x轴包围的区域，如图(3)所示。根据上述概率与面积的关系，概率与面积的关系可用于相关概率的计算。2.三个特殊区间内正态分布的概率值：；以上结果如下图所示：关键注释：如果随机变量服从正态分布，落入概率约为0.997，脱离概率约为0.003，一般称为小概率事件。人们认为小概率事件在实验中几乎不可能发生。一般来说，服从正态分布的随机变量通常只取它们之间的值，这就是所谓的原理。3.求给定区间上正态分布的概率方法(1)数形结合，利用法线曲线的对称性，曲线与轴的面积为1。正态曲线关于直线是对称的，并且具有与对称区间相同的概率。例如：。(3)如果，那么。(2)利用正态分布在三个特殊区间取值的概率：。.典型例子第一类，正态分布的概率密度函数例1。下列函数是正态密度函数()。A.()都是实数B.华盛顿特区这个题目可以用标准形式的正态密度函数来判断。正常密度函数为：指数部分应该与系数的分母一致。系数为正，指数为负。选项A有两个错误，即错误为正，索引错误为正。从系数=2和指数来看，选项C显然不匹配。选项D，指数是正的和错的。所以正确答案是b总结升华注意函数的形式特征是解决问题的关键。互相类比：变型1假设一个正态总体的概率密度曲线是一个函数的图像，那么正态总体的均值和方差是()A.10和8b.10和4c.8和10d.2和10回答在这个正态分布中，=10，=2，那么E(X)=10，D(X)=4，所以选择B。变式2。给出了以下三个正态总体的函数表达式，请求出它们的均值和标准差(1)(2)(3)回答 (1) 0，1 (2) 1，2 (3)-1，0.5变式3正态总体为1的概率密度函数是()A.奇数函数偶数函数非奇数非偶数函数奇数函数和偶数函数回答因为这个，我们选择了b变体4一台机床生产一个尺寸为10毫米的零件，现在从其中抽取10个零件。它们的尺寸如下(毫米):10.2、10.1、10、9.8、9.9、10.3、9.7、10、9.9、10.1。如果机床生产零件的尺寸X服从正态分布，求正态分布的概率密度函数。回答要找到正态分布的概率密度函数，只需要找到参数的和，即样本均值，即样本标准差。根据主题。也就是说。所以x的概率密度函数是。第二类，正常曲线例2。如图所示，这是一条正常曲线。尝试根据图像写出其正态分布的概率密度函数的解析表达式，并找出总体随机变量的期望和方差。根据法线曲线的图像，曲线的对称轴是x=20，因此最大值是=20，这是可以从获得的值。分析从给定的法线曲线可以看出，法线曲线关于直线x=20对称，最大值为，所以=20。顺便说一句。因此，概率密度函数的解析表达式是x (-，)。总体随机变量的期望值为=20，方差为。总结升华为了用图像得到法向密度函数的解析表达式，我们应该抓住图像的两个实质性点：一个是对称轴x=，另一个是最大值。这两点确定后，相应的参数垂直确定，然后代入P(x)得到相应的解析表达式。互相类比：变式1正态密度曲线的性质描述：(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是一个偶数函数；(3)当x=时，曲线处于最高点，并且当从该点延伸到左侧和右侧时，曲线逐渐减小；曲线的对称位置由确定，曲线的形状由确定。曲线越大，越“厚实”。相反，曲线越高越细。其中，正确的说法是()。A.回答 b根据曲线关于直线x=0对称的事实，函数只有在=0时才是偶数，所以(2)它是错误的。使用排除方法选择b。变式2如图所示，两条正态分布曲线：1是，2是，然后，(填入大于、小于)回答。分析：从正常密度曲线图像的特征可知。变型3如图所示为三个正态分布x n (0，0.25)、y n (0，1)和z n (0，4)的密度曲线，三个随机变量x、y和z的对应曲线分别为_ _ _ _ _ _ _ _、_ _ _ _ _ _和_ _ _ _ _ _ _ _。回答 。变式4假设正常人口落入区间的概率为0.5，相应的正常曲线在时间上达到最高点。回答 0.2。因为法线曲线关于直线是对称的，所以从问题的意义就知道了。第三类：正态分布的计算例3。假设随机变量服从正态分布N(2，2)，p ( 4)=0.84，则p ( 0)=(A.0.16B.0.32C.0.68 D.0.84思路指向利用法线曲线的对称性可以画出法线曲线并求解。分析p(4)=0.84，=2，8756；p ( 0)=p ( 4)=1-0.84=0.16，因此选择a总结和升华本课题利用正态密度曲线的性质来计算概率，应注意对称性的应用。互相类比：变式1)(1)和的值分别是什么？(2)和的值分别是什么？回答(1)比较()时，它=0，=1。(2)比较()时，它=-1，所以=-1，=3。变式2在某种测量中，测量结果服从正态分布。如果(0，1)取值的概率是0.4，那么(0，2)取值的概率是_ _ _ _ _ _。回答 0.8服从正态分布，(0，1)和(1，2)取值的概率是相同的，都是0.4。取值(0，2)的概率是0.40.4=0.8。变量3设置随机变量x n (0，1)，(1)P(-a X 0)=P(0 X a)(A0)；(2)P(X 0)=0.5；(3)如果p (| x | 1)=0.6826已知，则p(x -1)=0.1587；(4)如果p (| x | 2)=0.9544已知，则p(x 2)=0.9772；(5)如果p (| x | -3)=0.9987。正确的是()A.2 b.3 c.4 d.5回答维；两者都是正确的，充分利用了法线曲线的对称性及其意义。例4。设置 n (1，22)并尝试找出：(1)P(-1 3)；(2)P(3 5)；(3)P(5)。思路指向要求随机变量的概率在一定范围内。只有正常密度曲线的图像属性和教科书中给出的数据需要转换和评估。分析 n(1，22)， 1，=2，(1)P(-1 3)=P(1-2 1 2)=P(3)=0.683。(2)P(3 5)=P(-3 1)，P(35)。(3)P(5)=P(3)，。总结升华当计算随机变量在一定范围内的概率时，我们可以先把随机变量的值转换成一个区间，然后用上概率约为0.683，上概率约为0.954，上概率约为0.997。互相类比：变体1，寻求。当回答=2，=5，变式2如果 n (5，1)，求p (5 7)。答案 n(5，1)，正态分布密度函数的两个参数是=5，=1，正常密度曲线关于x=5对称。变体3集。(1)寻找p(-1 1)；(2)求出p(02)。回答(1)何时.。(2)、法线曲线关于直线x=0对称，。类型4。正态分布的应用例5。某一年级的数学考试分数大致遵循正态分布N (70，102)。如果分数低于60，那么(1)不及格的人的百分比是多少？(2)分数在80至90分之间的学生百分比是多少？本主题研究正态密度曲线的对称性和三个特殊区间内正态变量的概率。因为正态密度曲线关于直线x=是对称的，所以这个问题可以通过使用对称性和特殊值来解决。分析 (1)将学生的分数设为随机变量X，然后x n (70，102)，其中=70，=10。分数在60和80之间的学生人数的概率是p(70-10 X 70-10)=0.683，(1-0.683)=0.1585。(2)P