对勾函数 反比例函数与双曲线方程

对勾函数 反比例函数与双曲线方程福建尤溪文公高级中学 郑明淮在初中数学里函数叫反比例函数，它的图像是双曲线，两坐标轴是双曲线的渐近线。而高中数学平面解析几何中的双曲线是以方程形式呈现的，其标准方程为，两惭近线方程为。我们在研究对勾函数的图像时注意到它同样有两条渐近线，分别是直线和。那么它的图像到底是不是双曲线呢？初高中的数学教材并未对此作出说明，不能不说是一种缺憾。本文就这一问题寻求理论支撑以并在实践操作层面作一探讨。 一、反比例函数和对勾函数的图像都是双曲线1、平面解析几何知识告诉我们：二元二次方程所表示的曲线由两判别式和与0的大小关系共同决定。当且时，它表示双曲线。对于反比例函数，可以化为方程，容易计算得：且，因此它的图像是双曲线。对于函数可以化为方程 ，计算得，且，因此它的图像是双曲线。2、作反比例函数和对勾函数图像的两条惭近线所形成角的平分线得两条过原点且互相垂直的直线和，并设其倾斜角分别为和且。以和作为轴和轴重新建立直角坐标系，我们会发现，它们与高中所学标准方程双曲线图形是一致的。也就是说把这两个函数图像及相应的惭近线绕原点沿顺时针方向旋转角度，便可得到标准方程形式的双曲线。如图：3、 函数图像虽然不像对勾，但仍是双曲线。如图：2、 正比例函数图像双曲线顶点坐标、焦点坐标和离心率利用双曲线标准方程中的不变量，我们可以把正比例函数图象重新建立坐标系得到标准方程，从而求得不变量的值，再用于求原坐标系下的焦点坐标和离心率。以为例。两惭近线夹角平分线为，其中与双曲线有交点的是，求出交点坐标为：A和B，设双曲线的标准方程为，则，又在以直线为坐标轴的新坐标系中，双曲线的惭近线y轴在新坐标系下的倾斜角为，斜率为，所以，所以该双曲线的标准方程为：。利用标准方程进一步可以求出半焦距，因为焦点在实轴上，设焦点坐标为F，则由解得：。所以的交点坐标为和。离心率。3、 双曲线的实轴、虚轴、顶点坐标、焦点坐标和离心率双曲线的两条渐近线方程为和，在高中学生未系统学习坐标系旋转相关知识的情况下，如何通过已有的知识来解决求双曲线的实轴和虚轴所在的直线方程进而解决求顶点坐标、焦点坐标和离心率一系列问题？我们可以借助向量相关知识来确定实轴所在直线的斜率。以原点为起点取两渐近线的两个单位方向向量，并使双曲线的实轴经过这两向量夹角。则这两个向量的和向量就是实轴的方向向量。设该方向向量为，则实轴的斜率为。下面以双曲线为例来解决这一问题，其他情形可作类似解答。显然，双曲线的实轴经过第一象限。取两惭近线的单位方向量，则实轴的方向向量为，所以实轴的斜率为，又实轴过原点，可得实轴所在的直线方程为：。因为虚轴过原点且与实轴垂直，所以它的直线方程为：。将实轴方程与双曲线方程联立可解得双曲线的两个顶点坐标为：，双曲线的实半轴长为。下面以实轴所在直线为轴，虚轴所在直线为轴新建直角坐标系，则渐近线对应于新坐标系的倾斜角为实轴在原坐标系下的倾斜角的余角，且在新坐标系下的方程为，其中为半虚轴长。所以，至此可得双曲线在新坐标系下的标准方程为： 双曲线的半焦距，所以双曲线的离心率为：以原点为圆心，为半径的圆的方程为，把它与实轴方程联立可求得双曲线两个焦点坐标为：和本解法中令可以发现它与双曲线的相应结论是一致的。4、 应用举例例1、(福州市20142015学年度第一学期高三质量检查理科第12题)已知直线与曲线没有公共点若平行于的直线与曲线有且只有一个公共点，则符合条件的直线（） A不存在 B恰有一条 C恰有两条 D有无数条分析：曲线是函数中交换后的曲线，它与对勾函数图像关于直线对称，因此它仍是双曲线，且轴和直线是它的两条渐近线。问题转化为寻找与双曲线有且只有一个公共点的平行线，显然只有与两条渐近线平行的直线才满足要求，又与双曲线没有公共点，故只能是两条渐近线本身，所以本题选C。例2、已知点P为函数图像上的任意一点，过P点作y轴的平行线交直线于A点，过P点作与直