数学人教必修2B圆的方程

圆的方程教学目标（一）教学知识点圆的参数方程.（二）能力训练要求1.理解圆的参数方程.2.熟练求出圆心在原点、半径为r的圆的参数方程.3.理解参数的意义.4.理解圆心不在原点的圆的参数方程.5.能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程.6.可将圆的参数方程化为圆的普通方程.教学重点圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为：(为参数）圆心在(a,b)、半径为r的圆的参数方程为：(为参数）教学难点参数方程的概念如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即 (*)并且对于t的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组（*）叫做这条曲线的参数方程.教学方法创造教学法引导学生用创新思维去寻求新规律.教具准备投影片两张第一张：7.6.3 A第二张：7.6.3 B教学过程.课题导入师上两节课，学习了圆的两种形式的方程，请同学们回顾一下.（师生共同完成以下活动）若以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径.若D2+E2-4F0，则方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，称其为圆的一般方程.这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点，即：（1）x2和y2的系数相同，不等于0；（2）没有xy这样的二次项.师请同学们深思，圆是否还可用其他形式的方程来表示呢？（打开多媒体课件或投影片7.7.3 A).讲授新课师下面请同学们仔细观察这一过程.点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，设P0OP=.师（提问）：观察到了什么？生甲当确定时，点P在圆O上的位置也随之确定.生乙当变化时，点P在圆O上的位置也随之变化.师总之，我们看到，点P的位置与旋转角有密切的关系，正如刚才两位同学所讲.不妨，我们研究一下它们的具体关系.若设点P的坐标是(x,y)，不难发现，点P的横坐标x、纵坐标y都是的函数，即 并且对于的每一个允许值，由方程组所确定的点P（x,y）都在圆O上.看来，这一方程也可表示圆.那么，我们就把方程组叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程.其中是参数.若圆心为O（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O，半径为r的圆按向量=(a,b)平移得到的.（打出投影片7.6.3 B)不难求出，圆心在（a,b）、半径为r的圆的参数方程为： (为参数）若将方程组中的参数消去，则可得到这一圆的标准方程，即：（x-a)2+(y-b)2=r2.进而展开，便可得到这一圆的一般方程，即：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.看来，圆可用标准方程、一般方程、参数方程三种形式的方程来表示，且它们均可以互化.其中标准方程、一般方程是直接给出曲线上点的坐标关系的方程，我们又称其为圆的普通方程.对于参数方程，一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，其中联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数.注意：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系.师下面我们来看如何应用圆的参数方程来处理一些相关问题.例如图所示，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）.点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？分析：应先根据线段中点坐标公式特点M的横、纵坐标表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型.解：设点M的坐标是(x,y).圆x2+y2=16的参数方程为：又点P在圆上，设P的坐标为(4cos,4sin)由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为：从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心、2为半径的圆.课堂练习课本P81练习 1，2.1.填空：已知圆O的参数方程是 (02）(1)如果圆上点P所对应的参数=，则点P的坐标是 .（2）如果圆上点Q的坐标是（-），则点Q所对应的参数等于 .解析：(1)由得 (2)由 (02）得=.答案：（1）（） （2）2.把圆的参数方程化成普通方程：（1） (2)解：(1)由 得sin2+cos2=1即：(x-1)2+(y+3)2=4.(2)由 得又sin2+cos2=1（x-2)2+(y-2)2=1.生（板演）：3.经过圆x2+y2=4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程.解：设M（x,y)为线段PQ的中点，圆x2+y2=4的参数方程为：又点P为圆上任一点可设点P的坐标为(2cos,2sin)则Q点的坐标为（2cos,)由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程为： 消去参数,可得：（)2+y2=1即+y2=1.师（讲评）：欲解决此问题，应先根据题意画出草图，帮助分析，以便寻求解题途径.此题也可不必将圆的参数方程写出，可直接应用圆的标准方程.另解：设线段PQ中点为M（x,y)，据题意可得Q点坐标为(x,0)，由线段中点坐标公式可得P点坐标为(x,2y)又点P为圆上任一点x2+(2y)2=4即+y2=1.课时小结