数学复习竞赛讲座13平面三角

2008高考数学复习竞赛专题讲座13 平面三角三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等这里以单调性为最难它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。由2k-2x+2k+，kZ，得k-xk-，kZ。即原函数的单调增区间为：k-，k-（kZ）。【例2】 若（0，），比较sin(cos)，cos(sin)，cos这三者之间的大小。解：在（0，）中，sinxxtgx，而0cosx1，sin(cos) cos。在（0，）中，y=cosx单调递减，cos cos(sin)。sin(cos) cos0，f（）cos（sin）= cos 10，0 sin。=sin(ctg) ctg。作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：。证明：01，0sin1-=，k=2，3，n。(coscos cos)2()()()()=()2，coscos cos。二、三角恒等变换众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。【例1】（1）已知cos= -，sin(+)= ，且0，求sin的值。（2）已知sin(-)= ，求的值。提示：（1）sin=。（2）sin2=1-2 sin2(-)=；=。【说明】三角变换重在角的变换。【例2】求coscoscoscos的值。解法1：利用公式coscos2cos4cos2n=，得coscoscoscos= -，coscoscoscos=。又coscos=，cos=，coscoscoscos=。解法2：coscoscoscos= =。解法3：利用公式coscos(+)cos(-)= cos3，取=、。【例3】求cos420+cos440+cos480的值。解：由倍角公式得cos4=()2= (1+2cos2+cos22)= +cos2+cos4，cos420+cos440+cos480= 3+(cos40+ cos80+ cos160)+(cos80+ cos160+ cos320)= +(cos40+ cos80+ cos160)= +(2cos60 cos20- cos20)= 。【例4】若sin+cos=，cos+sin=，求sincos的值。解：令=-，则(1)(2)得tg=， cos(+)=，sincos=sinsin= - cos(+)+ cos(-) = -。【例5】已知f(x)=sin(x+)+cos(x-)是偶函数，0，求。解法一：由偶函数的定义，可得(cos+sin)sinx=0对任意xR成立。cos+sin=0，2 sin(+)=0，+=k，而0，=。解法二：由f(-)=f()，得=，然后验证f(x)是偶函数。【例7】方程sinx+cosx+a=0在（0，2）内有相异两根、，求实数a的取值范围，以及+的值。解：sinx+cosx+a=0，sin (x+)= -。令t= x+，则t(，)，sint= -。作出函数y= sint，t(,)的图象：由图象可以看出：当-1 -1且-即-2a-或-a2时，sint= -有相异两根t1、t2，原方程有相异两根、，并且当-2a-时，t1+t2=(+)+(+)=，+=；当-a2时，t1+t2=(+)+(+)=3，+=。【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。解：由已知得，(1)2+(2)2得cos(x-y)= -，同理，cos(y-z)= -，cos(z-x)= -。x，y，z中任意两角的终边夹角为，不妨设x=y+2m,mZ，y=z+2n,nZ，x= z+2(m+n)，x+y+z= 3z+2(m+2n+1)，s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz= tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz= tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz= tg3z+ tgz tg(+z)tg(-z)=0。【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便：