数学第二轮复习教案空间角与距离的计算

高考数学第二轮复习教案空间角与距离的计算 考点核心整合一空间角 计算空间角，其一般方法是根据定义通过作辅助线或辅助面构造出要求的角并作出含有角的三角形，从而通过解三角形得角的值 1求异面直线所成角的常用方法 （1）平移法（定义法）：即根据定义找出或作出有关角的图形并证明它符合定义，进而求出角的大小 （2）补形法：有时在原几何体上补一个类似的几何体 2求直线与平面所成角的常用方法 （1）定义法：关键是作出斜线在平面内的射影，即关键是判断射影在平面内的位置 （2）公式法：cos= cos1cos2（其中1为所求线面角，为斜线与平面内任一直线所成的角，2为射影与该直线所成的角） 3二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 （1）二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，它是转化成平面内两条相交直线所成的角（二面角的平面角）度量的，与顶点在棱上的位置无关 （2）求二面角大小的三个步骤：找出或作出二面角的平面角（本着先找后作的原则）；证明符合定义；指出某角即为二面角的平面角并计算（往往把该平面角放置到一个三角形中去求）简单地表述为：一作，二证，三计算 二面角的大小，课本中给出了具体范围，即为0， （3）求作二面角的平面角的方法： 定义法：在棱上找一点O，在二面角的两个面内分别作棱的垂线AO、BO，则AOB即为二面角的平面角 用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角：从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线，垂足为B，再由B向棱作垂线交于点C，则ACB即为二面角的平面角 作棱的垂面：作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角 面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为，则cos= 对于未给棱的二面角的求法，一般情况下首先作棱或在有利条件下利用射影公式求更方便二、空间的距离立体几何中涉及到的距离有八种：两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、两平行线间距离、异面直线间距离、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离以及求球面上两点间距离这八种距离都归结到求点到点、点到直线、点到面这三种距离求距离问题的解题步骤是找到表示该距离的线段，证明该线段合题意，得到该线段所在三角形，解这个三角形，求出距离1求异面直线间距离大体有如下的解法：（1）作出两条异面直线的公垂线段然后求之；（2）将异面直线间距离转化为线面之间的距离；（3）将异面直线间距离转化为面面之间的距离；（4）运用“两条异面直线间距离，是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值”这一概念求之；（5）利用体积法（主要是指三棱锥的体积）求之2点到直线或平面的距离是空间最常见的，求解的关键是正确作出图形，其中确定垂足位置最重要，应充分利用图形性质，注意各种距离之间的相互转化，等积求法及“平行移动”的思想方法3求距离的方法大致有两种： （1）直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示该距离的线段，再证明该线段即为所求距离，然后再计算，不能忽视第二步的证明 （2）间接法：包括等积法和转化法，转化法即不断地进行点面、线面、面面距离之间的转化，直到求出为止考题名师诠释EABCDA1B1C1D1FGHIJ【例1】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为 解析 如右图，题目即以A为球心，为半径的球面与正方体六个面交线的长度，而这条交线有六条弧构成，即EFGHIJ由对称性知EF = GH = IJ，FG = HI = JE，所以，所求曲线长l = 3(+)由AE = ，AA1 = 1，则AF = AE = ，A1E = = ，A1F = A1E = ，A1AE = A1AF = 由对称性FAG = -A1AE = -2 = 因此为以A1为圆心、为半径、为圆心角的一段弧，故 = A1E = 同理，FG为以A为圆心，为半径、为圆心角的一段圆弧故= AF = 所以，所求曲线的长l = 3(+) = 答案 评叙 本题以正方体各侧面截球面求交线为背景，全面考查空间想象能力和分析解决问题的能力考虑正方体各面与球面的交线时，应知道截线都是圆弧，但不过球心A的面截球面所的截线是小圆的圆弧，而经过球心A的面截球面所得的是大圆的圆弧ABCDEOFG【例2】（2005年福建卷，20）如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE = EB，F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离（1）证明：BF平面ACE，BFAE二面角D-AB-E为直二面角，且CBAB，CB平面ABECBAEAE平面BCE（2）解：连结BD交AC于点G，连结FG正方形ABCD的边长为2，BGAC，BG = BF平面ACE，由三垂线定理的逆定理，得FGACBGF是二面角B-AC-E的平面角由（1）AE平面BCE，AEEB又AE = EB，在等腰直角AEB中，BE = 又直角BCE中，EC = = ，BF = = = ，RtBFG中，sinBGF = = = 二面角B-AC-E等于arcsin（3）解：过E作EOAB交AB于点O，OE = 1二面角D-AB-E为直二面角，EO平面ABCD设D到平面ACE的距离为h，VDACE = VEACD， SACEh = SACDEOAE平面BCE，AEECh = = = 点D到平面ACE的距离为评叙 本题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力与运算能力【例3】（2005年北京卷，理16）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB = AD = 2，DC = 2，AA1 = ，ADDC，ACBD，垂足为EBACDEFA1B1C1D1（1）求证：BDA1C；（2）求二面角A1- BDC1的大小；（3）求异面直线AD与BC1所成的角的大小（1）证明： 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCDAC是A1C在平面ABCD上的射影BDAC，BDA1C（2）解：连结A1E、C1E、A1C1与（1）同理可证BDA1E，BDC1E，A1EC1为二面角A1- BDC1的平面角ADDC，A1D1C1 = ADC = 90又A1D1 = AD = 2，D1C1 = DC = 2，AA1 = ，且ACBD， A1C1 = 4， AE = 1，EC = 3A1E = 2，C1E = 2在A1EC1中，A1C12 = A1E2 + C1E2，A1EC1 = 90，即二面角A1- BDC1的大小为90（3）解：过B作BFAD交AC于点F，连结FC1，则C1BF就是AD与BC1所成的角AB = AD = 2，ACBD，AE = 1，BF = 2，EF = 1，FC = 2，BC = DCFC1 = ，BC1 = 在BFC1中，cosC1BF = = C1BF = arccos，即异面直线AD与BC1所成的角的大小为arccos【例4】（2004年全国卷，20）如图，已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120ABCDP（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成的二面角的大小解（1）：如图，作PO平面ABCD，垂足为点O连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PEADPB，ADOBPA = PD，OA = OD于是OB平分AD，点E为AD的中点，PEAD由此知PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，PEB = 120，PEO = 60ABCDPEO由已知可求得PE = PO = PEsin60 = = 即点P到平面ABCD的距离为（2）如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AGPB，FGBC，FG = BCADPB，BCPB，FGPBAGF是所求二面角的平面角AD面POB，ADEG又PE = BE，EGPB，且PEG = 60ABCDPEOGF在RtPEG中，EG = PEcos60 = 在RtPEG中，EG = AD = 1于是tanGAE = = 又AGF = - GAE，所求二面角的大小为 - arctan评叙 本题主要考查棱锥、二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力l 特别提示 1求二面角的平面角的步骤： （1）先作出二面角的平面角，其作法有定义法、根据三垂线定理及其逆定理、垂面法； （2）根据作法构造三角形，在直角三角形中，用解直角三角形的方法；在斜三角形中，利用正、余弦定理求二面角的平面角 2二面角的计算方法常用的还有：射影面积法，向量法利用这些方法可在不作出二面角的平面角的情况下求出二面角的平面角ABCDOA1B1C1D1考能提升训练一、选择题 1（2005年湖南卷，5）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面ABC1D1的距离为 （ ） ABCD 2对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：与a是异面直线；与a所成的角为定值；与a的距离为定值d那么这样的直线b有 （ ）ABCPMN A1条B2条C3条D无数条 3如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 （ ）ABCA1B1C1D1F1 ABCD 4如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，BCA = 90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC = CA = CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ） ABCD ABCDMBCEF 5正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）M为矩形AEFD内一点，如果MBE = MBC，MB和平面BCE所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为 （ ）AB1CD二、填空题6长方体的一条对角线与交于一点的三个面所成的角分别为、，那么下列命题： sin2+ sin2+ sin2= 1；sin2+ sin2+ sin2= 2；ABCFEA1B1C1cos2+ cos2+ cos2= 1；cos2+ cos2+ cos2= 2其中正确命题的序号是 7（2005年江西卷，理15）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB = BC = ，BB1 = 2，ABC = 90，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 三、解答题BCADSM 8（2004年春季北京卷，17）如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD底面ABCD，SB = （1）求证：BCSC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小BCADPE9（2005年湖北卷，理20）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB = ，BC = 1，PA = 2，E为PD的中点 （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离10如图所示，在矩形ABCD中，AB = 1，BC = a，PA平面ABCD，PA = 1 （1）在BC边上是否存在点Q，使得PQQD？说明理由（2）若BC边上有且仅有一个点Q，使PQQ