新课标高二数学绝对值不等式

高二数学绝对值不等式专题 题目：简单绝对值不等式研究进阶 重点：对不等式性质的深入研究 难点：多绝对值符号不等式 内容 一、对于下例我们通常采取“几何意义”法 例1求解关于x的不等式：14 分析：用几何意义翻译如下：“求数轴上到-10与到2的距离和小于4的点。” 看数轴-10，2将数轴分成3部分，各点到这两点距离之和以-10，2区间上的取值最小，为12。 因此我们知道不等式左侧的最小值为12，恒大于4，由此我们有：原不等式的解集为R。深入一步我们会想这样的问题：如果现在左侧是三个绝对值符号（或更多），这样的不等式我们能不能解呢？答案是肯定的，对于处理绝对值符号的基本方法：分区间确定符号在这里仍然有效，无非是n个一次零点将数轴分成n+1段，逐段讨论。当然这里n较大时讨论的计算量也随之加大。那我们有没有简单直接的方法呢？ 首先我们有如下共识：不等式f(x)0的解集是函数y=f(x)图象在x轴上方对应的x的集合。进而：不等式f(x)m(mR)的解集是函数y=f(x)图象在直线y=m上方对应的x的集合。当然，f(x)m其中xi(i=1,2,n)是常数的问题就转化成了，求作左侧函数图象的问题。这里我们不妨作出几个草图，从中观察一些规律。 函数y1=|x-2| 草图： 函数y2=|x-2|+|x+1| 草图： 函数y3=|x-2|+|x+1|+|x-1| 草图： 函数y4=|x-2|+|x+1|+|x-1|+|x+2| 草图：函数 y5=|x-2|+|x+1|+|x-1|+|x+2|+|x-3| 草图：简单观察上述函数与其草图，加上对这些图象外观的思考，我们不难发现如下的一些规律： 函数y=|x-x1|+|x-x2|+|x-xn|的图象 宏观上看呈“”型 当n=2k (kZ+)时，图象为“平底”型，即在一个区间上取最小值；当n=2k+1 (kZ+或k=0）图象为“尖底”型，即在某个点取最小值。 在相邻两个xi和xj之间图象为线段，我们称之为“分段线性”。 所以，求不等式的问题已经转化成“”型图象与直线y=m相互关系的问题。 对于不等式ym，若方程y=m有两个根，则解集仍满足所得“大于在两边，小于在中间”的规律。 对于多绝对值符号不等式的研究我们暂告段落，看下面一个例子： 例3：求解关于x的不等式：|3 分析一：将绝对值符号内的分式当作一个整体来分析，转化为最简绝对值不等式|X|3,故有：-33，而这是一个分式不等式组，对其求解我们没有研究过。 分析二：|=3 将之视为多绝对值问题，将数轴按0，分成三段： 或或或或x-1 原不等式解集x。 分析三：当x0时,|x|0不等式两边同乘|x| |2x-1|3|x| 两边平方 (2x-1)2(3x)2 (2x-1-3x)(2x-1+3x)0 (-x-1)(5x-1)0 画二次函数草图： 二次不等式解集即原不等式解集为：x|x。 本周练习 1求解下列不等式： |x-2|+|x+2|2 2如果关于的不等式|ax+1|b的解集是-x,求a, b。 3解关于x的不等式|ax-2|4。 二解绝对值不等式 例1：解不等式分析和解：为了去掉不等式左端的绝对值符号，我们应首先找到使每个绝对值等于零的x值，解|x-1|=0得x=1，解|x+2|=0得x=-2。 综合上述，不等式|x-1|+|x+2|5的解是-3x0的解为-x0。 解：解为-x的不等式是 (x-)(x+)0，即x2-x-0。 该不等式与ax2+2x+c0同解, 将这两个不等式比较系数后得:a=-12,c=2。 不等式-cx2+2x-a0, 即-2x2+2x+120。解得-2x0的解集是x|axb(0ab),试求不等式cx2+bx+a0的解集是x|ax0的解集是x|axb(0ab),所以a0, ab=0；并可推得b0,c0, 0。 故恰好是方程cx2+bx+a=0的两个正根,并且0。 故不等式cx2+bx+a0的解集是x|x。 练习： 1、实数k在什么范围内取值时，不等式的解集是实数R？ 略解：。 。 评述：若将此题稍加改造在解集不变的情况下，可改造成这样的题目：k