数学复习点拨第三章导数及其应用教材解读

第三章教材解读重点热点：求函数的最值问题（这既是高中教材的重点，也是高考的热点）。思想方法：1由有限到无限、逐步逼近的思想。2数形结合思想，利用导数的几何意义研究曲线的变化规律。3函数方程和转化的方法意识，能将实际问题转化为数学问题，从而解决问题。教材解读： 1定义法解题例1 已知函数f(x)在xx0处可导，则 。分析：对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和x0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形。解：f(x0)。2f(x0)f(x0)。2最优解问题例2 用半径为R的圆形铁皮，剪一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形的漏斗（如图所示）。问圆心角取什么值时，漏斗容积最大？分析：解实际问题时，要注意两个量之间的转化。就本题来说，截得的圆铁皮的弧长是圆锥的底面的圆周长，这是列出相关函数关系式的关键。解：设圆锥形漏斗的底面半径为r，高为h，容积为V，那么：r2h2R2。容积Vr2h(R2h2)hR2hh3，其中0hR。所以VR2h2。令V0，得hR。当0hR时，V0；当RhR时，V0。当hR时，V取得极大值，并且这个极大值也是最大值，此时rR。由弧长公式R2r，得。此时漏斗容积最大。3应用导数解决相关数学问题例3 求证：lnx(x1)21(1x)3。分析：可利用构造函数求极值的方法予以证明，同时要注意x0这一隐含条件。解：设f(x)lnx(x1)21(1x)3，则f(x)(x1)2(x1)2(x1)2(x1)11x2(2x3)2x33x21(2x32x2)(x21)(2x2x1)(2x1)(x1)(2x1)。令f(x)0，得x1 或x（函数定义域x0，故应舍去）。在x1附近，f(x)的符号先负后正。当x1时，f(x)取得极小值，同时它也是最小值。此最小值为f(1)0。当x0时，f(x)0，即lnx(x1)21(1x)3。4探索性问题例4 已知函数f(x)x2c，且ff(x)f(x21)。设函数g(x)ff(x)，求g(x)的解析式；设函数(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在(，1)内为减函数，且在(1，0)内为增函数。分析：若f(x)在区间D上是增函数（或减函数），则f(x)0（或0）在区间D上恒成立（其中使f(x)0的点是不连续的）。解：由ff(x)f(x21)得(x2c) 2c(x21) 2c，整理得2cx2c22x21，即c1。g(x)ff(x)f(x21)(x21) 21x42x22。(x)g(x)f(x)x4(2)x22(2)，(x)4x32(2)x。若(x)在(，1)内为减函数，则4x32(2)x0对于x(，1)恒成立。故22x2，对于x(，1)恒成立。因为当x(，1)时，2x22。所以22，即4。若(x)在(1，0)内为增函数，则4x32(2)x0对于x(1，0)恒成立。故22x2，对于x(1，0)恒成立。因为当x(1，0)时，22x20。所以22，即4。综合上述知，当4时，(x)在(，1)内为减函数，且在(1，0)内为增函数。5解决与其他学科相关的优化问题例5 对某个量进行n次测量，得到n个测量结果x1，x2，xn。如果用x作为这个量的近似值，当x取什么值时，(xx1)2(xx2)2(xxn)2最小？分析：首先要明确表达式中的x1，x2，xn都是常量，只有x是变量，就是说这是关于x的二次函数，利用导数就可以求出这个极值。解：设f(x)(xx1)2(xx2)2(xxn)2nx22(x1x2xn) x(x12x22xn2)故f(x)2nx2(x1x2x