浙江宁波海区外语实验学校高中数学史资料集数学史中的二元一次方程式素材

数学史中的二元一次方程式 二元一次方程式在数学中是十分基本且重要的概念，下面将对中国、巴比伦和印度数学史中的二元一次方程式做一简介。由于笔者才疏学浅，数据来源又以中文为主，所以自觉这篇文章有三点不足之处：一、未考虑时代背景与数学发展背景。二、未述及解析几何中的二元一次方程式。三、未述及西方数学对二元一次方程式和二元一次联立方程式解法的发展。 此外，在收集资料的过程中，发现关于二元一次方程式的资料很少，论及二元一次联立方程式的更少，猜测这或许与绝大多数的二元一次联立方程式题目都可以用一元一次方程式来解决有关。 中国九章算术 九章算术成书于汉代，集之前数学知识之大成，是中国最重要的一本算书；刘徽为其作注时，全面的证明其中的公式与解法(注一)，不但对中国后世的数学发展，甚至邻近地区的数学发展都有深远的影响。 九章算术第八章方程中共有十八个问题，都是关于一次联立方程的问题，其中二元的问题有八个，三元的问题有六个，四元的问题有二个，五元的问题有一个，属于不定方程(六个未知数五个方程)的有一个(注二)。属于二元的是第二、四、五、六、七、九、十、十一问，其中第二问是： 今有上禾七秉，损实一斗，异之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗， 与上禾二秉，而实一十斗；问上、下禾一秉个几何？ 答曰：上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十一 术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗 者，其实不满一十斗也。术曰就是解法。如方程便是列出方程式，用现今之符号(上禾一秉x斗，下禾一秉y斗)列出： (7x-1)+2y=10 2x+(8y+1)=10 损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。就是指常数项的移项，原方程式变成： 7x+2y=11-(1) 2x+8y=9-(2) 至于接下来的算法便是利用方程术，由于方程术是在第一问(三元一次)后所提出的，所以第二问中就没有再写出计算过程，下面是我用现在的符号改写方程术的计算过程： (2)乘以(1)的x项系数7，得14x+56y=63-(3) 用(3)去减(1)，直到(3)之x项系数为0，得52y=41-(4) (1)乘以(4)的y项系数52后，再一直减去(4)，到y项系数为0止，得364x=490，再除以原x项之系数7(即(1) x项之系数)，得52x=70-(5) 由(4)、(5)可知上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十 一。其实方程术相当于利用系数列出一增广矩阵后再做运算，也就是将上述的过程写成： 由于这只是二元的问题，并不能全盘看出方程术的法则，有兴趣的读者不妨看郭书春所著古代世界数学泰斗刘徽书中第42页，在那清楚的演示用方程术解第一问。 方程章在第二问已经有了常数项的移项；第四问中不但有常数项的移项，还有未知数项的移项；而第六问中更出现了负数的情形，熟知负数发展历史的读者必定会明了此为一重大之突破；到了第十问更是出现分数系数的情形，而其解法与我们现今相同，将其化成整系数方程式后再求解。 方程术是九章算术最高的数学成就(注三)，刘徽亦在此基础上创立了方程新术，使中国数学成为这一领域中的佼佼者。 九章算术在第七章盈不足中虽然不是用方程式的方式来解，但许多问题亦可划归于二元一次方程式的范畴，若能适当的引入课堂之中，必能启发学生更多的兴趣与共鸣。 典型的盈不足问题是共买物问题：各人所出A，盈a；所出B，不足b，求人数、物价(注四)。九章算术给出了一般公式： 每人应出的钱=(Ab+aB)/(a+b) 物价=(Ab+aB)/(A-B) 人数=(a+b)/(A-B)九章算术还给出了两盈(或两不足)的公式，并利用这两组公式解决了大量的一般二元一次的算术问题(含分配问题、混合分配问题等等)，因为在这类问题中，任意代入两个数，必定是上述两种情形之一。举第十三问为例： 今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。问醇 酒、行酒各得几何？ 答曰：醇酒二升半，行酒一斗七升半。 术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十。令之醇酒二升，行酒一斗八 升，不足二。解法意思是若买醇酒五升，行酒一斗五升，则(较三十钱)盈十钱；若买醇酒二升，行酒一斗八升，则(较三十钱)不足二钱。所以就可以利用先前的公式得： 醇酒升数(5*2+10*2)/(10+2)=2.5升 行酒升数(15*2+10?18)/(10+2) 17.5升 这样的算法既直接又快速，反观若用现在中学所教的二元一次联立方程式来解，就解法上而言就显得笨拙许多。至此，不禁让我想到埃及人在解一元一次方程式时，亦是先任意假设一数再 行运算，两相比较之下，颇有异曲同工之妙！ 巴比伦 巴比伦人在解决二元及三元问题时有两种方法(注五)，第一种很类似于我们现在的代入消去法；第二种今日称为丢番图法(Diophantine)，但这并不是丢番图(Diophantus,约A.D.250)所创，而是他学习了巴比伦人的方法，这种方法特别适合于解决有一个方程式为x+y=s(s为已知)，此时令x=s/2+w，y=s/2-w，代入另一个方程式中便可解出w，如便可以求得x与y了。下面举的例子是出自于汉摩拉比王朝时代(B.C.17921750)的一块泥板上，虽然是二元二次的题目，但可以看出此方法的运用： 有一长方形，将其面积加上长，减去宽得183；长、宽之和为27，求长、宽及面积。 解： 假设长为x，宽为y，依题意列式， xy+x-y=183-(1) x+y=27-(2) 令y=y-2?y=y+2，代入(1)及(2)得 xy=210-(3) x+y=29-(4) 由(4)，令x=29/2+w，y=29/2-w代入(3)，得w=1/2， 故x=29/2+1/2=15，y=y-2=29/2-1/2-2=12在泥板上并未出现类似未知数列式的符号算式，只有叙述计算的过程，而且是六十进制制的，有兴趣的读者可参看梁宗巨著的数学历史典故。读者不难发现，丢番图法运用时需要较高的技巧，也就是要先把其中一个方程式化成x+y=s的形式才可，不过不论是丢番图法或是第一种方法，在推广到多元一次联立方程式的问题时就显得十分繁杂，不如九章算术方程术来的简便，但巴比伦人的方法在解决非线性的问题时便可以看出其优越性，由此可以反映出巴比伦人的泥板上有许多的非线性问题，而九章算术几乎没有非线性问题的情形。 印度 印度人在二元一次方程式方面的成就当首推阿扬巴哈一世(Aryabhata I,A.D.476?)，他在所写的Aryabhatiya中不但清楚的描述出当时印度数学的现况，更给了印度数学继续发展的动力(注六)，关于二元一次方程式方面的成就也记载于此书中。阿扬巴哈一世他首先给出不定方程式ax+by=c的所有整数解，其方法经传人改进后十分类似于现今的方法(注七)，概说如下： 不妨只考虑a，b互质的情形，则存在两整数p、q使得 ap+bq=1 ax+by=c(ap+bq) (x-cp)/b=(cq-y)/a，令之