新课程高考数学分类汇编圆锥曲线

用心 爱心 专心 圆锥圆锥曲曲线线 一、选择题 1.（2009浙江理）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点A作斜率为 1 的直线，该直 线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ,B C 若 1 2 ABBC ，则双曲线的离心率是 ( ) A 2 B3 C5 D10 答案：C 【解析】对于 ,0A a ，则直线方程为 0 xya ，直线与两渐近线的交点为B，C， 22 ,(,) aabaab BC ab ababab ，则有 22 2222 22 (,), a ba babab BCAB ababab ab ，因 22 2,4,5ABBCabe 2.（2009浙江文）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭 圆上，且BF x 轴， 直线AB交 y 轴于点P若 2APPB ，则椭圆的离心率是（ ） A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 答案：D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交 汇，也体现了数形结合的巧妙应用 【解析】对于椭圆，因为 2APPB ，则 1 2,2 , 2 OAOFace 用心 爱心 专心 3.(2009山东卷理)设双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则 双曲线的离心率为( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D. 5 【解析】:双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为 x a b y ,由方程组 2 1 b yx a yx ,消去y,得 2 10 b xx a 有唯一解,所以= 2 ( )40 b a , 所以 2 b a , 22 2 1 ( )5 cabb e aaa ,故选D. 答案:D. 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置 关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 4.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线 2 (0)yaxa 的焦点F,且和 y 轴交于点A, 若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). A. 2 4yx B. 2 8yx C. 2 4yx D. 2 8yx 【解析】: 抛物线 2 (0)yaxa 的焦点F坐标为 (,0) 4 a ,则直线l的方程为 2() 4 a yx ,它 与 y 轴的交点为A (0,) 2 a ,所以OAF的面积为 1 | | 4 2 42 aa ,解得 8a .所以抛物线方程 为 2 8yx ,故选B. 答案:B. 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积 的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发 的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二 用心 爱心 专心 为一. 5.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为 6 2 的是 （A） 22 1 24 xy （B） 22 1 42 xy （C） 22 1 46 xy （D） 22 1 410 xy 解析由 6 2 e 得 222 222 331 ,1, 222 cbb aaa ，选B 6.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是 A. B. C. D. 【解析】依据双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率 c e a 可判断得. 6 2 c e a .选B。 【答案】B 7.（2009安徽卷文）直线 过点（-1，2）且与直线垂直，则 的方程是 A B. C. D. 【解析】可得l斜率为 33 :2(1) 22 l yx 即3 210 xy ，选A。 【答案】A 8.（2009天津卷文）设双曲线 )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为2，焦距为 32 ，则双曲 线的渐近线方程为（ ） A xy2 B xy2 C xy 2 2 D xy 2 1 【答案】C 【解析】由已知得到 2, 3, 1 22 bcacb ，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐 用心 爱心 专心 近线方程为 xx a b y 2 2 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理 能力。 9.（2009辽宁卷文）已知圆C与直线xy0 及xy40都相切，圆心在直线xy0上， 则圆C的方程为 （A） 22 (1)(1)2xy (B) 22 (1)(1)2xy (C) 22 (1)(1)2xy (D) 22 (1)(1)2xy 【解析】圆心在xy0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于 半径即可. 【答案】B 10.（2009宁夏海南卷理）双曲线 2 4 x - 2 12 y =1的焦点到渐近线的距离为 （A）2 3 （B）2 （C） 3 （D）1 解析：双曲线 2 4 x - 2 12 y =1的焦点(4,0)到渐近线 3yx 的距离为 340 2 3 2 d ,选A 11.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物 线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2） ，则直线的方程为_. 解析：抛物线的方程为 2 4yx ， 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 , 4 4 41 yx A x yB xyxx yx yy yyxx xxyy 则有， 两式相减得， 直线l 的方程为y-2=x-2, 即y=x 答案：y=x 12.（2009天津卷理）设抛物线 2 y =2x的焦点为F，过点M（ 3 ，0）的直线与抛物线相交于 用心 爱心 专心 A，B两点，与抛物线的准线相交于C， BF =2，则BCF与ACF的面积之比 BCF ACF S S = （A） 4 5 （B） 2 3 （C） 4 7 （D） 1 2 【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力， 中档题。 6 4 2 -2 -4 -6 -10-5510 x=-0.5 F: (0.51, 0.00) h x = -2x+3 g y = -1 2 f y = y2 2 A B F C 解析：由题知 12 12 2 1 2 1 A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S ， 又 3 2 3 2 2 1 | BBB yxxBF 由A、B、M三点共线有 BM BM AM AM xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 A A x x ，故 2 A x ， 用心 爱心 专心 5 4 14 13 12 12 A B ACF BCF x x S S ，故选择A。 13.（2009宁夏海南卷文）已知圆 1 C ： 2 (1)x + 2 (1)y =1，圆 2 C 与圆 1 C 关于直线 10 xy 对称，则圆 2 C 的方程为 （A） 2 (2)x + 2 (2)y =1 （B） 2 (2)x + 2 (2)y =1 （C） 2 (2)x + 2 (2)y =1 （D） 2 (2)x + 2 (2)y =1 【答案】B 【解析】设圆 2 C 的圆心为（a，b） ，则依题意，有 11 10 22 1 1 1 ab b a ，解得： 2 2 a b ，对称圆的半径不变，为1，故选B。. 14.（2009福建卷文）若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为2，则a等于 A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 1 解析解析解析 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b= 3，而离心率e= a ，解得a=1或a=3， 参照选项知而应选D. 二、填空题 1.（2009天津卷理）若圆 22 4xy 与圆 22 260 xyay （a0）的公共弦的长为 2 3， 用心 爱心 专心 则 a _ 。 【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。 解析：由知 22 260 xyay 的半径为 2 6a ，由图可知 222 )3()1(6 aa 解之得 1 a 2.（2009江苏卷）如图，在平面直角坐标系 xoy 中， 1212 ,A A B B 为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的四个顶点，F为其右焦点，直线 12 AB 与直线 1 B F 相交于点T，线 段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 . 【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线 12 AB 的方程为： 1 xy ab ； 直线 1 B F 的方程为： 1 xy cb 。二者联立解得： 2() (,) acb ac T acac ， 则 () (,) 2() acb ac M acac 在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上， 22 222 22 () 1,1030,1030 ()4() cac cacaee acac ， 解得： 2 75e 3.（2009广东卷理） 巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 3 2 ，且 G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 【解析】 2 3 e ， 122 a ， 6a ， 3b ，则所求椭圆方程为 1 936 22 yx . 4.(2009年广东卷文)以点（2， 1 ）为圆心且与直线 6xy 相切的圆的方程是 . 用心 爱心 专心 【答案】 22 25 (2)(1) 2 xy 【解析】将直线 6xy 化为 60 xy ,圆的半径 |2 1 6|5 1 12 r ,所以圆的方程为 22 25 (2)(1) 2 xy 5.（2009天津卷文）若圆 4 22 yx 与圆 )0(062 22 aayyx 的公共弦长为 32 ， 则a=_. 【答案】1 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 a y 1 ，利用圆心 （0，0）到直线的距离d 1 | 1 | a 为 132 2 2 ，解得a=1 【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察 了同学们的运算能力和推理能力。 6.（2009福建卷理）过抛物线 2 2(0)ypx p 的焦点F作倾斜角为45 的直线交抛物线于 A、B两点，若线段AB的长为8，则 p _ 【答案】：2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx ，联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx ，又 2 22 (1 1 ) (3 )482 4 p ABpp 。 7.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点， (1,4),AP 是双曲线右支上的动点， 则 PFPA 的最小值为 。 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0), 于是由双曲线性质|PF|PF|2a4 用心 爱心 专心 而|PA|PF|AF|5 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立. 【答案】9 8.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C 交于A，B两点，若 2,2P 为AB的中点，则抛物线C的方程为 。 【答案】 2 4yx 【解析】设抛物线为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得： x2kx0， 21 xx k22，故 2 4yx . 9.（2009年上海卷理）已知 1 F 、 2 F 是椭圆 1: 2 2 2 2 b y a x C （ab0）的两个焦点，P为 椭圆C上一点，且 21 PFPF .若 21F PF 的面积为9，则b=_. 【答案】3 【解析】依题意，有 22 2 2 1 21 21 4| 18| 2| cPFPF PFPF aPFPF ，可得4c2364a2，即a2c29，故有 b3。 10.（2009上海卷文）已知 12 F、F 是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点， p 为椭圆 C上的一点，且12 PFPF 。若 12 PFF 的面积为9，则b . 【答案】3 【解析】依题意，有 22 2 2 1 21 21 4| 18| 2| cPFPF PFPF aPFPF ，可得4c2364a2，即a2c29，故有 b3。 三、解答题 1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分） 用心 爱心 专心 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 2 3 ,两个焦点分别为 1 F 和 2 F ,椭圆G上 一点到 1 F 和 2 F 的距离之和为12.圆 k C : 02142 22 ykxyx)(Rk 的圆心为点 k A . (1)求椭圆G的方程 (2)求 21F FAk 的面积 (3)问是否存在圆 k C 包围椭圆G?请说明理由. 【解析】 （1）设椭圆G的方程为： 22 22 1 xy ab （ 0ab ）半焦距为c; 则 212 3 2 a c a , 解得 6 3 3 a c , 222 36279bac 所求椭圆G的方程为： 22 1 369 xy . (2 )点 K A 的坐标为 ,2K 1 2 12 11 26 326 3 22 K A F F SFF V （3）若 0k ，由 22 60120215 120kkf 可知点（6，0）在圆 k C 外， 若 0k ，由 22 ( 6)0120215 120kkf 可知点（-6，0）在圆 k C 外； 不论K为何值圆 k C 都不能包围椭圆G. 2.（2009浙江理） （本题满分15分）已知椭圆 1 C ： 22 22 1(0) yx ab ab 的右顶点为 (1,0)A ， 过 1 C 的焦点且垂直长轴的弦长为1 （I）求椭圆 1 C 的方程； 用心 爱心 专心 （II）设点P在抛物线 2 C ： 2 ()yxh hR 上， 2 C 在点P处 的切线与 1 C 交于点 ,M N 当线段AP的中点与MN的中 点的横坐标相等时，求h的最小值 解析：（I）由题意得 2 1 2 , 121 b a b b a 所求的椭圆方程为 2 2 1 4 y x ， （II）不妨设 2 1122 ( ,),(,), ( ,),M x yN xyP t th 则抛物线 2 C 在点P处的切线斜率为 2 x t yt ， 直线MN的方程为 2 2ytxth ，将上式代入椭圆 1 C 的方程中，得 222 4(2)40 xtxth ，即 22222 4 14 ()()40txt th xth ，因为直线MN 与椭圆 1 C 有两个不同的交点，所以有 422 1 162(2)40thth ， 设线段MN的中点的横坐标是 3 x ，则 2 12 3 2 () 22(1) xxt th x t ， 设线段PA的中点的横坐标是 4 x ，则 4 1 2 t x ，由题意得 34 xx ，即有 2 (1)10th t ， 其中的 2 2 (1)40,1hh 或 3h ； 当 3h 时有 2 20,40hh ，因此不等式 422 1 162(2)40thth 不成 立；因此 1h ，当 1h 时代入方程 2 (1)10th t 得 1t ，将 1,1ht 代入不等 式 422 1 162(2)40thth 成立，因此h的最小值为1 3.（2009浙江文） （本题满分15分）已知抛物线C： 2 2(0)xpy p 上一点 ( ,4)A m 到其焦 点的距离为 17 4 （I）求 p 与m的值； 用心 爱心 专心 （II）设抛物线C上一点P的横坐标为 (0)t t ，过P的直线交C于另一点Q，交x轴 于点M，过点Q作 PQ的垂线交C 于另一点N若MN是C的切线，求t的最小 值 解析（）由抛物线方程得其准线方程： 2 p y ，根据抛物线定义 点 )4 ,(mA 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 4 17 2 4 p ，解得 2 1 p 抛物线方程为： yx 2 ，将 )4 ,(mA 代入抛物线方程，解得 2m （）由题意知，过点 ),( 2 ttP 的直线 PQ斜率存在且不为0，设其为k 。 则 )(: 2 txktylPQ ，当 , 0 2 k ktt xy 则 ) 0 , ( 2 k ktt M 。 联立方程 yx txkty 2 2 )( ，整理得： 0)( 2 tktkxx 即： 0)()(tkxtx ，解得 , tx 或 tkx )( ,( 2 tktkQ ，而 QPQN ，直线 NQ 斜率为 k 1 )( 1 )(: 2 tkx k tkylNQ ，联立方程 yx tkx k tky 2 2 )( 1 )( 整理得： 0)()( 11 22 tktk k x k x ，即： 0 1)()( 2 tkktkxkx 0)(1)(tkxtkkkx ，解得： k tkk x 1)( ，或 tkx ) 1)( , 1)( ( 2 2 k tkk k tkk N ， ) 1( ) 1( 1)( 1)( 22 22 2 2 2 ktk ktk k ktt k tkk k tkk KNM 用心 爱心 专心 而抛物线在点N处切线斜率： k tkk yk k tkk x 2)(2 1)( 切 MN是抛物线的切线， k tkk ktk ktk2)(2 ) 1( ) 1( 22 22 ， 整理得 021 22 ttkk 0)21 (4 22 tt ，解得 3 2 t （舍去） ，或 3 2 t ， 3 2 min t 4. （2009江苏卷） （本题满分10分） 在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2） ，其焦点F在x轴上。 （1）求抛物线C的标准方程； （2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程； （3）设过点 ( ,0)(0)M mm 的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为 ( )f m ，求 ( )f m 关于m的表达式。 【解析】 必做题必做题 本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算 求解能力。满分10分。 用心 爱心 专心 5.(2009山东卷理)（本小题满分14分） 设椭圆E: 22 22 1 xy ab （a,b0）过M（2， 2） ，N(6 ,1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 OAOB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E: 22 22 1 xy ab （a,b0）过M（2， 2） ，N(6 ,1)两点, 用心 爱心 专心 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆E的方程为 22 1 84 xy （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 OAOB ,设该圆的切线方程为 ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2()8xkxm ,即 222 (12)4280kxkmxm , 则= 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm ,即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 222222 222 12121212 222 (28)48 ()()() 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OA OB ,需使 1212 0 x xy y ,即 222 22 288 0 1212 mmk kk ,所以 22 3880mk ,所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km ,所以 2 2 2 38 m m ,所以 2 8 3 m ,即 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,因为直线 ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线,所 以圆的半径为 2 1 m r k , 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk , 2 6 3 r ,所求的圆为 用心 爱心 专心 22 8 3 xy ,此时圆的切线 ykxm 都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,而当切线的斜率 不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 满足OA OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy ，使得该圆的 任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB . 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 所以 222 222 121212 2222 4288(84) ()()4()4 1212(12) kmmkm xxxxx x kkk , 22 2 2222 121212 22 8(84) |()(1)()(1) (12) km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk , 当 0k 时 2 2 321 |1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k , 所以 2 2 32321 112 1 33 44k k , 用心 爱心 专心 所以 4 6 | 2 3 3 AB 当且仅当 2 2 k 时取”=”. 当 0k 时, 4 6 | 3 AB . 当AB的斜率不存在时, 两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 ,所以此时 4 6 | 3 AB , 综上, |AB |的取值范围为 4 6 | 2 3 3 AB 即: 4 | 6,2 3 3 AB 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆 的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参 数问题以及方程的根与系数关系. 6. (2009山东卷文)（本小题满分14分） 设m R ,在平面直角坐标系中,已知向量 (,1)amx y ,向量 ( ,1)bx y ,a b ,动 点 ( , )M x y 的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知 4 1 m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交 点A,B,且OA OB (O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 4 1 m ,设直线l与圆C: 222 xyR (1R2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1,当 R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:（1）因为a b , (,1)amx y , ( ,1)bx y , 所以 22 10a bmxy , 即 22 1mxy . 当m=0时,方程表示两直线,方程为 1y ; 用心 爱心 专心 当 1m 时, 方程表示的是圆 当 0m 且 1m 时,方程表示的是椭圆; 当 0m 时,方程表示的是双曲线. (2).当 4 1 m 时, 轨迹E的方程为 2 2 1 4 x y ,设圆心在原点的圆的一条切线为 ykxt ,解 方程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4()4xkxt ,即 222 (14)8440kxktxt , 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使= 2 22222 6416(14)(1)16(41)0k tktkt , 即 22 410kt ,即 22 41tk , 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 (44)84 ()()() 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk , 要使OA OB , 需使 1212 0 x xy y ,即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk , 所以 22 5440tk , 即 22 544tk 且 22 41tk , 即 22 44205kk 恒成立. 所以又因为直线 ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 2 1 t r k , 2 2 2 22 4 (1) 4 5 115 k t r kk , 所求的圆为 22 4 5 xy . 当切线的斜率不存在时,切线为 5 5 2 x ,与 2 2 1 4 x y 交于点 )5 5 2 ,5 5 2 ( 或 )5 5 2 ,5 5 2 ( 也满足OA OB . 用心 爱心 专心 综上, 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB . (3)当 4 1 m 时,轨迹E的方程为 2 2 1 4 x y ,设直线l的方程为 ykxt ,因为直线l与圆C: 222 xyR (10,可设直线AS的方程为 ()yk xa . 由 2 2 22222422 2 1 (1)20 () x y a kxa k xa ka a yk xa 得 设点 222 22 (,),(), 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k ,从而 22 2 () 1 TT ak yk xa a k . 亦即 22 2222 2 (,). 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 ( ,0),(,) 11 a kak B aBT a ka k 由 () xa yk xa 得 ( ,2),( ,2).s aakOSaak 由BT OS ,可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0,0,2kaa 经检验,当 2a 时,O,M,S三点共线. 故存在 2a ,使得O,M,S三点共线. 解法二: ()同解法一. ()假设存在a,使得O,M,S三点共线. 由于点M在以SO为直径的圆上,故SM BT . 显然,直线AS的斜率k存在且K0,可设直线AS的方程为 ()yk xa 由 2 2 22222222 2 1 (1)20 () x y a bxa k xa ka a yk xa 得 设点 (,) TT T xy ,则有 422 22 (). 1 T a ka xa a k 用心 爱心 专心 故 2222 22222222 22 ,()(). 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 从而亦即 2 2 1 ( ,0), T BTSM T y B akka k xaa k 故 由 () xa yk xa 得S(a, 2ak), 所直线SM的方程为 2 2()yaka k xa O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即 2 2()aka ka . 0,0,2aKa 故存在 2a ,使得O,M,S三点共线. 13.（2009辽宁卷文） （本小题满分12分） 已知，椭圆C以过点A（1， 3 2） ，两个焦点为（1，0） （1，0） 。 （1）求椭圆C的方程； （2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的 斜率为定值，并求出这个定值。 解：（）由题意，c1,可设椭圆方程为 22 22 1 14 xy bb 。 因为A在椭圆上，所以 22 19 1 14bb ，解得 2 b 3， 2 b 3 4 （舍去） 。 所以椭圆方程为 22 1 43 xy 4分 （）设直线方程：得 3 (1) 2 yk x ，代入 22 1 43 xy 得 222 3 3+4+4 (32 )4()120 2 kxkk xk（） 设（ E x ， E y ） ，（ F x ， F y ） 因为点（1， 3 2）在椭圆上，所以 用心 爱心 专心 2 2 3 4()12 2 34 E k x k ， 3 2 EE ykxk 。 8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以 k 代k，可得 2 2 3 4()12 2 34 F k x k ， 3 2 FF ykxk 。 所以直线EF的斜率 ()21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk k xxxx 。 即直线EF的斜率为定值，其值为 1 2。 12分 14.（2009辽宁卷理） （本小题满分12分） 已知，椭圆C过点A 3 (1, ) 2 ，两个焦点为（1，0） ， （1，0） 。 （3）求椭圆C的方程； （4）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的 斜率为定值，并求出这个定值。 解： （）由题意，c=1,可设椭圆方程为 22 19 1 14bb ，解得 2 3b ， 2 3 4 b （舍去） 所以椭圆方程为 22 1 43 xy 。 4分 （）设直线AE方程为： 3 (1) 2 yk x ，代入 22 1 43 xy 得 222 3 (34)4 (32 )4()120 2 kxkk xk 设 (x ,y ) EE E , (x ,y ) FF F ,因为点 3 (1, ) 2 A 在椭圆上，所以 用心 爱心 专心 2 2 3 4()12 2 x 34 F k k 3 2 EE ykxk 8分 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以K 代 K，可得 2 2 3 4()12 2 x 34 F k k 3 2 EE ykxk 所以直线EF的斜率 ()21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk K xxxx 即直线EF的斜率为定值，其值为 1 2。 12分 15.（2009宁夏海南卷理） （本小题满分12分） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距 离分别是7和1. （）求椭圆C的方程； （）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， OP OM =，求点M的轨迹方 程，并说明轨迹是什么曲线。 解:()设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c， ，由已知得 1 ,4,3 7 ac ac ac 解得 ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 167 xy （）设 ( , )M x y ，其中 4,4x 。由已知 2 2 2 OP OM 及点P在椭圆C上可得 2 2 22 9112 16() x xy 。 用心 爱心 专心 整理得 2222 (169)16112xy ，其中 4,4x 。 （i） 3 4 时。化简得 2 9112y 所以点M的轨迹方程为 4 7 ( 44) 3 yx ，轨迹是两条平行于x轴的线段。 （ii） 3 4 时，方程变形为 22 22 1 112112 16916 xy ，其中 4,4x 当 3 0 4 时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 44x 的部分。 当 3 1 4 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足 44x 的部 分； 当 1 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆； 16.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分) 已知椭圆C的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7和1 （I）求椭圆C的方程 （II）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， OP e OM （e为椭圆C的离心率） ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解： （）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 1, 7. ac ac 解得a=4,c=3, 用心 爱心 专心 所以椭圆C的方程为 22 1. 167 xy （）设M（x,y）,P(x, 1 y ),其中 4,4 .x 由已知得 22 2 1 22 . xy e xy 而 3 4 e ，故 2222 1 16()9().xyxy 由点P在椭圆C上得 2 2 1 1127 , 16 x y 代入式并化简得 2 9112,y 所以点M的轨迹方程为 4 7 ( 44), 3 yx 轨迹是两条平行于x轴的线段. 17. （2009天津卷理） （本小题满分（本小题满分1414分）分） 以知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的两个焦点分别为 12 (,0)( ,0)(0)FcF cc和 ，过点 2 (,0) a E c 的直线与椭圆相交与 ,A B 两点，且 1212 / /,2F AF B F AF B 。 （1）求椭圆的离心率； （2）求直线AB的斜率； （3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线 2 F B 上有一点 ( , )(0)H m n m 在 1 AFC 的外接圆上，求 n m的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分 （I）解：由 1 FA / 2 F B 且 12 FA2 F B ，得 22 11 EFF B1 EFFA2 ，从而 2 2 a 1 a2 c c c c 用心 爱心 专心 整理，得 22 3ac ，故离心率 3 3 c e a （II）解：由（I）得 2222 2bacc ，所以椭圆的方程可写为 222 236xyc 设直线AB的方程为 2 a yk x c ，即 (3 )yk xc . 由已知设 1122 ( ,), (,)A x yB xy ，则它们的坐标满足方程组 222 (3 ) 236 yk xc xyc 消去y整理，得 222222 (23)182760kxk cxk cc . 依题意， 22 33 48(1 3)0 33 ckk ，得 而 2 12 2 18 23 k c xx k 22 12 2 276 23 c k cc x x k 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 12 32xcx 联立解得 2 1 2 92 23 k cc x k ， 2 2 2 92 23 k cc x k 将 12 ,x x 代入中，解得 2 3 k . (III)解法一：由（II）可知 12 3 0, 2 c xx 当 2 3 k 时，得 (0,2 )Ac ，由已知得 (0,2 )Cc . 用