第六章-灰色系统模型

第六章灰色系统模型6.1引言(五步建模思想)研究一个系统，首先需要构建系统的数学模型，并具体定量研究系统的总体功能、协调功能以及系统各要素之间的关系、因果关系、动态关系。 这项研究必须以定性分析为前导，将定量和定性紧密结合起来。 系统模型的建立一般被称为五步建模，因为其必须经历思想开发、因素分析、量化、动态化和优化五个步骤。第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析和研究，明确研究的方向、目标、途径和措施，用正确简洁的语言表达结果，是语言模型。第二步：分析语言模型要素与各要素之间的关系，找出影响事物发展的前因、结果，用框图表示该因果关系(参照图6.1.1 )。环节结果y前件X1X2X3环节结果前件yx(a) (b )图6.1.1一对前因后果(或一组前因和一件后果)构成一环。 一个系统包含了很多这样的部分。 同时，同样的量是一个环节的前因，也是另一个环节的结果，连接所有这些关系的话，就能得到由一个相互关联的多个环节构成的框图(如图6.1.2所示)。环节一环节二环节五环节3环节4图6.1.2第三步：量化研究各环节的因果关系，初步得到低水平的概略量化关系，是量化模型。第四步：进一步收集各环节的输入和输出数据，利用得到的数据序列建立动态GM模型即动态模型。动态模型是一个高层量化模型，进一步阐明输入与输出之间的数量关系和变换规则，是系统分析、优化的基础。第五步：对动态模型进行系统研究与分析，通过结构、机制、参数调整，实现系统重组、优化布局、改善系统动态质量的目的。 这样得到的模型称为优化模型。五步建模的全过程是在五个不同阶段创建五个模型的过程语言模型网络模型量化模型动态模型优化模型在建模过程中，不断反馈下一阶段取得的结果，反复多次，逐步完善整个模型。6.2 GM (1，1，1 )机型定义6.2.1的设定称(6.2.1)GM (1，1，1 )模型的原始形式。符号GM (1，1，1 )的含义如下gm(1)1)1)格雷格(灰色)模型(型号)(型号)一次方程式一个变量定义6.2.2定义6.2.1所示其中称(6.2.2)GM (1，1，1 )模型的基本形式。定理6.2.1设为非负序列其中1-AGO序列：生成接近其中平均值的序列其中。对于参数行(6.2.3)满足GM (1，1，1 )模型的最小二乘估计参数矩阵将数据代入GM (1，1，1 )模型.现在就对于a、b的一对估计，可得到误差序列而非觉得=。使s最小化的a、b应该满足结果解决了以下问题：由得=、但是=所以呢=定义6.2.3为非负序列的下一个1-AGO序列为下一个近似平均生成序列，其描述如下GM (1，1，1 )模型白化方程又称为阴影方程。如定理6.2.2定理6.2.1所述白化方程的解又称为时间响应函数(6.2.6)GM (1，1，1 )模型的时间序列( (6.2.7)还原值= (6.2.8)定义6.2.4 GM (1，1 )模型的参数称为发展系数，b称为灰色的作用量。反映了他的发展状况。 一般而言，系统的作用量必须是出生的或预先确定的，但GM (1，1，1 )是单序列模型，只有系统的行为序列(或输出序列，背景值)，没有外部作用序列(或输入序列，驱动量)。 GM (1，1，1 )模型中的灰色作用量是从背景值中提取的数据，它反映了数据变化的关系，其正确的内涵是灰色的。 灰色作用量是内涵外延化的具体表现，其存在是区分灰色建模和一般输入输出建模(黑盒建模)的分水岭，也是区分灰色系统视点和灰盒视点的重要指标。定理6.2.3 GM (1，1，1 )模型有可能性(6.2.9)其中，证书代入=所以呢定理6.2.4套，然后GM (1，1，1 )模型的时间序列响应序列灬则(6.2.10 )证明是定理6.2.3赋值的响应值为=但是所以呢例6.2.1设置原始系列=试验以下3种GM (1，1，1 )模型对进行仿真，比较仿真精度了解第一步：对作1-AGO，得=步骤2 :进行准平滑性检查。 由得到0.5、0.5。在k3中满足了准平滑的条件。步骤3 :检查是否有准指数规则。 由得到在k3的情况下，由于满足准指数规则，所以可以制作GM (1，1，1 )模型。步骤4 :生成邻近的平均值。 令得到=所以呢步骤5 :进行参数列的最小二乘估计。 得到步骤6 :确定模型及时间响应式=步骤7 :计算的模拟值=步骤8 :恢复求出的模拟值。 由得到=步骤9 :检查误差。 可从表6.2.1计算残差平方和=，=0.01511平均相对误差表6.2.1误差检查表序列号实际数据模拟数据馀数-是相对误差2.23.2783.2300.04601.40%33.3373.3545-0.01750.52%43.3903.4817-0.09172.71%53.6793.61360.06541.78%因为我知道我就这样得到了。 所以呢=误差检查：可从表6.2.2中得到残差平方和=0.0156表6.2.2误差检查表序列号实际数据模拟数据馀数-是相对误差2.23.2783.23240.04561.39%33.3373.3567-0.01970.59%43.3903.4820-0.0922.71%53.6793.61050.06851.86%平均相对误差是的，我知道=事故表6.2.3误差检查表序列号实际数据模拟数据馀数-是相对误差2.23.2783.23240.04561.39%33.3373.3549-0.01790.54%43.3903.4821-0.09212.72%53.6793.61410.06491.76%可从表6.2.3计算残差平方和=0.015309从三个模型的残差平方和和平均相对误差可以看出：指数模型和精度高，差分模型精度稍低。只要是定理6.2.5准平滑的排列，其GM (1，1，1 )的发展系数可表示如下(6.2.11 )其中证据呢所以呢=由定理6.2.5可知，b有限且足够大时，GM (1，1，1 )的发展系数主要依赖于平滑度6.3残差GM (1，1，1 )模型如果不要求GM (1，1 )模型的精度，则使用残差序列创建GM (1，1 )模型，修改原始模型以提高精度。定义6.3.1为原始系列，的1-AGO系列、GM (1，1，1 )模型的时间响应式则称(6.3.1)恢复导数的值。命题6.3.1作为导数还原值。为了累计而返回值。 则证明：=-=因为所以呢事故由命题6.3.1可知，GM (1，1，1 )模型既不是微分方程式也不是差分方程式。 但是在足够小的时候。 这说明微分和差分的结果非常接近。 因此，GM (1，1，1 )模型可以看作微分方程式和差分方程式两者。由于导数还原值和累积还原值不一致，为了减少由于往复运算引起的误差，经常使用残差修正的模拟值。定义6.3.2设置其中是的残差序列。 如果你满意的符号一致的双曲馀弦值为了能够对残差的末尾进行建模而记述命题6.3.2设置其1-AGO序列可以建模残差尾段的GM (1，1，1 )的时间响应公式是，残差尾段的模拟序列其中，定义6.3.3使用修正后的时间响应式(6.3.3)由于是残差修正GM (1，1 )模型，因此简称为残差GM (1，1 )。 其中，残差校正值的符号必须与残差尾段的符号匹配。以和的残差结束的话关于建模修正的模拟值，根据从到的还原方式，得到不同的残差修正时间响应式。定义6.3.4若=相应残差修正时间响应式(6.3.4)称为累积还原公式的残差修正模型。定义6.3.5相应的残差校正时间响应表达式(6.3.5)被称为导数还原式的残差修正模型。上述各种残差GM (1，1，1 )中的残差模拟项都是取得的微分系数还原式，当然也可以取得累积还原式，即取得，只要足够小，采取不同的残差还原式对校正值没有多大影响。例6.3.1湖北省云梦县油菜发病率数据=建立GM (1，1，1 )模型，时间响应公式如下通过累积减反还原得到检查的精度：表示误差检查表(参照表6.3.1 )由表6.3.1可知，模拟误差大，进而计算残差平方和平均相对误差表6.3.1误差检查表序列号实际数据模拟数据馀数-是相对误差2.22035.6704-15.670478.3540%34033.43036.569716.4242%42531.3308-6.330825.3232%567891011121340453521141815.5171529.368227.519225.790124.171922.653421.230719.897418.647817.476810.631817.48089.2099-3.1719-8.6534-3.2307-4.3974-1.6478-2.476826.5795%38.8