线性代数矩阵的定义与运算.ppt

1矩阵的定义与运算,目的要求,（1）理解矩阵的定义；,（2）掌握矩阵的基本运算及性质.,一、矩阵概念的引入,1.线性方程组,的解取决于,系数,常数项,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,发站,到站,二、矩阵的定义,由个数,称为矩阵.简称矩阵.,记作,排成的m行n列的数表,简记为,表示第i行第j列的元素，称为（i，j）元.,一对圆括弧,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如,是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.,默认为实矩阵,三、几种特殊矩阵,例如,是一个3阶方阵.,(2)只有一行的矩阵,行矩阵(或行向量).,行数与列数都等于的矩阵，称为阶,方阵.也可记作,称为,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,对角矩阵(或对角阵）.,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,记作,零矩阵记作,或,例如,(5)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,四、同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为,2.两个矩阵为同型矩阵,并且,则称矩阵相等,记作,例如,为同型矩阵.,同型矩阵.,对应元素相等,即,五、线性变换,关系式,的线性变换.,表示一个由变量,到变量,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,线性变换,称之为恒等变换.,单位阵.,线性变换,这是一个以原点为中心,六、矩阵的线性运算,、定义,（一）、矩阵的加法,设有两个矩阵那末矩阵,说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例1,2、矩阵加法的运算规律,称为A的负矩阵.,（二）、数与矩阵相乘,1、定义,若,求：（1）,；（2）,；（3）,例2,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设为矩阵，为数）,七、矩阵与矩阵相乘,、定义,称C为A与B的乘积.,设,规定,其中,例3,，求,解：,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,例4,或,.,例5,说明3：,例6,对角元乘相应行；,对角元乘相应列.,例7已知线性方程组,于是,那么上述线性方程组可记成,、矩阵乘法的运算规律,（其中为数）;,若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且,矩阵乘法的应用-生产成本,某工厂生产三种产品.每种产品的原料费、工资支付,每季度生产每种产品的数量见表2.,、管理费等见表1.,（1）每一季度中每一类成本的数量；,（2）每一季度三类成本的总数量；,（3）四个季度每类成本的总数量.,该公司希望在股东会议上用一个表格展示出,解,我们用矩阵的方法考虑这个问题.这两个表格中,的每一个均可表示为一个矩阵.,的第一列表示夏季生产三种产品的总成本,的第二列表示秋季生产三种产品的总成本,的第三列表示冬季生产三种产品的总成本,的第四列表示春季生产三种产品的总成本,计算,得：,的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本,的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本,的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本,每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到,每一季度的总成本可由每一列相加得到,表3汇总了总成本,八、转置矩阵,将矩阵A的各行变成同序数的列得到的矩阵称为,A的转置矩阵,记为,性质,证明：,例9,解法1,解法2,对称阵,矩阵A称为对称矩阵，如果AT=A.,是对称矩阵的充要条件是,容易知道,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,说明,九、方阵的行列式,由n阶矩阵A的元素（按原来的位置）构成,或,的行列式，称为方阵A的行列式,记作,例103阶方阵,，求,.,性质,十、方阵的伴随矩阵,设A是n阶矩阵，由行列式|A|的各元素的,称为矩阵A的伴随矩阵.,代数余子式Aij所构成的矩阵,性质,证明,则,故,例11,求,伴随矩阵.,伴随矩阵.,例12求,思考题,1、矩阵与行列式的有何区别?,矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩