长沙一中雅礼中学联考理科数学第七次月考

用心 爱心 专心 2009 届长沙一中届长沙一中雅礼中学雅礼中学 高三联考试卷高三联考试卷 数数 学（理工农医类）学（理工农医类） 命题：卿命题：卿 科科 审卷：卿审卷：卿 科科 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟 参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件 A、B 互斥，那么 clS 2 1 锥侧 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高 或 P（AB）=P（A）P（B） 母线长 如果事件 A 在 1 次实验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么 n 次独立重复实验中恰好发生 k 3 3 4 RV 球 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP )1 ()( 第第 I I 卷卷( (共共 5050 分分) ) 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的有一项是符合要求的 复数等于 2 (1)zii 222i2i 设全集是实数集 R. 都是的子集（如图所示， 2 2 |4 |1 1 Mx xNx x 与 则阴影部分所表示的集合为 2x x 21xx 22xx 12xx 函数的最小正周期是xxxf 44 cossin)( 4 2 3 设等差数列 n a的公差为 2，前n项和为，则下列结论正确的是 n S 12nnnaS nn 12nnnaS nn 用心 爱心 专心 1nnnaS nn 1nnnaS nn 抛物线xy8 2 的准线与双曲线1 28 22 yx 的两条渐近线所围成的三角形的面积为 8642 已知ba 0，且 a+b=1，则下列不等式中，正确的是 0log2a 2 1 2 ba 2loglog 22 ba 2 1 2 a b b a 在空间给出下列四个命题： 如果平面内的一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则；a 如果直线与平面内的一条直线平行，则；aa 如果直线与平面内的两条直线都垂直，则；aa 如果平面内的两条直线都平行于平面，则其中正确的个数是a 1234 已知点，O 是坐标原点，点的坐标满足，设 z 为(3,3)A( , )P x y 30 320 0 xy xy y 在上的投影，则 z 的取值范围是OA OP 3 ,3 3,33 ,3 3,3 把半径都为 的四个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为1 2 6 1 2 3 162 3 32 1 10设点是函数图象上的任意一点点的坐标为，P), 0(,sin)(xxxfA) 0 , ( 为坐标原点，则使得为直角三角形的点的个数是OOAPP 0246 第第 II 卷卷 二填空题：本大题共小题，每小题填空题：本大题共小题，每小题 5 分（第分（第 14、1515 题第一空分，第二空题第一空分，第二空 3 分）分） ，共，共 25 分分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 用心 爱心 专心 11二项式展开式中的系数为 9 2 () 2 x x 1 x 252 12若，则 3 1 lim 1 x xa b x ba2 13在五个数字组成没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共1,2,3,4,5 有24 14已知及直线点是直线 上的任意一1: 22 yxO052: yxl),( 00 yxPl 点 过作的两条切线，为切点 （i）当时，则直线),( 00 yxPOPBPA,BA,2 0 x 的方程为；（ii）的最大值为 AB0192 yxOBOA 5 3 15已知函数 （i）函数的对称中心为；（ii）若函| 3 7 | 3 7 |)(xxxf)(xf)0 , 0( 数的图象有对称中心，则axxaxaxxg42|)3|1)(|()(a 3 2 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 一袋中装有分别标记着 1、2、3、4 数字的 4 个球, 从这只袋中每次取出 1 个球, 取出 后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为. （）求时 的概率；（）求的概率分布列及数学期望.3 解：解：（）表示取出的三个球中数字最大者为 33 三次取球均出现最大数字为 3 的概率 3 1 1 ( ) 4 P 三取取球中有 2 次出现最大数字 3 的概率 22 23 126 ( ) ( ) 4464 PC 三次取球中仅有 1 次出现最大数字 3 的概率 12 33 1212 ( )( ) 4464 PC 6 123 19 (3) 64 PPPP 分 （）在时, 利用（）的原理可知：k ,(=1,2,3,4) 2 32212 33 11111331 ()( )( ) ()( )() 4444464 kkkk PkCC k 用心 爱心 专心 的概率分布为： =1234 = 12 分E 1 64 7 64 19 64 37 64 55 16 17 （本小题满分 12 分） 如图, 在正方体中, ABCD 1111 DCBAE 为的中点AB （）证明：平面平面；DEB1CDB1 （）求与平面所成角的大小的正弦值CEDEB1 解：解：（）取的中点的中点连结CB1, FDB1,G .GF,EG,BF 平面, .CD 11B BCCBFDC 又, CBBF 1 ,CCBDC 1 平面3 分BFCDB1 GFBE,CD 2 1 ,CD 2 1 ,四边形是平行四边形, 平面 BEGFBFGE./ EGBFEG.CDB1 又平面, 平面平面 6 分EGDEB1DEB1.CDB1 （）过作于，连结CDBCH 1 HEH 由（）中的平面平面知面，所以在面上的DEB1CDB1CHDEB1CEDEB1 射影为，所以就是所求的角 9 分HECEH 令正方体的棱长为 ，所以，所以1 3 6 , 2 5 CHCE 15 302 sinCEH 即与平面所成角的大小的正弦值为 12CEDEB1 15 302 分 P 64 1 64 7 64 19 64 37 用心 爱心 专心 18 （本小题满分 12 分） 已知函数，过该函数图象上任意一点 x exf)(bkxxgxfx)()(,( 00 的切线为 （）证明：图象上的点总在图象的上方； )(xfy )(xgy （）若上恒成立，求实数的取值范围Rxaxe x 在a 解：解：（）， 0000 00 )(,)( xxxx eexxexgexf 设)()()( 00 0 0 xxxx eexxeexfxfxh 为增，)(, 0)(,)( 0 0 xhxhxxeexh xx 时，当 当0)()()(, 0)( 000 xhxhxxxhxhxx取最小值时，为减，当时， ，)()(, 0)()()(, 0)()( 0 xgxfxgxfxhxhxh 所以图象上的点总在图象的上方 6 分)(xfy )(xgy （）当 2 ) 1( )(,)(0 x xe xF x e xFx xx 时，令 x（，0）（0，1）1（1，+） F（x） 0+ F（x）减减e增 当 x0 时，F（x）在 x=1 时有最小值 e， eaaaxea x e x x 的范围是恒成立的即, 当 x0 时，F（x）为减函数， ，0), 0 , ()(, 0)()(0 x e xFxFxFx x ， 0,aaaxea x e x x 的范围是恒成立的即 当 x=0 时，R a 由，恒成立的的范围是 12axe x a, 0e 分 19 （本小题满分 13 分） 如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进AM 后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛4kmB 周围范围内有暗礁，现该船继续东行5 . 3km （）若，问该船有无触礁危险？ 0 602 如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离会有触礁危险？B （）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？ 解：解：（）作，垂足为，由已知，ABMC C 0 60 0 30 所以， 0 120ABM 0 30AMB 北 M AB C 北 M AB C D 用心 爱心 专心 所以， 4 ABBM 0 60MBC 所以，所以该船有触礁的危险5 . 33260sin 0 BMMC 设该船自向东航行至点有触礁危险，则，BD5 . 3MD 在中，MBC4BM2BC32MC5 . 0)32(5 . 3 22 CD 所以，（） 所以，该船自向东航行会有触礁危险 65 . 1BDkmB5 . 1km 分 （）设，在中，由正弦定理得，xCM MAB MAB BM AMB AB sinsin 即， cos)sin( 4BM )sin( cos4 BM 而，所以，当， )sin( coscos4 cossin BMMBCBMx5 . 3x 即，即时，该船没有触礁危险 13 2 7 )sin( coscos4 8 7 )sin( coscos 分 20 （本小题满分 13 分） 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，平面ABCBA,)0 , 1(A)0 , 1 (B 内两点同时满足下列条件：MG, ；0GCGBGAMCMBMAGMAB （）求的顶点的轨迹方程；ABCC （）过点的直线 与（）中轨迹交于不同的两点，求面积的最)0 , 3(PlFE,OEF 大值 解：解：（）设 ，).,( , ),( , ),( 00MM yxMyxGyxCMBMA 点在线段的中垂线上由已知 1 分MAB( 1,0) , (1,0) ,0 M ABx 又，又，GMAB 0 yyM0GCGBGA ， 0 , 0,1,1 000000 yyxxyxyx 用心 爱心 专心 3 3 3 , 3 00 y y y y x x M 分 ， ，MCMB 2 2 2 2 3 00 3 10 y y x y ，顶点的轨迹方程为 5 分1 3 2 2 y x0yC1 3 2 2 y x0y （）设直线 方程为：，l)0)(3(kxky),( 11 yxE),( 22 yxF 由 消去得： 1 3 )3( 2 2 y x xky y03963 2222 kxkxk ， 7 分 3 6 2 2 21 k k xx 3 39 2 2 21 k k xx 由方程知，39346 22 2 2 kkk0 ， 9 2 k 8 3 0k0 2 k 8 3 分 而 21 2 212121 4)( 2 |3 | 2 3 |3 2 1 xxxx k xxkyyS ABC 11 96 249 39636 )3(2 |3 24 42 2 2 kk kk k k k 分 令，则，记，tk 2 ) 8 3 , 0(t ABC S 96 249 3 2 2 tt tt ) 8 3 0( )3( 249 )( 2 2 t t tt tf 求导易得当时有面积的最大值 13 17 3 tOEF 2 3 分 21 （本小题满分 13 分） 已知数列满足：，且求证： n a)()(1( * 12 Nnaana nnn 1, 0 21 aa （）数列为等比数列；（）) 1( 1nn ana 2 ) 1(1 ! 9 8 n n na 用心 爱心 专心 解：解：（）由得)(1( 12nnn aana 1112 )2()(1()2( nnnnn anaanana ) 1() 1( 11nnnn anaana 而，所以，012 12 aa 1 1 ) 1() 1( n nn ana 所以数列为等比数列 4) 1( 1nn ana 分 （）由（）有 6)2( ! ) 1( )!1(! 1 n nn a n a n nn 分 所以， )!12( 1 )!22()!12( 2212 nn a n a nn )!22( 1 )!32()!22( 3222 nn a n a nn ，累和得 )!2( 1 )!1 ()!2( 12 aa ! 2 1 ! 3 1 )!22( 1 )!12( 1 )!12( 12 nnn a n 8 )!12( 22 ! 5 4 ! 3 2 ) )!12( 1 )!22( 1 () ! 5 1 ! 4 1 () ! 3 1 ! 2 1 ( n n nn 分 因为，9 分 1 223) 1(! n nnn 所以)1)( 2 1 2 3 2 2 2 1 )!12( * 3253 12 也成立检验 nNn n n a n n 记，用错位相减法得 3253 2 1 2 3 2 2