江苏常州高三数学教学第一次研讨会交流材料排列组合、二项式定理和概率人教

江苏省常州市高三数学教学第一次研讨会交流材料排列组合、二项式定理和概率溧阳市戴埠高级中学一、简析这两章内容在高考中的概况教材中已将排列、组合和概率由原来的一章分成了排列、组合和二项式定理与概率两个章节。前者18课时,共有8个考点： 1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列；3.排列数公式； 4.组合；5.组合数公式；6.组合数的两个性质；7.二项式定理； 8.二项展开式的性质。后者12课时共5个考点：1.随机事件的概率；2.等可能事件的概率；3.互斥事件有一个发生的概率；4.相互独立事件同时发生的概率；5.独立重复试验。排列组合、二项式定理是每年高考必定要考查的内容之一，纵观江苏与全国高考数学试题，每年12道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力，多数试题难度与课本中习题的难度相当，但也有些试题难度较大，比如江苏卷03、05年就考查了阅读理解的能力、分析解决问题的能力及分类讨论的思想，有些试题以应用题的形式出现考查解决实际问题的能力。有关二项式定理的试题每年都有一道，着重考查二项式的展开式及其通项，难度与课本习题的难度相当，有关排列组合、二项式定理的试题的题型一般为选择题（每题5分）或填空题（每题4分）。概率内容属于新增内容（和旧教材相比），江苏卷已考了三年，整体看，从原来的考查随机事件等可能事件的概率到互斥事件概率、相互独立事件概率，再到三者的综合问题，正逐渐加大了考查的力度，分值所占比重仍较大，江苏卷除了04年外，03和05年解答题（每题满分12分）中应用题都是概率问题，且由简单到复杂，注重了对学生能力的考查，不局限于考查公式，而注重分析问题能力、推理能力、解决实际问题能力的考查。二、江苏卷中考查情况统计列表如下时间选择题填空题解答题备注2001（理）1216理13和文12，理16和文16为同一道题2001（文）1213、1620021114200313、151720043、7、9江苏自主命题20059、12、20江苏自主命题三、05年高考试题类编(一) 排列、组合和二项式定理一、选择题1(2005年高考北京卷理7)北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A）ABC D2(2005年高考北京卷文8)五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有 （ B ）ACC种BCA种CC种DA种3(2005年高考福建卷理9文10)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ B ）A300种B240种C144种D96种4(2005年高考湖北卷文9)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ D ）A168 B96 C72 D1445(2005年高考湖南卷理9)4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得100分；选乙题答对得90分，答错得90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（B ）A48B36C24D186(2005年高考湖南卷文7)设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（C ）A20B19C18D167(2005年高考江西卷理4文3)的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（ B ）A4项 B3项 C2项 D1项8(2005年高考江西卷文7)将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ A ）A70 B140C280 D8409(2005年高考重庆卷理8)若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为5，则n等于（ B ）A4 B6 C8 D1010(2005年高考重庆卷文8)若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（ A ）A5 B7 C9D1111(2005年高考江苏卷9)设k=1，2，3，4，5，则的展开式中的系数不可能是(C)A10 B40 C50 D8012(2005年高考江苏卷12)四棱柱的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为(B)A96 B48 C24 D013(2005年高考浙江卷理5)在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是( D )A74 B121 C74 D12114(2005年高考浙江卷文5)在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是( C )A5B5C10D1015(2005年高考山东卷理5文6)如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（C）A7 B C21 D16(2005年高考天津卷理6)从集合1,2,3，11中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n,则能组成落在矩形区域B=(x,y)| |x|11且|y|9内的椭圆个数为（ B ）A43B 72 C 86 D 9017(2005年高考全国卷II文8)的展开式中项的系数是（ A ）A840 B840C210 D21018(2005年高考全国卷理3文3)在的展开式中的系数是（ B ）A14 B14 C28 D28二、填空题1(2005年春考北京卷理13)从这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的二次函数共有_个，其中不同的偶函数共有_个（用数字作答）18 62(2005年春考北京卷文13)从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的一次函数共有_个，其中不同的二次函数共有_个（用数字作答）6 183. (2005年春考上海卷8)若，且，则 . 114(2005年高考北京卷理11文10)的展开式中的常数项是 . （用数字作答）205(2005年高考上海卷理4)在的展开式中，的系数是15，则实数=_.6(2005年高考福建卷理13文13)展开式中的常数项是 （用数字作答）。2407(2005年高考广东卷13)已知的展开式中的系数与的展开式中x3的系数相等，则= . 8(2005年高考湖北卷文14)的展开式中整理后的常数项等于 . 389(2005年高考湖北卷理14)的展开式中整理后的常数项为 . 10(2005年高考湖南卷理12文13)在（1x）（1x）2（1x）6的展开式中，x 2项的系数是.（用数字作答）3511(2005年高考辽宁卷13)的展开式中常数项是 . 16012(2005年高考辽宁卷15)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）57613(2005年高考浙江卷理14)从集合O，P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_(用数字作答)842414(2005年高考浙江卷文14)从集合 P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_(用数字作答)583215(2005年高考天津卷理11)设,则 . 16(2005年高考天津卷文11)二项式的展开式中常数项为_(用数字作答)21017(2005年高考全国卷理14)的展开式中，常数项为 .（用数字作答）67218(2005年高考全国卷文14)的展开式中，常数项为 .（用数字作答）7019(2005年高考全国卷文15)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法 种.10020(2005年高考全国卷II理15文15)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个. 192 （二）概率一、选择题1 (2005年高考广东卷8)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ C ）A B CD2(2005年高考湖北卷理12)以平行六面体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（ A ）ABCD3(2005年高考辽宁卷3)设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ D ）ABCD4(2005年高考江西卷理12)将1，2，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ A ）ABCD5(2005年高考山东卷理9文10)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（ D ABC D 6(2005年高考天津卷理7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ A ）A B C D7(2005年高考天津卷文3)某人射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为(B)A B C D二、填空题1. (2005年春考上海卷6)某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是 (结果用最简分数表示). 2(2005年高考上海卷理8文8)某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是_.（结果用分数表示）3(2005年高考重庆卷理15)某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 4(2005年高考重庆卷文15)若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 . 5(2005年高考天津卷文16)在三角形的每条边上各取三个分点(如图)以这9个分点为顶点可画出若干个三角形若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为_(用数字作答) 三、解答题1（本小题共13分）(2005年高考北京卷文18)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为求：（）甲恰好击中目标2次的概率；（）乙至少击中目标2次的概率；（）乙恰好比甲多击中目标2次的概率.解：（I）甲恰好击中目标2次的概率为（II）乙至少击中目标2次的概率为（III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件.P（A）=P（B1）+P（B2） 所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为2（本小题满分12分）(2005年高考福建卷文18) 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 解：（）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则 “甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为 答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为 （）事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为3（本小题满分12分）(2005年高考湖北卷文21)某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)，故所求的概率为（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为（1-p），故至少换4只灯泡的概率为4（本小题满分14分）(2005年高考湖南卷文20)某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. （）求3个景区都有部门选择的概率； （）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为（从4个部门中任选2个作为1组另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P（A1）=（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，则事件A3的概率为P（A3）=，事件A2的概率为P（A2）=1P（A1）P（A3）=解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为（先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法）.所以P（A2）=5（本小题满分12分）(2005年高考江西卷文19)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.解：（1）设表示游戏终止时掷硬币的次数，设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：6（本小题满分13分）(2005年高考重庆卷文18) 加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为、，且各道工序互不影响. （）求该种零件的合格率； （）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.（）解：；（）解法一： 该种零件的合格品率为，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 ， 至少取到一件合格品的概率为 解法二：恰好取到一件合格品的概率为， 至少取到一件合格品的概率为 7（本小题满分12分，每小问满分4分）(2005年高考江苏卷20)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。（）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（）假设两人连续两次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解：（）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=1- P（）=1-=。答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为； () 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则，由于甲、乙设计相互独立，故。答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；（）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击为击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则A3=D5D4，且P（Di）=，由于各事件相互独立，故P（A3）= P（D5）P（D4）P（）=（1-）=， 答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是。8(2005年高考浙江卷文17)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p () 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率 () 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值 解：()（） （）. ()设袋子A中有个球，袋子B中有个球，由，得9(本小题满分12分) (2005年高考山东卷文18)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中原有的白球的个数；（II）求取球两次终止的概率；（III）求甲取到白球的概率.解:(I)设袋中原有个白球,由题意知可得或(舍去)，即袋中原有3个白球。(II)记“取球两次终止” 的事件为，则。(III) 记“甲取到白球”的事件为，“第次取出的球是白球”的事件为。因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次取球和第5次取球，。因为事件两两互斥，10（本小题满分12分）(2005年高考全国卷文20)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5. 若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.（）求甲坑不需要补种的概率；（）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（）求有坑需要补种的概率.（精确到0.001）本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为，所以甲坑不需要补种的概率为 （）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 （）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为，所以有坑需要补种的概率为 解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为恰有2个坑需要补种的概率为 3个坑都需要补种的概率为 所以有坑需要补种的概率为 11（本小题满分12分）(2005年高考全国卷II文18)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求（）前三局比赛甲队领先的概率；（）本场比赛乙队以3：2取胜的概率.（精确到0.001）本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力。解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为10.60.4（）记“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B，则P（A），P（B）所以前三局比赛甲队领先的概率为P（A）P（B）0.648（）若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜，所以所求事件的概率为12(本小题满分12分) (2005年高考全国卷理17文18)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C，由题意.各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件 （）由题意得： P（AB）=P(A)P(B)=0.05P（AC）=P(A)P(C)=0.1P（BC）=P(B)P(C)=0.125解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5 所以, 甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 （）记A的对立事件为B的对立事件为，C的对立事件为，则，于是所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.四、本章内容高考命题特点1.高考对排列、组合内容的考查，一般以实际应用题形式出现，这是因为排列、组合的应用性概念强，并充满思辩性和解法多样性，符合高考选择题的一般命题特点，易于考查学生的能力。分类计数原理和分步计数原理是历年高考必考内容，题型以小题为主，主要考查对概念的理解和知识的综合应用，多与实际生活相联系，排列组合问题一般多与两个原理综合起来命题，分步中夹杂着分类，二者的综合使之成为了能力型题目。有附加条件的排列问题，此类问题多数只有一个附加条件，且以学生熟悉的数学问题或排队问题为主。有附加条件的组合问题，此类题常以“至少取几个”或以几何为背景的分类组合问题。2高考对二项式定理的考查，每年一道题，较稳定，求展开式中的某一项或某一项的系数题较多，也就是通项运用较多。有“正向用”和“反向用”；二项式定理中的二项式系数，近似计算，部分组合数的和也是高考命题的新动向。常用到转化思想化归为二项问题来处理。3在现阶段中学教材中，初等概率的教学分为必修与选修两段，这里是必修阶段的内容。高考对这部分概率内容的考查，往往以实际应用题出现，在解答题中出现的可能性较大，且一般有三个问题，考查重点从原来的考查随机事件等可能事件的概率到互斥事件概率（包括对立事件的概率）、相互独立事件概率（包括独立重复事件）的概率，再到三者的综合问题，正逐渐加大了考查的力度不仅是计算几种随机事件的概率的公式（高考卷中给出），还要能活用它们解决一些简单的实际问题。虽然问题在复杂化，但鉴于本节内容属新增内容，求变的可能不大，考生要以课本概念和方法为主，熟练技能，巩固概念为目标，查找知识缺漏，总结解题规律。五、命题趋势分析1排列组合应用题往往解法灵活、背景新颖，能较好地考查学生解决实际问题的能力，所以一直是高考必考内容，考题往往难度属中档题，一般不会出综合性题，问题的解决往往要充分利用两个计数原理及排列、组合的知识，合理选择方法解题是难点，正确分类，防止重复和遗漏是疑点。2二项式展开式的通项公式，特别是求一些特征项是命题考查的重点，而二项式定理的应用转化是难点，有关组合数的计算和证明是疑点。3概率问题的解决一方面要求能对基本概念和基本公式灵活运用，另一方面也要求能进行知识间的横向联系。等可能事件的概率问题是重点，互斥事件有一个发生的概率问题是难点，而比较复杂的事件的概率问题是疑点，高考中往往不是单一类型的概率问题，常常把几种类型的概率问题进行综合考查。另外2005年江苏高考数学试卷的结构已有变化，解答题缩为五题，填