江苏常州高三数学教学第一次研讨会交流材料化归的思想方法人教

江苏省常州市高三数学教学第一次研讨会交流材料化归的思想方法常州市三中人们在学习数学、解决问题的过程中，常常会遇到一些比较复杂的、陌生的或非标准的问题，这些问题往往不易直接得到它的解答，因而采用“迂回的战术”，即对于复杂的、陌生的或非标准的问题，通过变形，促使问题不断转化，最后，将它归结为较为简单的、熟悉的或标准的已经解决的问题或容易解决的问题。这就是数学家思考问题与解决问题的重要策略思想化归思想，也就是所谓的化繁为简，以简驭繁，化未知为已知，以已知的知识为基础，探索解决未知的领域的“化归原则”。一、化归方法的含义、化归方法的基本原则和实现化归的常用途径 化归方法的含义所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。或简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。有位数学教育工作者提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，他对这样的回答并不满意，因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称把后一问题化归为前面所说的问题了。”也许这种比喻有些夸张，但却形象地道出了化归的根本特征：在解决一个问题时，人们不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。如学生已经掌握了一元二次方程的求根公式和韦达定理，因此，一元二次方程就是一个数学模式，而将双二次方程ax4+bx2+c=0(a0) 通过换元化归为一元二次方程就是将该问题模式化，规范化。化归方法包括三个要素：化归对象、化归目标和化归途径。化归对象，即把什么东西进行化归；化归目标，即化归到何处去；化归途径，及如何进行化归。上面所举的例子中，双二次方程是化归的对象，一元二次方程是化归的目标，换元是实施化归的方法。实现化归的关键是实现问题的规范化、模式化，化未知为已知是化归的方向。教材中的例2 解方程组就是将二元一次方程组化归为一元一次方程解决。在解二元一次方程组时化归方法进一步得到应用，它的思路将二元一次方程化归为一元一次方程，而化归的方法则是代入消元法，解二元一次方程的关键是消元，代入法只是使其化归为一元一次方程的手段。以上几个问题的解决有一个共同的特点，就是通过转化，将待解决的问题归结为一个已解决或容易解决的问题这种求解问题的过程可以用下图表示： 这也可以看作是化归的一般模式。 化归方法的基本原则为了更好地实现有效的化归，在化归过程中应遵循以下几个原则： （1）简单化原则简单化原则是指将原问题中比较复杂的形式、关系结构，通过化归，将其变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路。（2）熟悉化原则熟悉化原则是指将原问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。例如，二元方程组化成一元方程组。（3）和谐化原则和谐化是数学内在美的主要内容之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。 化归的途径在运用化归原则解决数学问题时，常体现在以下几方面：（1）分解与组合分解与组合是实现化归的重要途径。所谓分解，就是把一个复杂的问题分成若干个较简单或较熟悉的问题，从而使原问题得以解决。诚然，在许多情况下，“分解”并不能单独解决问题，为了使化归过程的完全实现，还要结合“组合”，即把所给出的问题与有关的其他问题作综合的研究，使原问题得以解决。分解与组合是相辅相成的，也是和谐统一的。其模式可用框图表示如下： 照常规解法可用公式例1 在掌握了扇形和三角形这些基本图形的面积计算以后，可以用形体分割法求出比较复杂的图形的面积如求弓形的面积S弓形=S扇形-S三角形例2 如图：三棱锥P-ABC中，已知：PABC，PA=BC=l，PA、BC的公垂线ED=h，求证：三棱锥P-ABC的体积此例可通过对未知成分进行分割来实现化归当连结AD、PD后，就把三棱锥PABC分成两个三棱锥BPAD和CPAD于是例3已知数列满足 （1）求 （2）求此题可用叠加思想解决第二小问。（1） (2)由已知则又 也适合 （）例4已知A1，A2为椭圆 长轴左右两端点，交椭圆于两点，求交点的轨迹方程。解：设的方程分别为：， 则有 （*）又在椭圆上，故有，即代（*）得 即：为所求交点轨迹方程。利用此法解题的过程可用以右框图表示为：例5 a、b是两条已知的空间直线，X，Y分别是a、b上的动点(如图54)，试求取d= |XY|的最小值，即直线a、b的距离为了解决这一问题，让我们暂时固定一个动点Y，而单独研究点X的变化情况这时问题就变成了如何求取直线外一定点(Y)到这一直线(a)的距离显然，当直线a上的动点X位于使XY垂直于直线a的位置时，相应的XY就是定点Y到直线a的距离，即Y到直线a上各点的最短距离然后，我们可以变换X和Y的位置，即固定X而让Y单独变化依据同样的分析可知，当直线b上的动点Y位于使XY垂直于b的位置时，相应的XY就是定点X到直线b上的距离，即X到直线b上各点的最短距离最后，由于X、Y都是动点，因此，只有当X、Y位于使XY同时垂直于a和b的位置时，d|XY|才可能是最小值因为，如果XY与a不垂直，我们就可以通过变动X点的位置(固定Y)使XY变短从而原来的XY就不可能是最小值类似地，如果XY与b不垂直，我们可以通过移动Y点(固定X)使XY变短因此总的说来，除非XY同时垂直于a和b，否则d=|XY|就不可能是最小值换句话说，如果有最小距离，它就必定是直线a、b的公垂线由上述分析看出：局部变动法是对于未知成分所应满足的条件进行分割，即通过局部变化来实现由一般到特殊的化归由于只有一个因素变动的情况通常要比多个因素同时变动的情况简单得多，因此，局部变动法就是一种较有效的研究方法（2）恒等变形我们知道，恒等变换就是把一个解析式变换成另一个和它恒等的解析式。数学中的配方法、因式分解等恒等变换，都起到将复杂（难、未知）的问题化归为简单（易、已知）的问题的作用。在数学解题中，恒等变形占有十分重要的位置，特别是在求解方程或证明一些整除性问题时，利用恒等变形以实现由示知向已知的化归，使我们比较容易地求得问题的解例6 解下列方程：(1)2x33x2-2x=0；（2）分析：解上面二个方程，先利用恒等变形把它化为容易求解的方程可变为x(2x-1)(x2)=0可变为，进而变为例7 求证能被6整除.分析：把原式进行恒等变形，得到f(n)n36n211n12=(n1)(n2)(n3)6从而，只需证明三个连续自然数之积能被6整除即可，而这个问题是大家熟知的综上所述，化归在数学中是一个非常基本的思想方法，它有着十分广泛的应用。不仅许多重要数学方法都属于“化归”的范畴，而且许多重要的数学思想和研究策略也可用化归的思想来概括。如几何中空间向平面、曲线向直线的转化；代数中超越式向代数式、高次向低次的转化；分析中无限向有限、多元向一元的转化以及具体与抽象、变与不变的转化和变更问题方法等等。 化归方法在教学中的应用数学思想方法是数学的重要基础，是数学教学的必要内容。现代数学教育理论认为：数学教育目的不仅是传授知识，更重要的是培养能力和发展学生的思维；考察一个人的数学文化素养，主要表现在用数学思想去观察、分析、处理现实中的数学问题。因此，加强数学中最基本的思想方法化归方法的教学是非常必要的。化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面：（1）利用化归方法学习新知识数学中许多概念的形成过程或数学的定义，就是渗透着化归的思想方法。比如，有理数的定义（引进）是建立在整数（或自然数）的基础上的，有理数运算法则和大小比较的确定，其基本思想是将其化归为整数（自然数）的运算和大小比较，它是借助绝对值来实现有理数向正数转化的。同样，实数的引进以及运算法则和大小比较的确定，又是建立在有理数运算和大小比较的基础上的，它是借助极限来实现这种转化的。又如，在掌握了三角形内角和的计算之后，要计算多边形的内角和，我们可将这个多边形分割成若干个三角形，这样就把所求的多边形内角和的问题化归为计算三角形内角和的问题。（2）利用化归方法指导解题化归方法主要是作为一种解决问题（而不是发现问题）的方法。化归在解题过程中应遵循的三个原则，在解题中具有思维导向的功能。解题过程是培养学生化归思想方法的一个方面，教学中既要教会学生一些常用的化归方法，更要使学生掌握蕴含于具体方法中的化归策略思想，把待解决的问题置于动态之中，以变化、发展、联系的观点去观察、分析问题，着意对问题进行转化，使它归结为易于解决的问题。（3）利用化归原则理清知识结构运用化归思想方法可将零星纷乱的知识编织成一张有序的主次分明的知识网络，做到易懂、易记、易用。例如，在复习初中代数知识的时候，利用化归方法，借助于绝对值概念，可将已有理数运算化归算术数运算，这样，有理数内容就很容易掌握了。又如，用字母代替数则产生代数式。由于字母在代数中的位置不同，从而可得到不同的代数式，根号内含字母的为无理式，根号内不含字母的为有理式，分母中不含字母的有理式为整式，分母中含字母的有理式为分式。整式、分式、无理式都可以应用化归方法通过已学过的简单知识去掌握。利用同类项概念，整式运算可化归为有理数运算；分式通过通分、约分可化为整式运算；无理式在化为最简根式后，则可化归为有理式运算。再如，用等号连结两个代数式就得到方程，若用不等号连结两个代数式就得到不等式。而方程、不等式的求解过程乃是通过移项法则和运用等式、不等式性质，将它们化归为式的运算。由于用等号连结的代数式有整式、分式、无理式，所以也就得到了整式方程、分式方程、无理方程。逆转上述的化归过程，就可得到如下有关数、式、方程的知识结构图。二、化归方法的基本原则解释所谓化归方法，就是将一个问题 A 进行变形，使其归结为另一已能解决的问题 B ，既然 B 已可解决，那么 A 也就解决了。化归方法不仅数学中使用，其他学科也都采用。比如我们要测量炼钢炉中的高温，用普通玻璃水银柱的温度计无法测量，于是使用热电阻材料，将温度转变为电流，而电流是可以测量的，所以利用热电转换公式，高温也可以测量了。这是将测温问题化归为测电问题。化归方法遵循三个原则：简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。在化归原则的三条基本原则中，熟悉化原则是一条最重要的原则。三、“化归原则”在中学数学中的应用具有广泛性。化归是人的分析问题和解决问题的基本原则，在中学数学中运用化归思想分析和解决问题的范例，几乎处处可见。在解方程或不等式时，通常都是将“超越”转化为“代数”，“无理”转化为“有理”，“分式”转化为“整式”，“高次”转化为“一次或二次”（在特殊情况下，也可以将“代数”问题转化为已经解决的“超越”问题，如三角代换）；对于非基本的数列与极限问题，常将它们分别转化为基本数列或基本极限；在三角函数中，任意角的三角函数问题又常常是通过诱导公式转化为锐角三角函数；在立体几何中，常将空间图形的问题通过分解或类比，将它们转化为相应的平面图形问题，通过作辅助线、辅助面和展开等，将空间图形元素的数量关系和位置关系化归为平面图形元素的数量关系和位置关系去研究；在解析几何中，通过建立直