数学物理方法 第二章ppt课件

.,基本内容：函数级数的基本概念和性质、幂级数、泰勒级、罗朗级数,基本运算：将给定函数展开成幂级数，是本章的重点和难点,级数理论是分析复变函数的有力工具，它不但在理论上有意义，而且有很重要的实用价值，故本章也是复变函数论的重要内容之一,第二章复变函数级数,2020/5/31,.,2,2.1复变函数级数的基本性质,2020/5/31,.,3,（一）复常数项级数,2020/5/31,.,4,2020/5/31,.,5,（二）复变函数项级数,前n项和,该极限称为级数在z点的和,否则称为在z点发散.,其中,（2.1）,（2.2）,若,级数,在某点z存在,则称(3.1)在z点收敛，,例,若,则,前n项和,若在某区域内的每个点都收敛，则称在该区域内收敛.,2020/5/31,.,6,复变函数级数归结为两个实变函数项级数,（2.3）,其中,（2.1）,复变函数级数,收敛的必要条件,2020/5/31,.,7,任意给定一个小的正数0，总存在充分大的正整数N(z)，当nN时对于任何自然数P，恒有,柯西判据：收敛的充要条件,绝对收敛:若,在z点收敛，则,在该点绝对收敛,一致收敛：设,(k=1,2,)定义在域D(或曲线l)上,若对任,意给定0存在与z无关的正整数N,使得当nN时,对任,何自然数P,(2.4)恒成立，称级数（2.1）在D(或l)上一致收敛,（2.4）,2020/5/31,.,8,定理一：绝对收敛级数，一定是收敛级数(定义和柯西判据),定理二：绝对收敛级数的乘积也是绝对收敛的，乘积的和等于和的乘积(且与排列次序无关),定理三：,在区域D内连续，且,在D内一致收敛级数和在D内也是连续的.,性质,定理四：,若,在曲线l上连续，且,收敛,则级数和S(z)在l上也是连续的,且可在l上逐项积分,即,在l上一致,定理五：若在区域D内满足,实常数,且,收敛,则,在D内是绝对且一致收敛的.,定理六：在某个区域D或曲线l上一致收敛的级数，乘以在该区域上的一个有界函数，得到的级数在该区域或曲线上也是一致收敛的。,2020/5/31,.,9,魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理,在闭区域,上是单值解析的，,在l上是一致收敛的，则,(),在,上一致收敛；,()级数和S(z)在D内是解析的,()在D内有,(n=1,2,),且该级数在D内任何闭区域上都一致收敛.,若,2020/5/31,.,10,(1)达朗贝尔(dAlembert)判别法：,如果(至少当k充分大时),(2)柯西(Cauchy)判别法,如果(至少当k充分大时),绝对收敛性的判别法,(3)高斯判别法：,如果(至少当k充分大时),(其中是常数）,当1时,级数,绝对收敛,而当1时,发散.,各判据依次增强，其复杂程度依次增加.,解析、绝对且一致收敛级数,可进行四则运算、逐项积分、逐项求导,2020/5/31,.,11,（三）幂级数,幂级数的一般形式：,b为中心,阿贝尔(Abel)定理:,内绝对收敛,而且在该圆域内的任何闭域上一致收,在z=z0收敛,则该级数在圆域,敛.即在,绝对且一致收敛(连续、解析).,若,2020/5/31,.,12,证明:,在z0收敛的必要条件：,存在正数M，使得,在区域,上有,而,上是绝对且一致收敛的.,几何级数,则由定理五,在,是收敛的,2020/5/31,.,13,推论一:若,在,发散,则该级数在圆,外处处发散.(利用Abel定理采用反证法证明),推论二:对于幂级数,必存在一个R0,使得在圆,内处处收敛,而在圆外处处发散.,收敛圆：,，R为收敛半径，在该圆内,处处绝对且一致收敛，在圆外处处发散.,定理:在收敛圆内幂级数,可逐项积分或求导任意次，收敛半径不变,2020/5/31,.,14,证：每一项是幂函数都解析,必连续,而级数在收敛圆内绝对且一致收敛可逐项积分或求导.,反证法证收敛半径不变：,类似可证,收敛性的强弱,收敛半径：运用达朗贝尔或Cauchy判别法,或,.积分或求导虽不改变收敛半径，但改变,2020/5/31,.,15,幂级数在收敛圆内是一个解析函数，本节讨论在圆内解析的函数展开成Taylor级数的问题,2.2Taylor级数鞍点,2020/5/31,.,16,定理：若f(z)在,（一）Taylor展开,内是解析的,则f(z)在该圆域,内可展开为绝对且一致收敛的幂级数,且此展开是唯一的,2020/5/31,.,17,证：一致收敛是指在圆内任何闭域上一致收敛,故对任何,证明级数在,上是绝对且一致收敛,对如图,应用Cauchy公式,对于,上任一点z,注意到,则,已证得展开式,其绝对一致收敛性和展开唯一性的论证见书P50,2020/5/31,.,18,a）按定理计算,b）据展开的唯一性及幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛,(且解析)的性质,通过级数的四则运算、逐项积分、求,导、函数复合或宗量代换等.,展开方法：,、ez、sinz、cosz等初,可利用,等函数的展开式,b）或求得展开式后，据,或,求.,收敛半径确定方法,a）按定理R=展开中心b到与b最邻近的奇点之间的距离(这是最直观最方便的方法，实变函数的幂级数理论中无此结果)；,2020/5/31,.,19,a）确定b是f(z)的解析点,与b最邻近的奇点收敛半径,b）按定理,或将待展开的f(z)通过四则运算、求导、,积分、函数复合或宗量代换等同展开式已知的,一般步骤,、ez、,sinz、cosz联系起来等,P50,51例题,2020/5/31,.,20,（二）鞍点,复变函数一阶导数为0的点b，称为鞍点，f(z)-f(b)的实部和虚部呈现为马鞍形状，且可正可负。,2020/5/31,.,21,3.函数(1-z)-1、ez、sinz、cosz在,思考与讨论题：,1.幂级数,的收敛半径为R，该级数在,绝对收敛，在,内,上一致收敛，级数的每一项,是解析的，所以，可以逐项求导、逐项积分，且不改变收敛半径；在共同收敛区域上的幂级数可以进行四则运算.你认为呢？2.为什么Taylor级数的收敛半径等于展开中心到被展开函数的最近的奇点的距离？,4.Taylor展开的条件是什么？将函数以b为中心进行Taylor展开和在z=b的邻域内进行Taylor展开有无区别？作业：p54：1、2(1)(4)(5)，,内的Taylor展开式.,2020/5/31,.,22,2.3复变函数在环形解析区域的幂级数展开洛朗级数,2020/5/31,.,23,正幂部分-解析部分在,上收敛,令,，则负幂部分,收敛,上收敛,若,，则Laurent级数发散,若,，则Laurent级数在,上收敛,Laurent级数,在,负幂部分-主要部分,2020/5/31,.,24,若f(z)在,内单值解析，则f(z)在该环域内可展开,为绝对且一致收敛的级数,（l是环域内绕b一周的任意闭曲线）该展开是唯一的.,运用复通域上的Cauchy公式证明,证法类似Taylor定理的证明.,1)含有(z-b)的负幂项，但b不一定是奇点：,Laurent定理,2),l内必有被积函数的奇点，故Cauchy导数公式不再成立.,特例:R2=0时,b为奇点没有导数;,3)环域的特例,，,R20时,b为解析点,k取负值时的导数也无意义.,4)展开方法:按定理计算回路积分求展开系数;,依据Laurent级数在环域内绝对且一致收敛性、展开的唯一性展开.,2020/5/31,.,25,按定理展成Taylor级数,与实函幂级数展开相似,Laurent级数,较复杂,根据幂级数在收敛域上是绝对一致收敛且解析的性质，可运用,、ez、sinz、cosz等的展开式和幂级数的四则运算、逐项求导、,逐项积分、宗量代换及函数的复合展开,泰勒级数和洛朗级数展开的几种常用方法,P5859例题,2020/5/31,.,26,(1)利用,(,),例1,在,上,2020/5/31,.,27,例2,解:先部分分式,2020/5/31,.,28,(2)利用ez、sinz、cosz等的展开式,如,(3)级数逐项求导或逐项积分,例3,解:原式=,n=k+1,n=k+2,2020/5/31,.,29,(4)级数相乘或相除,例4cotz,P49运用级数乘法或待定系数法,据cotz是奇函数并可知最低幂项为z-1，故设,代入,依次令,2020/5/31,.,30,(5)其它展开法,例如：,将最右端各项展开，即得,的展开式.,总之：就是将待展开函数通过四则运算、积分、求导、宗量代换函数复合等方式与展开式已知