高等数学第30讲-函数作图法

第三十讲 函数作图法作函数的图形时，仅知道函数的单调性和极值还不能全面反映函数图形的特征同是在区间上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如图36中与同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形一、函数的凸凹与拐点如图36可以看出，曲线是向上弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方；曲线是向下弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义定义 如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的上方，则称曲线在此区间内是凸的；如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线在此区间内是凹的从图36还可以进一步看出，当曲线凸时，其切线斜率是单调减少的，因而；当曲线凹时，其切线斜率是单调增加的，因而，这说明曲线的凸凹性可由函数的二阶导数的符号确定定理 设在上连续，在内具有二阶导数，则：（） 若在内，,则曲线在上是凹的（） 若在内，,则曲线在上是凸的定义 曲线上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点由拐点的定义和定理知，使的点及不存在的点可能是拐点这些点是不是拐点要用下面的定理来判定定理 设在内有二阶导数，则（） 若在与内异号，则点为曲线的拐点（） 若在与内同号，则点不是曲线的拐点例 求函数的凸凹区间及拐点解 ，令得；而为不存在的点用将定义区间分成三个部分区间（见下表）由表可知，曲线的凸区间是，凹区间是,；点是拐点0不存在凸拐点凹不是拐点凹例 讨论函数的凸凹性及拐点解 函数的定义域为，对函数求导得 ， ；由得，用这两点把定义域分成三个部分区间(见下表)由下表可知，曲线的凸区间是，凹区间是和，点和点是拐点凹拐点凸拐点凹二、曲线的渐近线有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围之内，如圆，椭圆等而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线定义 2 若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线（一）水平渐近线若函数的定义域是无限区间，且有（或，），则直线称为曲线的水平渐近线例对于曲线，由于，所以直线与是曲线的水平渐近线（二）垂直渐近线若是函数的间断点，且（或，），则直线称为曲线的垂直渐近线例 求的垂直渐近线解 因为，所以，是曲线的一条垂直渐近线（三）斜渐近线若曲线的定义域为无限区间，且有，则直线称为曲线的斜渐近线例 求曲线的渐近线解 因为，所以直线是曲线的垂直渐近线，又，；所以为曲线的斜渐近线三、函数图形的作法前面几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图描绘函数的图形可按下面的步骤第一步 确定函数的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性等）第二步 求出方程和在函数定义域内的全部实根和，不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间第三步 确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点第四步 确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势第五步 为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，连结这些点作出函数的图形例 描绘函数的图形 解 （1）函数的定义域为，且，故图形在上半平面内图7 （2）是偶函数，图形关