湖北十堰高三数学四月调研考试文

湖北省十堰市2019届高三数学四月调研考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集的概念得到结果即可.【详解】因为集合A1，2，3，B1，2，4，所以AB=1，2.故答案为：C【点睛】这个题目考查了集合的交集的概念以及运算，比较基础.2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若， ，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。3.若一个实心球对半分成两半后表面积增加了，则原来实心球表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意可得，实心球对半分增加的面积是两个半径等于球半径的圆，从而求出球的半径，即可得球的表面积。【详解】解：设原球的半径为，由题意可得，解得原来实心球的表面积为故选：B【点睛】本题考查了球的截取后表面积增加的面积的情况、球的表面积计算。解题关键在于明白对半分增加的面积是两圆的面积。4.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求渐近线的斜率，再求e即可【详解】依题意可得，则，所以.故选：C【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线，熟记性质，准确计算是关键，是基础题5.设，满足约束条件，则的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，设zx-y，再利用z的几何意义求最值，从而得到z的取值范围【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线过点时，取得最大值3，故.故选B.【点睛】本题主要考查了线性规划问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解，属中档题6.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A. 522B. 324C. 535D. 578【答案】D【解析】【分析】根据随机抽样的定义进行判断即可【详解】第行第列开始的数为（不合适），（不合适），（不合适），（不合适），（重复不合适），则满足条件的6个编号为，则第6个编号为本题正确选项：【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积.故选C【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.8.定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，所以不等式的解集为。【详解】当时，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，因为是定义在上的奇函数，所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题。应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反。9.已知集合，则的值域为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.【详解】由，得 ，令， ，所以得 ， 在 上递增，在上递减， ，所以，即 的值域为故选：A【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题10.过焦点为的抛物线上一点向其准线作垂线，垂足为，若，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合勾股定理可求得AN，即M的纵坐标，代入抛物线方程求得M的横坐标，利用焦半径公式可求得结果.【详解】记准线与轴的交点为，因为，所以，即M的纵坐标为8或-8，则，故 .故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.若点在函数的图象上，则的零点为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】将点代入函数，利用对数的运算性质即可求出k值，进而求出的零点。【详解】解：根据题意，点在函数的图象上，则，变形可得：，则若，则，即的零点为，故选：D【点睛】本题考查了对数的运算性质、零点知识。熟练掌握对数的运算性质是解题的关键。12.在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面平面，可知所求角为；假设正方体棱长为，求解出和，从而得到结果.【详解】因为平面平面所以与平面所成角即与平面所成角可知与平面所成角为.设，则，平面面且面，可知则，即 ，在中，故与平面所成角的正切值为本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题，关键是能够通过位置关系确定所成角，再利用直角三角形求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若向量与垂直，则_【答案】5【解析】【分析】根据向量垂直得，进行数量积得坐标运算便可求出m的值。【详解】解：向量与垂直，.解得故答案为：5【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标表示。14.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函的图象，则的最小正周期是_【答案】【解析】【分析】先由图像的变化得到解析式，再由，即可求出函数的最小正周期.【详解】依题意可得，所以的最小正周期是.故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.15.若直线与曲线相切，则_【答案】14或18【解析】【分析】因为切点既在曲线上，又在切线上，所以由导数可求得切线得斜率。联立方程组解得即可。【详解】解：的导数为，直线与曲线相切，设切点为，可得，即有；故答案为：14或18【点睛】本题主要考查利用导数求解计算出曲线方程。对于涉及到切线或单调性的问题时，要有求导意识。16.在锐角中，角的对边分别为且，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理、三角恒等变换可求得，再利用正弦定理可将转化成，利用角A的取值范围即可求出。【详解】由正弦定理可得： ，可得：，又为锐角三角形，可得：均为锐角，可得：，.故答案为： .【点睛】本题考查了正弦定理的应用、三角恒等变换，考查了推理能力与计算能力。熟练掌握正弦定理进行边与角之间的转化是解题的关键。三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.在等差数列中，在正项等比数列中，（1）求与的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求出；（2）利用错位相减法和等比数列的前n项和求和公式即可求出。【详解】（1）等差数列的公差设为，可得，即；在正项等比数列的公比设为，可得，即；（2），两式相减可得，化简可得【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和求和公式。熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式是解题的关键。18.如图，三棱柱各条棱长均为4，且平面，为的中点，分别在线段和线段上，且.（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积【答案】(1)见证明(2) 【解析】【分析】（1）由题，取线段的中点，易证四边形为平行四边形，再证得平面，结论得证;（2）先求得的面积，再利用等体积法可得结果.【详解】（1）证明：取线段的中点，线段的中点，连接，由题意可得，因为为的中点，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，则因为点为中点，所以，因为平面，所以，则因为，所以平面，则平面，因为平面，所以平面平面（2）因为，所以所以的面积由（1）可得，故三棱锥的体积为 【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理以及三棱锥的体积的求法，熟悉面面垂直的判定定理和性质定理以及等体积法是解题的方法，属于较为基础题.19.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得如表：日需求量1518212427频数108732（1）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，求这款新面包日需求量不少于21个的概率；（2）该店在这30天内，这款新面包每天出炉的个数均为21（）若日需求量为15个，求这款新面包的日利润；（）求这30天内这款面包的日利润的平均数【答案】（1）；（2）（i）78元，（ii）日利润为：102元，平均数为：103.6元【解析】【分析】（1）计算出日需求量不少于21个的频数之和，再除以30，即可得出概率。（2）根据题意，写出日需求量为15，18，21时的日利润，进而求解平均数即可。【详解】（1）这款新面包日需求量不少于21个的频率为，这款新面包日需求量不少于21个的概率为（2）（i）若日需求量为15个，则这款新面包的日利润为：（元），（ii）若日需求量为18个，则这款新面包的日利润为：（元），若日需求量不少于21个，则这款新面包的日利润为：（元），这30天内这款面包的日利润的平均数为：（元.）【点睛】本题主要考查古典概型、事件与概率以及变量的相关性。20.已知椭圆的离心率为，是椭圆的一个焦点点，直线的斜率为（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，且求的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，解得即可得出。（2）分两种情况，当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用判别式大于0可得出；利用列出等式可求得k的值，即可得出的方程。【详解】（1）由题意，可得，解得，则，故椭圆的方程为（2）当的斜率不存在时，不合题意，故的斜率存在设的方程为，联立，得，设，则，即，设，则，则，即整理得故，的方程为【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、点斜式、斜率的计算公式。21.已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）设函数，若斜率为的直线与函数的图象交于，两点，证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，再讨论参数范围确定导数符号即可。（2）对函数进行求导，再进行等价转化不等式即可证明。【详解】（1）函数，令，得，当，即时，若 ，在上单调递增， 若，则在上单调递减，当时，对恒成立，故在上单调递增，当，即时，若，上单调递增， 若在上单调递减（2），则，故,，等价于，即，令，要证，只需证，由，知，故只需证，设，则，故在上是增函数，即，故.【点睛】本题考查了导数的几何意义和导数在函数中的运用，考查了转化与化归思想。熟练掌握函数的求导法则是解题的关键，对于涉及到切线或单调性的问题时，要有求导意识。注意：在求导之前要先确定函数的定义域。（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为（1）求曲线的极坐标方程；（2）过作曲线的切线，切点为，过作曲线的切线，切点为，求【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程（2）由圆的切线长公式，先求，再利用勾股定理求得，作比即可.【详解】（1）由，得，即，故曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知，曲线表示圆心为，半径为的圆.因为A（0，3），所以，所以.因为，所以.故.【点睛】本题