高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义 例谈点的轨迹方程的＂完备性和纯粹性＂的处理方法素材 苏教版选修2-1_第1页
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义 例谈点的轨迹方程的＂完备性和纯粹性＂的处理方法素材 苏教版选修2-1_第2页
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义 例谈点的轨迹方程的＂完备性和纯粹性＂的处理方法素材 苏教版选修2-1_第3页
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2.5 例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性”的处理方法求满足条件的动点的轨迹方程，是解析几何的常见问题，大部分同学很容易忽视求出的方程要满足完备性和纯粹性，在这实际解题中也不太会讨论，下面给出了求出点的轨迹方程后去检验“完备性和纯粹性”的几种常见情况。一、利用三角形的顶点不共线。BAyOxM 例1、已知点A（a，0），B（a，0），若MAB是以点M为直角顶点的直角三角形，求顶点M的轨迹方程。解：设M（x，y），依题意得|MA|2|MB|2|AB|2（）2（）2（2a）2化简得 x2y2a2 MAB的顶点M、A、B不共线M不能在x轴上x0故点M的轨迹方程为x2y2a2（x0）二、利用直线的斜率必须存在。例2、已知点A（1,0），B（1,0），动点P使直线PA和PB的斜率之积为2，求动点P的轨迹方程。BAyOxP解：设P（x，y）则kPAkPB2化简得2x2y22 直线PA和PB的斜率存在x1故点P的轨迹方程为2x2y22（x1）三、利用点所在的区域范围。yOxBAM例3、已知点A、B分别在x、y轴的正半轴上运动，且|AB|2a（a0），求AB中点M的轨迹方程。解：设M（x，y），由中点坐标公式得A（2x，0）B（0，2y）2a化简得x2y2a2 点A、B分别在x、y轴的正半轴上点M在第一象限即x0y0故点M的轨迹方程为x2y2a2（x0且y0）四、根据条件解不等式。例4、ABC中，已知B（1,0），C（5,0），A点在x轴上方，且tanBtanC4，求顶点A的轨迹方程。解：设A（x，y）,则tanBkABtanCkAC（）4化简得yx26x5yOxABC A点在x轴上方y0即x26x50解得1x5故顶点A的轨迹方程为yx26x5（1x5）五、讨论点的特殊位置。例5、已知点B（1，0），C（1，0），动点A使得BAC135，求点A的轨迹方程CByOxAA解：设A（x，y）则kABkAC当点A在x轴上方时，直线AB到AC的角为135tan1351化简得x2y22y10当点A在x轴下方时，直线AC到AB的角为135tan1351化简得x2y22y10故点A的轨迹方程为x2y22y10（y0）或x2y22y10（y0）简析：本题需要对点A的位置进行讨论，才能避免漏掉一种情况六、讨论直线斜率不存在。CyOxBA例6、ABC中，已知B（1,0），C（1,0），点A在第三象限，且BC45，求顶点A的轨迹方程解：设A（x，y）（x0，y0）则tanBkAB（x1）tanCkAC由BC45得tan（BC）tan45tan（BC）=1化简得x2y22xy10当x1时，B90，由BC45得C45此时ABC为等腰直角三角形，A的坐标为（1
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