高中数学 概率 2.6 正态分布的基本问题素材 北师大版选修2-3（通用）

2.6 正态分布的基本问题正态分布是我们在中学阶段学习的唯一的一个连续型的概率分布，近年的高考试题中也屡次出现，学习该部分内容我们要明确如下几个基本问题基本问题之一：明确两个概念正态曲线的概念：，其中实数和为参数，我们称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线正态分布的概念：对于任何实数，随机变量X满足，则称的分布为正态分布基本问题之二：明确正态曲线的六个特点曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为；当固定时，曲线随着的变化而沿轴平移；当固定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越瘦高，越大，曲线越矮胖，这反映的总体分布的集中与分散的程度基本问题之三：标准正态曲线（分布）标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。对于抽象函数，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N（0，1）、x轴、直线所围成的图形的面积。再由N（0，1）的曲线关于y轴对称，可以得出等式，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率。由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，所以，研究其在某个区间的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体转化成标准的正态总体N（0，1）进行研究。人们经过探究发现：对于任一正态总体，其取值小于x的概率。对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。这表明，对等式的来由不作要求，只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可基本问题之四：理解几种特殊情况的概率及其意义正态总体在左右一个标准差内的概率；正态总体在左右两个标准差内的概率；正态总体在左右三个标准差内的概率特别是正态总体在左右三个标准差内的概率值已经非常接近，在实际应用上我们通常就认为服从正态分布的随机变量都在这个范围之内，即我们所说的原则例某批袋装大米的质量服从正态分布（单位：kg）即数学期望，标准差kg那一定可以判定，这批袋装大米有以上质量落在kg到kg之间基本问题之五：学会根据正态曲线的对称性和三个特殊的概率值计算有关正态分布的概率例某人乘车从A地到B地，所需时间（分钟）服从正态分布，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率解析：由，由于，所以，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为06826；又由于，所以，此人在10分钟至50分钟到达目的地的概率为0.9544；那么，此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为；由正态曲线关于对称，因此，此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.1359基本问题之六：“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。就是说，这里在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理有所不同。课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验一般分三步：第一步，提出统计假设。课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布。第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（-3，+3）。第三步，作出推断。如果a（-3，+3），接受统计假设；如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。上面这种拒绝统计假设的推理，与我们过去学习过的反证法有类似之处。事实上，用反证法证明一个问题时，先否