刚体力学基础.ppt

刚体运动随处可见,摩天轮是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。轮盘和座舱的运动各有什么样的特点?如何描述?,第3章刚体力学基础,“伦敦眼”（高135米）坐落在伦敦泰晤士河畔，是伦敦的地标性建筑。,一.刚体,特殊的质点系，,理想化模型,形状和体积不变化,二.自由度,确定物体的位置所需要的独立坐标数,物体的自由度数,s,O,i=1,x,y,z,O,(x,y,z),i=3,i=2,x,y,z,O,i=3+2+1=6,当刚体的运动受到某些限制自由度减少,3.1刚体运动概述,三.刚体的平动,刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行,刚体平动,平动的特点:,刚体中各质点的运动情况相同.,结论：刚体的平动可归结为质点运动.,一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。若大圆盘绕水平轴均速转动，转速为0.1r/min。,例,解,求吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。,吊箱平动,讨论：.,3.2刚体定轴转动的运动学规律,主要内容：,1.描述刚体定轴转动的物理量,2.定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系,3.刚体定轴转动运动学的两类问题,角坐标,一.描述刚体绕定轴转动的角量,刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动,刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动_刚体转动,转轴固定不动,定轴转动,(运动学方程),刚体定轴转动,参考方向,角速度,角加速度,3.2刚体定轴转动的运动学规律,二.定轴转动刚体上各点的速度和加速度,P,刚体,参考方向,z,O,r,基点O,任意点都绕同一轴作圆周运动,且，都相同,矢量表示,刚体转动的角速度矢量,角加速度矢量,速度与角速度的矢量关系式,加速度与角加速度的矢量关系式,三.刚体定轴转动运动学的两类问题,第一类问题,已知刚体转动运动方程=(t)，求角速度、角加速度,-微分问题,第二类问题,已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程=(t),-积分问题,对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度=常量，有,电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0=0，经150s其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平方成正比。,设,（k为比例常量）,分离变量并积分：,在这段时间内，转子转过的圈数。,例,解,求,当t=150s，转子的角速度为,有,3.3.1力矩,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,力F对z轴的力矩(力在垂直于轴的平面内),质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,h,A,力F对z轴的力矩(力不在垂直于轴的平面内),力矩取决于力的大小、方向和作用点,在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向（rF右手螺旋）,3.3刚体绕定轴转动定律,结论：,(1)力对点的力矩,O.,力对轴的力矩,(2)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩,讨论,对Pi:,两边同乘以ri：,切向：,对刚体中所有质点求和,法向：.,3.3.2刚体绕定轴转动定律,所以,合外力矩,刚体的转动惯量,（刚体定轴转动定律）,刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢量关系式，即,刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如同质点力学中的；,刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物理量都是相对于同一转轴而言的；,讨论,刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩；,3.3.3转动惯量,对质量连续分布的刚体,对质量离散分布的质点系,计算转动惯量的基本公式,质量线分布，为线密度(),质量面分布，为面密度(),质量体分布，为体密度(),刚体绕定轴转动的转动定律,3.3刚体绕定轴转动定律,在细杆上x处取线元dx,(1)取如图所示的坐标,细杆对过中点的垂直转轴的转动惯量为,试求质量为m，长为l的均质细杆对如下给定轴的转动惯量。(1)转轴垂直于杆并通过杆的中点；(2)转轴垂直于杆并通过杆的一端。,解,(2)以细杆的一端为坐标原点，取如图所示的坐标,例,线元的质量为,则此时的转动惯量为：,圆环上各线质量元dm到转轴的距离均为R，所以有,试求一质量为m，半径为R的均质细圆环对通过其中心且垂直于环面的转轴的转动惯量。,在圆环上任取质量元dm，则,解,例,讨论,质量不均匀细圆环？,任取一半径为r，宽度dr的圆环。,看成是许多半径不同的同心圆环的集合：,试求半径为R，质量为m的均质薄圆盘，对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量。,解,例,圆环的质量为:,圆环的转动惯量为,则整个圆盘的转动惯量为,讨论,质量分布对转动惯量的影响？,(2)刚体的总质量：,影响转动惯量J大小的三个因素,(1)刚体的转轴位置：,同一刚体依不同的转轴而有不同的J；,刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；,(3)质量相对转轴的分布：,转动惯量与其形状、大小和密度分布有关。,转动惯量叠加定理,z,L,C,M,z,(1)平行轴定理,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心的轴,:两轴间垂直距离,平行轴定理证明：,C,z,M,z,ro,ri,L,mi,x,O,例均匀圆盘的转动惯量,求,解,例均匀薄圆盘的转动惯量,求,(薄板)垂直轴定理,x,y轴在薄板内；z轴垂直薄板。,解,常见刚体的转动惯量,3.3.4刚体定轴转动定律的应用,(1)飞轮的角加速度,(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解(1),(2),两者区别,例,求,一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计，绳与滑轮间无相对滑动，(见图),滑块A、重物B的质量分别为m1和m2，用一轻绳相连，绳子跨过质量为m3、半径为r的定滑轮C（可视为均质圆盘）。滑块A与水平桌面间的滑动摩擦系数为k，滑轮与轴之间的摩擦可忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动。,的力矩：,受力分析,的力矩：,例,解,力矩分析,取如图所示的正方向,列动力学方程,若重物B下降时，滑块A的加速度a及绳中的张力。,求,对滑轮C:,对滑块A：,对重物B：,且,求解以上方程，得,讨论：,如图，一钟摆由长度为l，质量为m1的均质细杆和固定在其一端的质量为m2的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。,受力分析如图,钟摆所受的合外力矩（重力的力矩）,例,解,求,放手后钟摆摆到角位置时的角加速度和角速度。,钟摆系统的总转动惯量,由刚体定轴转动定律，有,而,匀质圆盘以0在水平桌面上转动,受摩擦力而静止,滑动摩擦系数为.,解,例,求到圆盘静止所需时间,取一质元,摩擦力矩,由转动定律,例一个刚体系统，如图所示，,已知，转动惯量,，现有一水平力F作用于距轴为l处,求轴对棒的作用力（也称轴反力）。,解,设轴对棒的作用力为N,由质心运动定理,打击中心,质心运动定理与转动定律联用,质点系,由转动定律,讨论：,3.4刚体绕定轴转动的功能关系,主要内容：,1.刚体绕定轴转动的转动动能,2.力矩的功,3.刚体绕定轴转动的动能定理,4.刚体的重力势能,5.含有刚体的力学系统的机械能守恒定律,3.4.1刚体绕定轴转动的转动动能,对刚体上所有质点的动能求和,在刚体上任取一质点Pi,质点Pi的动能为,（刚体绕定轴转动的转动动能）,讨论,与质点的动能相比较，也可看出转动惯量J的地位对应于质点的质量m。,应用：稳速、储能磁悬浮飞轮储能UPS,3.4.2力矩的功,O,功的定义,力矩作功的微分形式,对一有限过程,若M=C,(积分形式）,力的累积过程力矩的空间累积效应,P,(力矩的功就是力的功),讨论,(1)合力矩的功,(2)内力矩作功之和为零。,(3)力矩的功率,设在合外力矩M的作用下,3.4.3刚体绕定轴转动的动能定理合力矩功的效果,（刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）,当刚体角速度从t1时刻的1改变为t2时刻的2时，合外力矩对刚体所作的功为,（刚体绕定轴转动的动能定理）,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体始、末两个状态转动动能的增量。,若以hC表示质心到零势能面的高度，则,刚体的重力势能与其质量全部集中在质心上的质点相同。,以xOy平面为重力势能零参考面,3.4.4刚体的重力势能,对刚体中所有质点的势能求和,结论：,3.4.5含有刚体的力学系统的机械能,（机械能守恒定律）,当A外+A非保内=0时，有,对含有刚体的力学系统，机械能守恒条件不变,定轴转动刚体的机械能:转动动能、重力势能.,例一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求它由此下摆角时的,此题也可用机械能守恒定律方便求解,例一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕水平光滑轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置.,求它由此下摆角时的,系统机械能守恒（棒、地球）。,重力势能零点：取细杆的水平位置.,则有,由此解得,解,图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m的重物。重物下落时，由绳带动被测物体A绕Z轴转动。今测得重物由静止下落一段距离h，所用时间为t，,例,解,分析（机械能）：,求物体A对Z轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各滑轮的质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。,机械能守恒,若滑轮质量不可忽略，怎样？,如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态。已知滑轮半径为r=0.3m，转动惯量为J=0.5kgm2。滑块的质量为m=2kg，斜面倾角为=370，弹簧的劲度系数为k=20Nm-1。滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可忽略不计，轻绳不可伸长，与滑轮之间没有相对滑动。,(1)当滑块沿斜面滑下1.0m时，它的速率多大？(2)滑块沿斜面将下滑多远？(3)当滑块速率达到最大值时，它已滑