甘肃天水第一中学高三数学下学期第五次模拟考试理

天水市一中2019届高三第五次模拟考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数为纯虚数，若（为虚数单位），则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题。，又Z为纯虚数，则：考点：复数的概念及运算2.已知，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题知M=0，+），N=-，所以0，故选D考点：二次函数值域，圆的性质，集合运算3.若非零向量a，b满足a=222b，且ab3a+2b，则a与b的夹角为（ ）.A. B. 2C. 34D. 4【答案】D【解析】试题分析：由(ab)(3a+2b)可得ab=23b2，所以cosa,b=ab|a|b|=23b2223b2=22，所以a与b的夹角为4；故选D考点：向量的运算及夹角4.如图为某几何体三视图，则该几何体的表面积为（ ）.A. 20+2B. 20+3C. 24+2D. 24+3【答案】B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为S=522+21212+12=20+3，故选B5.已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S33S22=1，则数列an的公差d为（ ）.A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】B【解析】试题分析：等差数列的前项和为，所以有，代入S33S22=1中，即，所以有，故本题的正确选项为B.考点：等差数列的前项和.6.直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若MN23，则k的取值范围是()A. 34,0B. (，340，)C. 33,33D. 23,0【答案】A【解析】试题分析：圆心为(3,2)，半径为2，圆心到直线的距离为d=|3k+1|k2+1 (|3k+1|k2+1)2+(|MN|2)2=4|MN|23|3k+1|k2+11，解不等式得k的取值范围34,0考点：直线与圆相交的弦长问题7.中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）A. A1818种B. A2020种C. A32A183A1010种D. A22A1818种【答案】D【解析】【分析】先安排中、美、俄三国领导人，有A22种，再安排其他18国领导人共A1818种，分步做乘法即可.【详解】解：首先国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，共有A22种站法，其他还剩18人，对所站位置不做要求，共A1818种站法，所以一共有A22A1818种站法故选：D.【点睛】本题考查了排列问题，有特殊元素或位置要特殊优先.8.函数f(x)=xecosx(x,)的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】f(x)=xecosx=f(x) ,所以舍去A,C;f(x)=ecosx+x(sinx)ecosx=(1xsinx)ecosx,所以x=2,f(x)0即函数在(0, 上存在减区间,因此舍去D,选B.9.设x，y满足约束条件x,y0xy1x+y3则目标函数z=x2y的最大值为（ ）.A. 3B. 3C. 4D. 2【答案】B【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域：直线z=x2y过点B(3,0)时，z最大值3，即目标函数z=x2y的最大值为3.故选B考点：线性规划.10.我国古代数学名著九章算术中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a等于（ ）.A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】由a=14，b=18，ab，则b变为1814=4，由ab，则a变为144=10，由ab，则a变为104=6，由ab，则a变为64=2，由ab，则b变为42=2，由a=b=2，则输出的a=2故选：A11.设k是一个正整数，在（1+xk)k的展开式中，第四项的系数为116，记函数y=x2与y=kx的图象所围成的阴影部分面积为S，任取x0,4，y0,16，则点(x,y)恰好落在阴影区域S内的概率是（ ）A. 23B. 13C. 25D. 16【答案】D【解析】试题分析：由二项展开的通项公式Tr+1=Ckr(xk)r，令r+1=4r=3，Ck31k3=116(k1)(k2)6k2=116k=4，S=04(4xx2)dx=(2x213x3)|04=323，所求概率P=323416=16，故选D考点：1二项式定理；2定积分计算曲边图形的面积；3几何概型12.已知函数f(x)=x2+ax+bex，当b0恒成立，42(a+2)+a+b01+(a+2)+a+b0,a+b02a+b+30,设a+ba2=z，则b=（z1）a2z，又设y=（z1）x2z，则x,y满足线性约束条件x+y02x+y+30y0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有_人【答案】120【解析】试题分析：因为成绩XN(100,a2)，所以其正态曲线关于直线x=100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，由对称性知：成绩在120分以上的人数约为总人数的12（135）=15，所以此次数学考试成绩不低于120分的学生约有：15600=120考点：正态分布曲线的特点14.已知数列an满足a1=1，an0，an+1an=1，那么an32成立的n的最大值为_【答案】5【解析】【分析】由an+1-an=1，得an成等差数列，求出an，然后求出an，解an32得出答案.【详解】解：因为an+1-an=1，所有an成等差数列，且首项a1=1，公差d=1所以an=n，an=n2解an=n232，得n42所以an0,b0的左、右焦点，P是C的右支上的点，射线PT平分F1PF2，过原点O作PT的平行线交PF1于点M，若MP=13F1F2，则C的离心率为_.【答案】32【解析】试题分析：设PT交x轴于点T，|PF1|=m，则|MP|=13|F1F2|=2c3，由于OMPT，得|F1M|F1P|=|F1O|F1T|，即m23cm=c|F1F2|，则|F1T|=mcm23c，所以|F2T|=2cmcm23c，又PT是F1PF2的角平分线，则有|F1P|F2P|=|F1T|F2T|，代入整理得m2a=m43c，所以离心率为e=ca=32.考点：圆锥曲线的离心率.【方法点睛】离心率是圆锥曲线的一个重要性质，离心率的几种常用求法：1、已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=ca来解决；2、根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系，构造a、c的齐次式，（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤.）17.已知向量m=3sinx,cosx，n=cosx,cosx，xR，设fx=mn（1）求函数fx的解析式及单调增区间；（2）在ABC中，a，b，分别为角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，fA=1，求ABC的面积【答案】（）f(x)=sin(2x+6)+12，单调递增区间为，kZ；（）34【解析】【分析】（I）根据向量数量积的坐标公式得出f（x），利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式化简，根据正弦函数的单调性得出f（x）的单调区间；（II）根据f（A）=1和A的范围解出A，利用余弦定理得出bc，代入面积公式S=12bcsinA 即可【详解】（1）解：fx=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin2x+6+12-2+2k2x+62+2k，kZ得-3+k,6+k，kZ所以函数的单调递增区间为-3+k,6+k，kZ（2）解：fA=sin2A+6+12=1，sin2A+6=120a，62A+6136，2A+6=56，即A=3由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-2bc-2bccosA，1=4-3bc，bc=1S=34【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，余弦定理，属于中档题18. 自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；如果用表示两种方案休假周数之和求随机变量分布列及数学期望【答案】（1）P1=150，P2=225；（2）35，的分布列为：29303132333435P01010202020101E()=32【解析】试题分析：（1）直接由已知表中信息求出产假为14周和16周时某家庭有生育意愿的频率，进而得出所求的概率；（2）设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，所以基本事件的总数为C52=10（种），然后列举出其中不低于32周的选法的种数，最后由古典概型的计算公式即可得出所求的概率；首先由题意可得随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35然后运用古典概型的计算公式分别计算出等于29，30，31，32，33，34，35的概率，进而得出所求的的分布列并计算出其数学期望.试题解析：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P1=4200=150；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为.（2）设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有C52=10（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35P(=29)=110=0.1，P(=30)=110=0.1,P(=31)=210=0.2，P(=32)=210=0.2,P(=33)=210=0.2,P(=34)=110=0.1,P(=35)=110=0.1因而的分布列为29303132333435P01010202020101所以E()=290.1+300.1+310.2+320.2+330.2+340.1+350.1=32.考点：1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列；3.数学期望.【方法点睛】本题主要考查了利用古典概型计算公式计算概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生基本的统计知识和综合应用知识的能力，属中档题.对于第一问利用古典概型计算公式计算概率，其解题的关键是正确地列举基本事件的个数和满足事件的基本事件的个数；对于第二问求解离散型随机变量的分布列和数学期望，其解题的关键是正确地求出随机变量取值时的概率.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PABE，AB=PA=4，BE=2（）求证：CE平面PAD；（）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF平面PCE？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由【答案】（）见解析；（）36；（）35【解析】试题分析：（）设PA中点为G，连结EG，DG，易证得四边形BEGA为平行四边形，从而结合正方形ABCD的性质得到四边形CDGE为平行四边形，进而使问题得证；（）以点B的原点建立空间坐标系，得到相关点坐标及向量，求出平面PCE的一个法向量，从而由空间夹角公式求解；（）由平面DEF平面PCE，得到两平面的法向量乘积为0，从面求得F点的坐标，进而求得AFAB的值试题解析：（）设PA中点为G，连结EG，DG，因为PABE，且PA=4，BE=2，所以BEAG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形，所以EGAB，且EG=AB因为正方形ABCD，所以CDAB，CD=AB，所以EGCD，且EG=CD，所以四边形CDGE为平行四边形，所以CEDG因为DG平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD（）如图建立空间坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，E(4,0,2)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，所以PC=(4,4,4)，PE=(4,0,2)，PD=(0,4,4)设平面PCE的一个法向量为m=(x,y,z)，所以mPC=0mPE=0x+yz=02xz=0令x=1，则x=1y=1z=2，所以m=(1,1,2)设PD与平面PCE所成角为，则sin=|cos|=|mPD|PD|m|=|4642|=36所以PD与平面PCE所成角的正弦值是36（）依题意，可设F(a,0,0)，则FE=(4a,0,2)，DE=(4,4,2)设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z)，则nDE=0nFE=02x2y+z=0(4a)x+2z=0令x=2，则x=2y=a2z=a4，所以n=(2,a2,a4)因为平面DEF平面PCE，所以mn=0，即2+a2+2a8=0，所以a=125b0)，因为椭圆的左焦点为F1(2，0)，所以a2b2=4因为点B(2,2)在椭圆C上，所以4a2+2b2=1由解得，a=22，b=2所以椭圆C的方程为x28+y24=1（）因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为(22,0)因为直线y=kx(k0)与椭圆x28+y24=1交于两点E，F，设点E(x0,y0)（不妨设x00），则点F(x0,y0)联立方程组y=kx,x28+y24=1消去y得x2=81+2k2所以x0=221+2k2，则y0=22k1+2k2所以直线AE的方程为y=k1+1+2k2(x+22)因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，令x=0得y=22k1+1+2k2，即点M(0,22k1+1+2k2)同理可得点N(0,22k11+2k2)所以|MN|=|22k1+1+2k222k11+2k2|=22(1+2k2)|k|设MN中点为P，则点P的坐标为P(0,2k)则以MN为直径的圆的方程为x2+(y+2k)2= (2(1+2k2)|k|)2，即x2+y2+22ky=4令y=0，得x2=4，即x=2或x=2故以MN为直径的圆经过两定点P1(2,0)，P2(2,0)考点：1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义.21.已知函数fx=exm2x2mx1.（1）当m=1时，求证：若x0，则fx0；（2）当m1时，试讨论函数y=fx的零点个数.【答案】（）证明见解析；（）当0m1时，函数y=f(x)有且仅有一个零点，当m0 时，f(x)0，当-1x0时，f(x)0，所以函数f(x)在区间-1,+)上有且仅有一个零点，且为0. 当x0，所以f(x)=ex-m(x+1)0，所以函数f(x)在(-,-1)上递增，所以f(x)f(-1)，且f(-1)=e-1+m2-1,e-1+m2-1m-120，故0m1时，函数y=f(x)在区间(-,-1)上无零点. ()当m0，所以函数f(x)=ex-mx-m在(-,-1)上单调递增，f(-1)=e-10，当x=e-1m-1时，f(x)=e-1m-1-m(e-1m-1)-m=e-1(e-1m-1)0，又曲线f(x)在区间(e-1m-1,-1)上不间断，所以x*(e-1m-1,-1)，使f(x*)=0，故当x(x*,-1)时，0=f(x*)f(x)f(-1)=e-1，当x(-,x*)时，f(x)f(x*)=0，所以函数f(x)=ex-m2x2-mx-1的减区间为(-,x*)，增区间为(x*,-1)，又f(-1)=e-1+m2-10，所以对xx*-1),f(x)0，又当x0,f(x)0，又f(x*)0，曲线f(x)=ex-m2x2-mx-1在区间(-1-2m,x*)上不间断.所以x0(-,x*)，且唯一实数x0，使得f(x0)=0，综上，当0m1时，函数y=f(x)有且仅有一个零点；当m0时，函数y=f(x)有个两零点.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.选做题：请在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为x=2cosy=sin（为参数），曲线C2的极坐标方程为C2:cos+sin=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点（1）求AB的值； （2）求点M1,2到A、B两点的距离之积【答案】(1);(2)|MA|MB|=143.【