湖北武汉第二中学高三数学仿真模拟理

湖北省武汉市第二中学2019届高三数学5月仿真模拟试题 理一、选择题(每小题5分, 共60分)1. 已知集合, , 则（）A. B. C. D. 2. 设复数满足, , 且, 则（）A. 1 B. C. D. 1或73. 已知数列满足, , 若, 则数列的通项（） A. B. C. D. 4. 已知, , 则下列说法正确的是( ) 。A. 是的充分不必要条件 B. 是的充分不必要条件 C. 是的充分不必要条件 D. 对, 和不可能同时成立5. 若函数的最小值为, 则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 6. 已知, 且, , , ,则( ) A. B. C. D. 7. 某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的四个侧面三角形中, 最大面积为( ) A. B. C. D. 8. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图, 其中的4个小圆均过正方形的中心, 且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点, 则该点取自黑色部分的概率为( ) A. B. C. D. (第7题) (第8题) (第16题) 9. 过内一点任作一条直线, 再分别过顶点作的垂线, 垂足分别为, 若恒成立, 则点是的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 外心 D. 内心10. 已知函数f(x)=2cosx, 且函数在上单调递增, 则正数的最大值为( ) A. B. C. D. 11. 在直角坐标平面内, 已知, 以及动点是的三个顶点, 且, 则动点的轨迹曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 12. 已知, , 若有4个零点, 则的范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分, 共20分) 13. 电视台组织中学生知识竞赛, 共设有5个版块的试题, 主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”.某参赛队从中任选2个主题作答, 则“中华诗词”主题被该队选中的概率是_. 14. 若在 关于的展开式中, 常数项为4, 则的系数是( ) 15. 分别是双曲线左右焦点, 是双曲线上一点, 内切圆被渐近线所截得弦长不大于实半轴, 且与轴相切, 则双曲线离心率取值范围是_.16. 已知正三棱柱的底面边长为, 为的中点, 平面与平面所成的锐二面角的正切值是, 则四棱锥外接球的表面积为_.三、解答题(第1721题每题12分, 第22、23题任选一题作答, 计10分, 共70分)17. 已知中, 内角所对的边分别为, 若.(1) 求; (2) 若, 面积为2, 求的值.18. 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲) 所示; 依据当地的地质构造, 得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙) 所示. 方案防控等级费用(单位: 万元)方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害100试估计该河流在8月份水位的中位数; (1) 以此频率作为概率, 试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率; (2) 该河流域某企业, 在8月份, 若没受1、2级灾害影响, 利润为500万元; 若受1级灾害影响, 则亏损100万元; 若受2级灾害影响则亏损1000万元. 现此企业有如下三种应对方案: (如右表) 。试问, 如仅从利润考虑, 该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由. (第18题) (第19题) 19. 如图, 已知圆柱, 底面半径为1, 高为2, 是圆柱的一个轴截面, 动点从点 出发沿着圆柱的侧面到达点, 其路径最短时在侧面留下的曲线记为: 将轴截面绕着轴, 逆时针旋转角到位置, 边与曲线相交于点.(1) 当时, 求证: 直线平面; (2) 当时, 求二面角的余弦值.20. 已知为坐标原点, 点, , , 动点满足, 点为线段的中点, 抛物线上点的纵坐标为, .(1) 求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程; (2) 若抛物线的准线上一点满足, 试判断是否为定值, 若是, 求这个定值; 若不是, 请说明理由.21. 设函数.(1) 证明的图象过一个定点, 并求在点处的切线方程; (2) 已知, 讨论的零点个数.22. 以坐标原点为极点, 以轴正半轴为极轴, 建立的极坐标系中, 直线; 在平面直角坐标系中, 曲线为参数, .(1) 求直线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程; (2) 曲线的极坐标方程为, 且曲线分别交, 于两点, 若, 求的值.23. 已知函数。(1) 当时, 求不等式的解集; (2) 若, 且对任意, 恒成立, 求的最小值.武汉二中2019届高三五月全仿真模拟考试数学（理）试题数学1C【详解】由得x0，所以Bx|x0所以ABx|0x1，2D【详解】由已知可计算得，再由得，得或7。正确的是D故选：D3B【解析】 , ,则 ,数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，利用叠加法， ， ，则.选B.4B【解析】即为“”，即为“或”，由此可知答案B成立。5D【详解】当时，f（x），单调递减，f（x）的最小值为f(2)=1，当x2时，f（x）单调递增，若满足题意，只需恒成立，即恒成立，a0，故选：D6D【详解】ab0，a+b1，1ab0，1，x（）b（）0 =1，ylog（ab）（） log（ab）=1，zlogb1xzy故选D7D【详解】根据题中所给的三视图，可得该几何体是底面边长为的正方形的四棱锥，且高为，从而可求得其四个侧面三角形面积分别为，通过比较可得最大的面积为故选D8B【详解】如图所示，设正方形的边长为2，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故BEO2EO2Or，BO2r，BO2+O2OBOBD，r+r，r，黑色部分面积S（）2，正方形的面积为1，在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为，故选：B （第8题） （第9题） （第12题）9B【详解】本题采用特殊位置法较为简单.因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.如图：则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点是的重心，故选B.10B【详解】依题意，又函数在上单调递增，即，得故选B11A【详解】sinAsinB-2cosC=0，sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，设C（x，y），又A（2，0），B（2，0），所以有，整理得，离心率是故选A12B【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当时，由题意可得，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，令h(x)=,则h（x）=，则x=，且在（0，）单增，在（）上单减，y的大致图像如图。又h()=若y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，则，故选B.13【详解】由于知识竞赛有五个板块，所以共有10种结果，某参赛队从中任选2个主题作答，选中的结果为4种，则“中华诗词”主题被选中的概率为P（A）故答案为：14-56【详解】由题意得展开式的通项为，展开式的常数项为，展开式中项为展开式中的系数是故答案为-56.15【详解】根据题意，不妨设在第一象限，分别为内切圆与三边的切点， 如图所示：，在双曲线上，故内切圆圆心为，半径为，圆心到渐近线的距离是 弦长，依题得，即.，同时除以得，故答案为 16【详解】如图，延长C1D与CB的延长线交于点M，连接AMB1C1BC，D为BB1的中点，D也是C1M的中点，又取E是AC1的中点，AMDEDE平面ABB1A1，AM平面ACC1A1C1AC为平面AC1D与平面ABC所成二面角的平面角tanC1AC，又AC，则 又四棱锥A-BC外接球即为正三棱柱的外接球，其球心在底面ABC中心正上方的处，又底面外接圆的半径为2r=，四棱锥外接球的表面积为，故答案为19.17（1）；（2）.【详解】（1）由题设及，得，故.上式两边平方，整理得，解得（含去），.（2）由，得，又，则.由余弦定理， .所以.18（1）（2）应选方案二【试题解析】（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：， 记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件则估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为 （2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为： ，由（1）知的分布列为0.810.1550.035则该企业在8月份的利润期望（万元）选择方案二，则（万元）的取值为： ，由（1）知，的分布列为：X24601040P0.9650.035则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为： （万元）由于，因此企业应选方案二19（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）方法一：当时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，.设平面的法向量为，则，可取，得，.所以直线平面.方法二：在正方形中，平面，又平面，所以，又，平面，所以直线平面. （2）当时，以所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系，可得，所以，设平面的法向量为，则，可取，得，又平面的一个法向量为，则所以二面角的余弦值为.20（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析【详解】（1）由题知，所以 ，因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，又知，所以曲线的标准方程为.又由题知，所以，所以，又因为点在抛物线上，所以，所以抛物线的标准方程为.（2）设，由题知，所以，即，所以 ，又因为，所以，所以为定值，且定值为1.21【详解】（1），的图象经过定点， 在点处的切线方程为 （2），令 ，则，在上单调递增，由，唯一，使 且当时，即；当时，即 在上单调递减，在上单调递增，= 令，则在上递减，且 时，即时，在上无零点，时，即时， 在上存在唯一零点 时，即时，即，又 ,令，则，在上单增，在上恒成立，又 ，即 ，在 ，上各存在一个零点。综上所述，时，无零点；时，有一个零点；时，有两个零