湖南常德第一中学高三数学第11次月考理

湖南省常德市第一中学2015届高三数学第11次月考试题 理（扫描版）常德市一中2015届高三第十一次月考试题数学（理）试卷 一、选择题(51050分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1B2C3. B 4. D 5 C6. A 7 A 8.B9.D10. B 二填空题（本题共5个小题，每小题各5分，共25分）（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答）11（几何证明选讲选做题）如图13所示，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_图133 解析由题目中所给图形的位置关系，可知AEFACB，又AA，所以AEFACB，所以.又AC2AE，BC6，所以EF312（坐标系与参数方程选做题）已知直线与圆相交于AB，则以AB为直径的圆的面积为 。13（不等式选做题）实数ai（i=1,2,3,4,5,6）满足（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2=1则（a5+a6）（a1+a4）的最大值为 .（二）必做题14己知，则（）6的展开式中的常数项为 15一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有_30_种。【解析】若爷爷坐在左侧，则有1种不同的坐法，小孙女只有2种不同的坐法，其余由种不同坐法，由乘法计数原理，得共有种不同坐法；若爷爷坐在右侧，则有1种不同的坐法，小孙女只有3种不同的坐法，其余由种不同坐法，由乘法计数原理，得共有种不同坐法；由分类加法计数原理，共有种不同坐法.16对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”，若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是 为“局部奇函数”，存在实数满足，即，令，则，在上有解，再令，则在上有解函数关于的对称轴为，当时，解得；当时，则，即，解得综合，可知 三、解答题(本大题6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)己知函数在处取最小值（I）求的值。 （II）在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a=l，b=，求角C（）=3分因为在处取得最小值，所以，故，又 所以6分（）由（1）知，因为，且A为内角，所以由正弦定理得，所以或.9分当时，当时.综上， 12分18.（本小题满分12分）某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。 （1）根据以上数据完成以下22列联表：喜爱运动不喜爱运动总计男1016女614总计30 （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？ （3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列和均值。参考公式：，其中解：（1）喜爱运动不喜爱运动总计男10616女6814总计161430 2分 （2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6分 （3）喜爱运动的人数为的取值分别为：0，1，2，其概率分别为： 8分喜爱运动的人数为的分布列为：012P10分所以喜爱运动的人数的值为： 12分19. (本小题满分12分)数列首项，前项和与之间满足.求数列的通项公式；设存在正数，使对都成立，求的最大值.【解析】因为时，得 由题意 又 是以为首项，为公差的等差数列. 3分时， 又 （6分） 设则在上递增 故使恒成立，只需. 又 又 ，所以，的最大值是. （12分）20. (本小题满分13分)在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离.解：方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC。又因为P A平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD。4分（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设D到平面ACM的距离为，由即，可求得，设所求角为，则，8分（3）可求得PC=6。因为ANNC，由，得PN。所以。故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。13分方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则，（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。21. (本小题满分13分)设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且（）若过、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；（）过的直线与（）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由（）由题，为的中点设，则，由题，即，即 2分由题外接圆圆心为斜边的中点，半径，由题外接圆与直线相切，即，即 4分，故所求的椭圆的方程为 6分（）设，由题异号设的内切圆的半径为，则的周长为， 因此要使内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大，8分由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，由韦达定理得 ，（） 10分令，则，当时有最大值此时，故的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为 13分22.（本题满分13分）设,函数.（）证明:存在唯一实数，使；（）定义数列:,.（i）求证:对任意正整数n都有；(ii) 当时, 若，证明:对任意都有:.（）证明: . 令,则,. 2分又,是R上的增函数.