2021概率统计全考点精讲第三讲 多维随机变量及其分布

概率统计全考点精讲 张张 卫卫 1 第三讲第三讲 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 【考试要求考试要求】 1.理解多维随机变量的概念（仅数一仅数一），理解多维随机变量的分布的概念和性 质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布边缘分布和条件分布（数一理解；数三数一理解；数三 掌握掌握），理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维 随机变量相关事件的概率. 2.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件， 理解随机变量的独立性与不相关性的关系. 3.掌握二维均匀分布，（数一了解；数三掌握数一了解；数三掌握）二维正态分布的概率密度，理 解其中参数的概率意义. 4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的 分布. 考点：考点：多维多维随机变量随机变量及其分布及其分布 1. 二维随机变量二维随机变量 设，是定义在样本空间上的两个随机变量，称向量 为二维随机变量二维随机变量. 2. 联合分布函数的定义联合分布函数的定义 设是二维随机变量，对于任意的实数，二元函数 称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数联合分布函数. 【注注】如果将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数 在处的函数值就是随机点落在如图所示的，以点为顶 点而位于该点左下方的无穷矩形区域内（含右边界和上边界）的概率. ( )XX=( )YY= ),(YX ()X,Y x,y ()()( , ),F x yPXxYyP Xx Yy= ()X,YXY ()X,Y ( , )F x y()x,y()X,Y()x,y y xo ),(yx 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 2 3. 联合分布函数的性质联合分布函数的性质 （1）分别对于变量和是单调不减的. （2）, . （3）分别关于和右连续，即 ，. （4）随机点落在矩形域上的概率为 . 【例例 1 1】 设二维随机变量()YX,的分布函数为(),F x y，边缘分布函数为 ( ) X Fx，( ) Y Fy，则,P Xx Yy等于（ ） （A）()1,F x y （B）( )( )1 XY FxFy （C）()( )( ),1 XY F x yFxFy+ （D）()( )( ),1 XY F x yFxFy+ ),(yxFx y 1),(0yxF(, )0Fy=( ,)0F x =(,)0F = (,)1F + + = ),(yxFx y (0, )( , )F xyF x y+=( ,0)( , )F x yF x y+= () 1212 ,|,x yxxxyyy 121222211211 ,(,)(,)( ,)( ,)0P xXxyYyF xyF xyF x yF x y=+ 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 3 考点：考点：二维二维离散型随机变量离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布的概率分布、边缘分布和条件分布 1. 二维二维离散型随机变量离散型随机变量 若二维随机变量全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称 是二维离散型随机变量二维离散型随机变量. 2. 联合分布律联合分布律 （1）定义）定义 设二维离散型随机变量所有可能取的值为 ，称 为二维离散型随机 变量的分布律或随机变量和的联合分布律联合分布律. 也可以用表格来表示和的联合分布律联合分布律，如下表所示： Y X （2）性质）性质 ； . 【例例 1 1】 袋中有 6 个球，其中 1 个红球，2 个白球，3 个黑球，有放回地从袋中 取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数，求的 分布律. 【例例 2 2】 已知的分布律为 ),(YX ),(YX ),(YX () , ,1,2, ij x yi j =, ,1,2, ijij P Xx Yyp i j= ),(YX XY XY 1 y 2 y j y 1 x 11 p 12 p 1j p 2 x 21 p 22 p 2 j p i x 1 i p 2i p ij p 0 ij p 11 1 ij ij p = = YX,),(YX ),(YX 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 4 的分布函数为，则，. 3. 边缘分布律边缘分布律 若二维离散型随机变量的概率分布为 ， 则分别称 ， ， 为关于和关于的边缘分布律边缘分布律. 【例例 3 3】 袋中有 6 个球，其中 1 个红球，2 个白球，3 个黑球，有放回地从袋中 取两次，每次取一球，设分别表示两次取球的红球、黑球的个数. 求的 边缘分布律. 【例例 4 4】 设随机变量 101 (1,2) 111 424 i Xi = ，且 12 (0)1P XX+=， 则 12 ()P XX=（ ） （A）0 （B） 1 4 （C） 1 2 （D）1 4. 条件分布律条件分布律 设二维离散型随机变量的分布律为 ， (),X Y(),F x y 1 ,1_ 2 F = 1 0,_ 2 P XY = ),(YX (),1,2, ijij P Xx Yypi j= , iiiji j P XxP Xx Ypp = + = 1,2,i = , jjijj i P YyP XYypp= += 1,2,j = ),(YX XY YX,),(YX ),(YX , ijij P Xx Yyp= (),1,2,i j = 0 1 0 1 1/4 1/4 0 1/2 Y X 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 5 对于固定的，若，则称 为在的条件下随机变量的条件分布律条件分布律. 同理，对于固定的，若，则称 为在的条件下随机变量的条件分布律条件分布律. j()1,2,j = 0 j P Yy= 1 2 = = = ij ij ij jj P Xx ,Yyp P Xx Yy,i, , pP Yy j Yy= X i()1,2,i =0 i P Xx= 1 2 = = = ij ij ji ii P Xx ,Yyp P Yy Xx, j, , P Xxp i Xx=Y 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 6 考点：考点：二维二维连续型随机变量连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度的概率密度、边缘密度和条件密度 1. 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 设二维随机变量),(YX的分布函数为( , )F x y，若存在非负可积函数 ()f x,y，使得对于任意, x y，有( , )( , )d d xy F x yf u vu v = ，则称()X,Y为二二 维连续型随机变量维连续型随机变量，称函数()f x,y为二维随机变量()X,Y的概率密度或随机变量 X和Y的联合概率密度联合概率密度. 2. 联合联合概率密度的性质概率密度的性质 （1）. （2）. （3）若在点处连续，则. （4）设是平面上的区域，点落在内的概率为 . 【例例 1 1】 设的概率密度为，求： （1）常数的值； （2）. 3. 边缘概率密度边缘概率密度 若二维连续型随机变量的概率密度为，则分别称 ， 为关于和关于的边缘概率密度边缘概率密度. 4. 条件概率密度条件概率密度 设二维连续型随机变量的概率密度为，关于的边缘概 ()0f x,y ()( , ),1f x y dxdyF + =+ + = ( , )f x y()x,y 2 ( , ) ( , ) F x y f x y x y = G xoy ()X,YG (, )( , ) G PX YGf x y dxdy= ()X,Y() ,01 , 0, Cxxy f x y = 其他 C 1 ,1 2 P XY ),(YX(),f x y ( )(), X fxf x y dy + =( )(), Y fyf x y dx + = ),(YX XY ),(YX(),f x y),(YX Y 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 7 率密度为. 若对于固定的， 则称为在的条件下 的条件概率密度条件概率密度，记为. 类似地，若对于固定的，则称为在条件 下的条件概率密度条件概率密度. 【例例 2 2】 设的概率密度函数为，求： （1）； （2）， . 【例例 3 3】 设随机变量，当给定时，随机变量的条件概率 密度为， （1）求和的联合概率密度； （2）求边缘概率密度. ( ) Y fy y ( )0 Y fy () ( ) , Y f x y fy Yy= X() () ( ) X|Y Y fx,y fx| y fy = x ( )0 X fx () () ( ) Y|X X fx,y fy|x fx = xX =Y ),(YX() ,0 , 0, y exy f x y = 其他 ( )( ), XY fxfy() Y|X fy|x() X|Y fx| y ()0,1XUXx=Y () 1 0 0 Y|X x,y fy|xx , = 其他 XY() ,f x y ( ) Y fy 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 8 考点：考点：随机变量的独立性随机变量的独立性 1.1.定义定义 设及，分别是二维随机变量的分布函数 及边缘分布函数. 若对于任意实数，有，则称随机变量 和相互独立相互独立. 当是离散型随机变量时，和相互独立的充要条件是 . 当是连续型随机变量时，和相互独立的充要条件是 . 【注注】证明两个随机变量不独立的方法证明两个随机变量不独立的方法：若存在 00, y x，使得 0000, yYPxXPyYxXP，则与不相互独立. 2 2. .性质性质 若和相互独立，是连续函数，则相互独 立. 【例例 1 1】 设随机变量与独立同分布，且，则下 列等式成立的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【例例 2 2】 设的密度函数为，问和是否 独立？ ( , )F x y( ) X Fx( ) Y Fy),(YX , x y ( , )( )( ) XY F x yFx Fy= XY ),(YX XY ()1 2 ijij pppi, j, = ),(YX XY ()( )( )() XY f x,yfx fyxR,yR= XY XY( )( ) ,g th t()( ),g Xh Y XY 2 1 11=XPXP 4 1 =YXP 2 1 =YXP 4 1 0 =+YXP 4 1 1 =XYP ),(YX() ,0 , 0, y exy f x y = 其他 XY 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 9 考点：考点：常见二维随机变量的常见二维随机变量的分布分布 1.1.二维均匀分布二维均匀分布 若二维随机变量具有概率密度 ，其中为平面上的有界区域，的面积为，则称 在上服从均匀分布. 2 2. .二维二维正态正态分布分布 （1）定义定义 若二维随机变量的概率密度（数一了解；数三掌握数一了解；数三掌握）为 ， 其中均为常数， 且， 则称 服从二维正态分布二维正态分布，记为. （2）性质性质 若()() 22 1212 X,Y N,;,; ，则 () 2 11 X N, ，() 2 22 Y N, ； 和相互独立的充分必要条件是 ； 仍服从正态分布； 令 += += YbXaV YbXaU 22 11 ，当0 22 11 ba ba 时，()VU,服从二维正态分布. 【注】若() 2 11 X N, ，() 2 22 Y N, 且独立，则服从二维 正态分布，且仍服从正态分布. 【例例 1 1】 设二维随机变量服从区域上的均匀分 布，求. ),(YX () () 1 , , 0, x yG f x yA = 其他 GGA ),(YX G ),(YX () () ()()()() 22 1122 22 2 2 1122 12 11 exp2 2 1 21 xxyy f x,y =+ , x yR 1212 , 12 0011, ),(YX ()() 22 1212 X,Y N,;,; XY 0= () 22 0aXbY ab+ ,X Y(),X Y () 22 0aXbY ab+ ),(YX01,Dxyx= ()xyf XY | | 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 10 【例例 2 2】 设二维随机变量，则. 【例例 3 3】 （课后作业）（课后作业）设二维随机变量(, )X Y服从二维正态分布()0 ; 1 , 1 ; 0 , 1N， 则0_.P XYY= ()()0 0 11 0X,Y N, ; , ;0_ X P Y = 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 11 考点：考点：二维二维随机变量函数的分布随机变量函数的分布 1.1.YX,均为离散型随机变量均为离散型随机变量 情形一：二维离散型情形一：二维离散型一一维离散型维离散型 即：()=,Z g X Y. 做法做法： 找出Z全部可能的 取值，求出相应的概率. 情形二：二维离散型情形二：二维离散型二二维离散型维离散型 即：()() 12 =,U gX YVgX Y=，(),U V 为二维离散型随机变量. 做法做法：找出U和V的全部可能取值，画出表格，求出相 应的概率. 【例例 1 1】 设二维随机变量的分布律为 0 1 0 0.4 0.4 1 0.1 0.1 求的分布. 【例例 2 2】 设, 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律 为 1 (),(1,2,3) 3 Pii=，又设max , X =，min , Y =.求(, )X Y的联 合分布律. 2.2.X和和Y，一个离散型随机变量，一个连续型随机变量，一个离散型随机变量，一个连续型随机变量 做法做法：有限可加性或全概率公式 【例例 3 3】 设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布，且Y的分布律 为 1 (0)(1) 2 P YP Y=. 求的概率密度. 3.3.YX,均为连续型随机变量均为连续型随机变量 设二维连续型随机变量的概率密度为. （1）若()=,Z g X Y为离散型随机变量，求Z的分布律. 做法做法：找出Z全部可能 的取值，求出相应的概率. ),(YX Y X ZXY=+ ZXY=+ ),(YX( , )f x y 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 12 （2）若为连续型随机变量，则随机变量的分布函数为 ，. 进而的概率密度为. （3）四类重要的二维随机变量函数的分布（均是“推广的卷积公式”的特例）（均是“推广的卷积公式”的特例） =Z XY+的分布（和的分布和的分布） 设二维连续型随机变量( ),X Y 的概率密度为 (),f x y ， 则 =Z XY+ 的概率密度 为： ( )()(), Z fzf x zx dxf zy y dy + = . 若和相互独立，则有卷积公式卷积公式： ( )( )()()( ) ZXYXY fzfx fzx dxfzy fy dy + = . . =Z XY的分布（差的分布差的分布） 设二维连续型随机变量( ),X Y 的概率密度为 (),f x y ， 则 =Z XY 的概率密度 为： ( )()(), Z fzf x xz dxfyz y dy + =+ 若和相互独立，则有： ( )( )()()( ) ZXYXY fzfx fxz dxfyz fy dy + =+ . . =Z XY的分布（积的分布积的分布） 设二维连续型随机变量( ),X Y 的概率密度为 (),f x y ， 则 =Z XY的概率密度为： ( ) 11 , | Z zz fzfxdxfy dy xxyy + = . 若和相互独立，则有： ( )( )( ) 11 | ZXYXY zz fzfx fdxffy dy xxyy + = . . = X Z Y 的分布（商的分布商的分布） 设二维连续型随机变量(),X Y的概率密度为(),f x y， 则= X Z Y 的概率密度为： ( )()|, Z fzy fyz y dy + =. 若和相互独立，则有： ( )()( )| ZXY fzy fyz fy dy + =. . 【注注】推广的卷积公式：推广的卷积公式：设随机变量()YX,的概率密度为()yxf,，()YXgZ,=. (, )Zg X Y=(, )Zg X Y= ( )() (), , Z g x yz Fzf x y dxdy = zRZ( )( ) ZZ fzFz= XY XY XY XY 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，关注微信公众号【拼课助手】 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 13 （1） 若 y g x g ,存在且连续， 且 () 0 , y yxg 或 () 0 , y yxg ， 则随机变量Z的概率 密度为( )()() () dx z zxh zxhxfzfZ = + , ,.（由(),zg x y=解得(),yh x z=） （2） 若 y g x g ,存在且连续， 且 () 0 , x yxg