甘肃高三数学第二次诊断考试理

2019年甘肃省第二次高考诊断考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分析】由复数代数形式的乘除运算化简得z,再求模即可【详解】故=-2i, 则故选：C【点睛】本题考查复数的模，复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，是基础的计算题2.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出N=-1,0,1,2,3,再求MN得解.【详解】由题得N=x|-1x3，xZ=-1,0,1,2,3,所以MN=1,2,3.故选：D【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知向量a=(1,m)，向量b=(1,3)，若a/b，则m=（ ）A. 3B. 3C. 33D. 33【答案】B【解析】【分析】直接利用向量平行的坐标表示求m的值.【详解】由题得13m(1)=0,m=3.故选：B【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.在等差数列an中，已知a1与a11的等差中项是15，a1+a2+a3=9，则a9=（ ）A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】A【解析】【分析】由题得a1，d的方程组求解即可，得an的通项公式，则a9可求【详解】由题得a1+a11=2a1+10d=30a1+a2+a3=3a1+3d=9,解得a1=0d=3, 则a9=8d=24故答案为:A【点睛】本题考查等差数列的通项公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题5.南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示.现用一与下底面平行且与下底面距离为h(0h0,b0)的渐近线与圆(x3)2+y2=1无交点，则C的离心率的取值范围为（ ）A. (1,324)B. (1,233)C. (324,+)D. (233,+)【答案】C【解析】【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用c2a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求【详解】双曲线渐近线为bxay0与圆（x3）2+y21无交点，圆心到渐近线的距离大于半径，即3ba2+b218b2a2，8（c2-a2）a2，即8 c29a2e=ca324故答案为：C【点睛】本题考查双曲线的几何性质，渐近线方程，点到线的距离公式，准确计算是关键，是中档题12.已知函数f(x)=cos2x，x2,2，奇函数y=g(x)的图象如图所示，若函数y=f(g(x)与y=g(f(x)的零点个数分别为m，n，则m+n的值是（ ）A. 5B. 6C. 9D. 12【答案】D【解析】【分析】利用f(x)和g(x)图象由外到内分别解方程即可得两方程解的个数，最后求和即可【详解】由题f（x）为偶函数，x-2,2，其图像为方程f（g(x)）0g(x)1或g(x)1，由y=g(x)图像，知y=1与其由6个交点，方程f（g(x)）0有6个根，即m6；又方程g（f（x）0f（x）a（-1,0）或f（x）0或f（x）b（0,1）y=0与y=a与y=b与f(x)有6个交点方程g（f（x）0 有6个根，即n6，m+n12故选：D【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的图象性质，利用函数图象解方程的方法，数形结合的思想方法，属基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)= log2x,x0,2-2-x,x0. 若fx0,则实数a的取值范围是_.【答案】(-,-1)(0，1)【解析】【分析】由分段函数，分情况解不等式即可【详解】由题fx0log2x0或x02-2-x0，解得x-1或0x0，且an+122an+1an+an+12an=0 (nN*)，则S2019=_.【答案】220191.【解析】【分析】将an+12-2an+1an+an+1-2an=0整理得an+1+1an+1-2an=0，得an为等比数列即可求解【详解】an+12-2an+1an+an+1-2an=0，则an+1+1an+1-2an=0,因为an0，则an+1+10，故an+1-2an=0，故an为首项为1，公比为2的等比数列，an=2n-1则S2019=1-220191-2=22019-1故答案为22019-1【点睛】本题考查数列递推关系求通项，等比数列求和公式，考查计算能力，是基础题15.直三棱柱ABC-ABC中，ABC=90，AB=4，BC=2，BB=5，则异面直线AC与BC所成角的余弦值为_.【答案】115【解析】【分析】连接BC，CB，交于E，取AB中点F,连接EF,推出EFAC,FEC或其补角为所求，在三角形FEC运用余弦定理求解即可【详解】连接BC，CB，交于E，则E为BC为中点，取AB中点F,连接EF,故EFAC，则FEC或其补角为所求，又EF=12AC=52,FC=4+4=22,CE=12BC=32,在三角形EFB中，cosFEC=115故答案为115【点睛】本题考查异面直线所成的角，熟记异面直线所成角定义，熟练找角，准确计算是关键，是基础题16.抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x+4y+25=0上存在点M，使得AMB=90，则实数p的取值范围是_.【答案】10,+)【解析】【分析】根据M在直线3x+4y+25=0上，设出点M的坐标，写出向量AM、BM；利用AMBM=0得出方程，再由0求出p的取值范围【详解】由题得A(p2,0),B(p2,0),M在直线3x+4y+25=0上，设点M(x,3x254)， AM=(xp2,3x254)，BM=(x+p2,3x254)；又AMB=90， AMBM=(xp2)(x+p2)+(3x254)2=0，即25x2+150x+6254p2=0；0，即1502425(6254p2)0，解得p10，或p10，又p0，p的取值范围是10，+)故答案为：10，+)【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，.若a(1+cosB)=bcosA.（）求角A范围；（）求函数f(A)=2cosA(3cosA+sinA)的值域.【答案】（）A(6,4)；（）y|1+3y23.【解析】【分析】（）由正弦定理及两角和的正弦得sinA=sinB-A，结合锐角三角形进而得A范围；（）化简f(A)=2sin(2A+3)+3，由A的范围结合三角函数求范围即可【详解】（I） a(1+cosB)=bcosA，由正弦定理得，sinA(1+cosB)=sinBcosA整理得sinA=sin(B-A)，因为A,B0,2,故B-A-2,2 A=B-A 因ABC为锐角三角形，故0A2,0B=2A2,0C=-3A2,解得6A4，所以所求角A的范围是A(6,4). （）f(A)=2cosA(3cosA+sinA) =31+cos2A+sin2A=2sin(2A+3)+3 由6A4得232A+356故有1+3f(A)23f(A)的值域为y|1+3y5.故应选择方案B.【点睛】本题考查古典概型，二项分布，茎叶图，考查计算能力，是中档题19.等腰直角三角形ABC中，ABC=90，点D在边AB上，DE垂直AB交AC于E，如图.将ABC沿DE折起，使A到达P的位置，且使平面PDE平面DBCE，连接PC，PB，如图.（）若F为PB的中点，DB=DP，求证：DFPC；（）若BC=4，当三棱锥PDBC的体积最大时，求二面角BPEC的余弦值.【答案】（）详见解析；（）13【解析】【分析】（）先证BC平面PDB，得BCDF，由F为PB中点，DB=DP，得DFPB，进而证明DF平面PBC，即可证明；（）证明三棱锥P-DBC的体积最大时DB=2, 以DE，DB，DP分别为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系O(D)-xyz,分别求面PEC和面PEB的法向量，由空间向量二面角公式求解即可【详解】（I） DEPD，DEDB，PDDB=D DE平面PDB，又在图中BCBD，DEBD， DE/BC， BC平面PDB，而DF平面PDB， BCDF， DP=DB，F是PB的中点， DFPB DF平面PBC，而PC平面PBC， DFPC. （）设DB=m，由BC=4，三棱锥P-DBC的体积V=13124m(4-m)=-23(m-2)2+8383，得三棱锥P-DBC的体积最大时，m=DB=2. PD=DE=DB=2，以DE，DB，DP分别为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系O(D)-xyz则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,2).设面PEC的法向量为n=(x,y,z)则nPC=(x,y,z)(4,2,-2)=4x+2y-2z=0nPE=(x,y,z)(2,0,-2)=2x-2z=0令z=1则x=1，y=-1，则n=(1,-1,1)设面PEB的法向量为m=(x,y,z)则mPB=(x,y,z)(0,2,-2)=2y-2z=0mPE=(x,y,z)(2,0,-2)=2x-2z=0令z=1则x=1，y=1，则m=(1,1,1) cos=nm|n|m|=(1,-1,1)(1,1,1)33=13所以二面角B-PE-C的余弦值为13. 【点睛】本题考查线面垂直的判定及性质，空间向量求二面角，熟记定理，准确计算是关键，是基础题20.椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(2,0)，左、右焦点分别是F1，F2，P点在椭圆上，且满足F1PF2=90的P点只有两个.（）求椭圆C的方程；（）过F2且不垂直于坐标轴的直线交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N(n,0)，使得ANB的角平分线是x轴？若存在求出n，若不存在，说明理由.【答案】（）x22+y2=1；（）详见解析.【解析】【分析】（）由题得P点为椭圆的上下顶点，得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（）设直线的方程为x=my+1(m0)，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，根据kAN+kBN=0得到n=2. 所以存在点N(2,0)，使得ANB的平分线是x轴.【详解】解：（I）由题设知P点为椭圆的上下顶点，所以a=2，b=c,b2+c2=a2,故a=2，b=1,故椭圆C方程为x22+y2=1 . （）设直线的方程为x=my+1(m0)，联立x2+2y2-2=0x=my+1 消x得m2+2y2+2my-1=0设A，B坐标为Ax1,y1，Bx2,y2则有y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2，又x1=my1+1，x2=my2+1假设在x轴上存在这样的点N(n,0)，使得x轴是ANB的平分线，则有kAN+kBN=0 而kAN+kBN=y1-0x1-n+y2-0x2-n =y1x2-n+y2x1-nx1-nx2-n=y1my2+1-n+y2my1+1-nx1-nx2-n =2my1y2+(1-n)y1+y2x1-nx2-n=0将，y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2代入2my1y2+(1-n)y1+y2=0有2m-1m2+2+(1-n)-2mm2+2 =-2m(2-n)m2+2=0即2m(n-2)=0因为m0，故n=2. 所以存在点N(2,0)，使得ANB的平分线是x轴.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和椭圆中的存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.函数f(x)=2x2ax+1+lnx(aR).（）若a=5时，求函数f(x)的单调区间；（）设g(x)=f(x)2lnx，若函数g(x)在x1e,e上有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（）见解析；（）a(3,2e.【解析】【分析】（）当a=5时，f(x)=(4x-1)(x-1)x，解f(x)不等式则单调区间可求；（）g(x)=2x2-ax+1-lnx在x1e,e上有两个零点，等价于ax=2x2+1-lnx在x1e,e上有两解，分离参数a=2x+1x-lnxx，构造函数h(x)=2x+1x-lnxx,x1e,e ，求导求其最值即可求解【详解】（）当a=5时，f(x)=2x2-5x+1+lnx的定义域为x(0,+)，f(x)=4x-5+1x=(4x-1)(x-1)x当x0,14，x(1,+)时，f(x)0， f(x)在0,14和(1,+)上单调递增.当x(14,1)时，f(x)0 t(x)在x1e,e上单调递增，又t(1)=0 t(x)在x1e,1上有t(x)0 x1e,1时，h(x)0h(x)在x1e,1上单调递减，在(1,e上单调递增. h(x)min=h(1)=3h(1e)=2e+2e，h(e)=2e，由a=2x+1x-lnxx有两解及h(1e)h(e)可知. a(3,2e【点睛】本题考查函数的单调区间及函数最值，不等式恒成立，分离参数法，零点个数问题，准确计算是关键，是中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2 B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为x=2+tcos,y=1+tsin,（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2cos+23sin(0).（）求曲线C的直角坐标方程；（）若直线与曲线C相交于不同的两点A，B，若M(2,1)是AB的中点，求直线的斜率.