甘肃武威六中高中数学《迈好集合这道坎》理

迈好集合这道坎高一新生刚接触到集合这部分内容时，是充满新鲜与高兴的，但深入学习时才明白，这部分内容概念多、符号新、术语难，方法活，和初中相比，解题时总有一种很不适应的感觉。由此一些学生发出高中数学难学的感叹。那么如何使高一新生顺利迈好这一坎呢？本文谈一些个人的做法。一、过好概念关集合这部分内容除集合这个原始概念外，其他概念有：有限集、无限集、空集、子集、真子集、全集、补集、交集、并集、奇数集、偶数集等；术语有：列举法、描述法、包含于等；符号有：、+、*、UA、等。对这些内容的学习，第一是引导学生做到做好三种语言的互译。重点在自然语言，难点在符号语言，关键在图形语言。例1、子集概念的三种语言： 自然语言：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合，这时说A是B的子集。符号语言：若任意xA,都有xB，则A B图形语言：可以仿此让学生填下表对主要概念的三种语言进行表述，并随时进行口语训练。自然语言符号语言图形语言子集真子集集合相等补集交集并集例2、用适当的方法表示右图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M。此题考察把图形语言 “翻译”为符号语言的能力，显然采用描述法。答案为：例3、Mmx2+2(m-1)x+1=0,xR,y=2x-1,xM,求y的取值范围。此题难点在于对题意的理解。把集M的符号语言 “翻译”为较通俗的自然语言：M是由使方程x2+2(m-1)x+1=0,xR有实根的实数m组成，只需0，问题即可引刃而解。特别注意右边图形的理解运用。第二是在对比中把握概念的本质。如交与并；子集与真子集；集合相等与初中层面的数式相等；列举法与描述法；奇数集与偶数集等。如教师在讲解了交集、并集的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容（见下表）：名 称交 集并 集定 义记 号符号语言图 示性 质例4、若集合A=xx=6a+8b,a,bZ,B=xx=2m,mZ,求证：A= B（1）证题思路是：任取xA，都有xB， AB；任取xB，都有xA，即BA，则A= B。（2）联系后例11，说明两种相等的“差别”，进而说明有限集相等与无限集相等的“差别”。第三是在运用中深刻理解概念的内涵与外延。一般地，若xf(x)表示一个概念的外延时，f(x)就是这个概念的内涵。例如“偶数集”这个概念的外延是“，2n，,6,4,2,0,2,4,6,2n,”等数组成的集合，内涵是“能都能被2整除”这个性质。子集、真子集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义。其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明真子集、补集。这样处理，从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，阐明概念的意义。学生对这些概念就容易接受但是应注意，由特殊事例归纳出一般结论的举例最好尽可能地把各种具有代表性的情况都列举出来概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；对于容易混淆的概念，要抓住不同点，培养学生的判断能力例5、方程组的解的集合是（ ）AB2, 1 C(2, 1) D (2, 1)此题要让学生弄清楚解的集合中的“元素”是什么，可从数和形两方面讲解。答案：C。例6、已知集合A=x2x1或x0，集合B=xaxb,满足AB=x0x2，AB=xx2,求a、b的值。画图分析：由A=x2x1或x0，B=xaxb, AB=x0x2，知b2，且1a0；又由AB=xx2，知2a1，a1综上知a1，b2。对符号和术语的学习，首要的是要深刻理解符号、术语所代表的数学概念的具体内容，以及约束条件，然后要在解题中分清一些易混淆的界限，提高运用能力，还要注意多进行一些纠错训练。例7、判断下列关系式的正误（1）；（2）；（3）0 ；（4）0 ；（5）0（6）AB=BBA；（7）AB=BAB答案：（1）（6）正确，（7）错误。例8、设AB= ,M=PPA,N=QQB, 为空集，则_.（A） MN（B）MN（C）MNAB （D）MNAB解：M是由A的子集为 “元素”构成的集合， N是由B的子集为 “元素”构成的集合，由AB= 知答案为B二、 狠抓运算关本节中最主要的运算在于与一元二次方程、二次函数、一元一次不等式相关的一些运算，此外就是解方程组、绝对值运算等。为此必须做好这些知识的复习工作，特别是解一元二次方程、配方法、根与系数的关系、因式分解等是学生的薄弱点，要反复强化训练；在练习题的选择上要由易到难、循序渐进、逐步深入；作业上要从严要求，注重细节。例9、集合Axax2+2x+1=0,xR, aR,（1）若A是空集，求的a取值范围；（2）若A中只有一个元素，求A；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围。提示：（1）a0且0（2）分两种情况：a=0 或a0且0（3）“至多”意即A是空集或A中只有一个元素例10、集合Ax2x2px+q=0, 集合Bx6x2+（p+2）x+5+q=0,若AB，求AB。本题可用代入法，亦可设A=a, ,B=b, ,用韦达定理列式后，消去p、q解出a、b即可。三、 初练分类关本节内容由于概念等原因，分类讨论的问题骤然增多，这令许多高一新生感到不适应。教师应在学生深刻理解概念的基础上，讲清原因，做好示范，由浅入深，模仿作业、反复训练、小结归纳，初步让学生了解为何分类、何时分类、怎样分类等问题，帮助学生度过这一令学生发怵的难关。例11、集合A=x , x2 , y21,B=0, x, y,若A=B,求x,y的值。显然x0,得y21=0,即y=1或y=1。若y=1，则A=x , x2 , 0，B=0, x,1，则x=1或x21.当x=1时，A、B中均有重复元素；当x21时，只能x=1，此时B中也出现重复元素，所以y 1；若y=1，则A=x , x2 , 0，B=0, x,1，则有x=1，经验证适合。综上，x=1，y=1。例12、Pxx2+x6=0,xR，Qxmx+1=0,xR,若QP，则实数m可取不同值的个数为 个。本题易忽略“Q”的情况。例13、已知集合Axx2+4x=0，Bxx2+2（a+1）x+a2-1=0,（1）AB=B,求实数a的取值范围;（2）AB=B,求实数a的值。解：由x2+4x=0得A0，4（1）AB=B,BA，则B，或0，或4或0，4当B时，4（a+1）24a2+40 ,即a1；当B0时,0B且4B,由韦达定理得，a1；当B4时, 4B且0B，由韦达定理得，a；当B时0，4时, 4B且0B，由