《微积分一》导数的基本公式与运算法则PPT课件

一、函数的和、差、积、商的求导法则,二、反函数的导数,三、基本初等函数的导数,四、复合函数的导数,3.3导数的基本公式与运算法则,五、隐函数的导数,六、对数求导法,八、综合举例,七、由参数方程所确定的函数的导数,一、函数的和、差、积、商的求导法则,如果u(x)、v(x)都是x的可导函数则它们的和、差、积、商(分母不为零时)也是x的可导函数并且,u(x)v(x)u(x)v(x),u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),特别地cu(x)cu(x),公式的推广,(u1u2un)u1u2un(u1u2un)u1u2unu1u2unu1u2un,二、反函数的导数,设函数yf(x)在点x处有不等于0的导数f(x)并且其反函数xf1(y)在相应点处连续则f1(y)存在并且,简要证明,这是因为,三、基本初等函数的导数,1常数的导数,(c)0,这是因为,1(c)0,2幂函数的导数,这是因为,1(c)0,3指数函数的导数,(ax)axlna,(ex)ex,这是因为,4对数函数的导数,1(c)0,3(ax)axlna,(ex)ex,5三角函数的导数,(sinx)cosx,这是因为,1(c)0,3(ax)axlna,(ex)ex,5三角函数的导数,这是因为,1(c)0,3(ax)axlna,(ex)ex,1(c)0,3(ax)axlna,(ex)ex,6反三角函数的导数,这是因为函数yarcsinx与xsiny互为反函数所以由反函数的求导公式得,5(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x,(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx,5(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x,(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx,1(c)0,3(ax)axlna,(ex)ex,基本导数公式,课前复习,1.导数的几何意义？切线方程？,2.可导与连续的关系？,反之不成立！,例1.计算下列函数的导数.,0,0,1）,4）,5）,6）,7）,8）,2）,3）,_,),(,2,=,e,解：,解：,例2.,解：,解：,解：,解：,解：,?,四、复合函数的导数,设u(x)在点x处可导yf(u)在对应点u处可导则复合函数yf(x)在点x处也可导，且其导数为,简要证明,推广,设yf(u)u(v)v(x)则复合函数y(x)对x的导数是,四、复合函数的导数,设u(x)在点x处可导yf(u)在对应点u处可导则复合函数yf(x)在点x处也可导，且其导数为,因此,因此,四、复合函数的导数,若yf(x)u(x)则,解,设ylnuusinx则,例11求函数ylnsinx的导数,解,例12求函数yarcsin(3x2)的导数,解,y(ax),例10求函数yax的导数,axlna,axlna(x),解,解,练习,五、隐函数的导数,显函数,隐函数,解,例15求由方程y22px所确定的隐函数yf(x)的导数,将方程两边同时对x求导得,2yy2p,解出y即得,解,将方程两边同时对x求导得,例16求由方程yxlny所确定的隐函数yf(x)的导数,解出y即得,解,将方程两边同时对x求导得,解出y得,例17求由方程eyxy所确定的隐函数y的导数,eyyyxy,解,例18由方程x2xyy24确定y是x的函数求其曲线上点(2,2)处的切线方程,将方程两边同时对x求导得,2xyxy2yy0,解出y即得,所求切线的斜率为ky|x2,y21于是所求切线为y(2)1(x2)即yx4,求下列隐函数的导数：,1）,2）,3）,练习,六、取对数求导法,将函数yf(x)两边取对数转化为隐函数求导这种方法称之为“取对数求导法”,解,例19求函数yxx的导数,法一.,yxxexlnx,xx(lnx1),exlnx(lnx1),将yxx两边取对数,lnyxlnx,两边对x求导数得,于是得yy(lnx1)xx(lnx1),法二.,解,先在两边取对数得,上式两边对x求导得,例20.,思考：具有什么特征的显函数用对数求导法较好？,1.幂指函数2.多个因子相乘除的函数,练习,求下列函数的导数：,2.对数求导法适用的函数类型？方法？,课前复习,隐函数求导法（1）方法？（2）特别要注意的地方？,七、由参数方程所确定的函数的导数,设x(t)有连续反函数t1(x)又(t)与(t)存在且(t)0则：,解：,解：,例21.,练习,八、综合举例,例22y3xx333xx求y,证,所以y(a)y(a),例23.,例24已知f(u)可导求f(lnx)f(xa)n及f(xa)n,f(xa)n,f(xa)nn(xa)n1(xa),n(xa)n1f(xa)n,f(xa)n(xa)n,f(xa)n,nf(xa)n1f(xa),nf(xa)n1f(xa)(xa),nf(xa)n1f(xa),例25.,解,当x0时,当0x1时,f(x)1,f(x)2,在x0处f(x)不连续