陕西吴堡吴堡中学高中数学第二章从力做的功到向量的数量积导学案北师大必修4

从力做功到向量的数量积【学习目标】（1） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3） 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.【学习难点】运算律的理解【知识衔接】1.已知(x1, y1) (x2, y2) 求+，-的坐标；2.已知(x, y)和实数, 求的坐标；3.已知，求的坐标；4.向量、共线的两种判定方法：()、。【学习过程】1.由力做的功：W = |F|s|cosq， q是F与s的夹角；可以定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a|b|cosq， 并规定0与任何向量的数量积为0。2.向量夹角的概念：。范围0q180。由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；要注意的几个问题： 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。 两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。OaAcbab 在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0.这就得性质2. 已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab=bc 但a c 在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。 注意：射影也是一个数量，不是向量。 当q为锐角时射影为正值； 当q为钝角时射影为负值； 当q为直角时射影为0； 当q = 0时射影为 |b|； 当q = 180时射影为 -|b|.问题(2).如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质. 几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 ea = ae =|a|cosq ab ab = 0 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|。 特别的aa = |a|2或强调：a+b=； cosq =（|a|b|0） |ab|a|b|4.向量数量积的运算满足：1.交换律：ab = ba2.数乘结合律：(a) b =(ab) = a (b)3.分配律：(a + b) c = ac + bc例1.已知：【巩固练习】3.判断下列各题正确与否： 若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0. ( ) 若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0. ( ) 若a 0，ab = 0，则b = 0. ( ) 若ab = 0，则a 、b至少有一个为零. ( ) 若a 0，ab = ac，则b = c. ( ) 若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时