福建宁德高三数学第二次质量检查考试理

福建省宁德市2019届高三数学第二次（5月）质量检查考试理试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可【详解】Ax|1x5；ABx|1x5故选：C【点睛】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算2.复数（）满足，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把za+bi（a，bR）代入2zi（1z），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求【详解】za+bi，由2zi（1z），得2a+2bii（1abi）b+（1a）i，解得a，ba+b故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题3.的展开式中的系数为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求出r的值，即可求得展开式中的系数【详解】二项式的展开式的通项公式为 Tr+1（2）r，令3，求得r1，可得展开式中的系数为12，故选：A【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意的取值范围()第m项：此时,直接代入通项；常数项：即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.4.孙子算经是中国古代重要的数学著作其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有61696个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有61696个，从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：p故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果【详解】根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：该几何体的体积为：V故选：B【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型6.已知平面区域：，：，则点是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】画出两个平面区域，然后判断充要条件即可【详解】平面区域，表示圆以及内部部分；的可行域如图三角形区域：则点P（x，y）1是P（x，y）2的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查线性规划的简单应用，充要条件的应用，是基本知识的考查7.已知函数，记，则的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可以看出，f（x）是偶函数，并且在0，+）上单调递增，从而得出，并且可以得出，从而由f（x）在0，+）上的单调性即可得出a，b，c的大小关系【详解】f（x）是偶函数，在0，+）上单调递增；bf（log0.23）f（log0.23）；50.2501，；bca故选：A【点睛】本题考查偶函数的定义，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及增函数的定义8.若函数，则下列结论正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. 对任意的，都有C. 函数在上是减函数D. 函数的图象关于直线对称【答案】B【解析】【分析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果【详解】函数f（x）sin2x+cos2x，则：函数的最小正周期为故选项A错误令：（kZ），解得：，（kZ），当k0时，函数的单调递减区间为：，故：选项C错误当x时，f（）0，故选项D错误，故选：B【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型函数（A0,0）的性质：（1）周期性：存在周期性，其最小正周期为T=;（2）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间。9.如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点从点测得，从点测得，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，在ADC中，分析角边关系可得ACDC2，在BCE中，由正弦定理可得BC的值，据此在ABC中，利用余弦定理分析可得答案【详解】根据题意，在ADC中，ACD45，ADC67.5，DC2，则DAC1804567.567.5，则ACDC2，在BCE中，BCE75，BEC60，CE，则EBC180756045，则有，变形可得BC，在ABC中，AC2，BC，ACB180ACDBCE60，则AB2AC2+BC22ACBCcosACB9，则AB3；故选：C【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于基础题在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.10.如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】圆（y1）2+x24的圆心为（0，1），半径r2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|2，|AF|yA+1，|AB|yByA，即可得出三角形ABF的周长2+yA+1+yByAyB+3，利用1yB3，即可得出【详解】抛物线x24y的焦点为（0，1），准线方程为y1，圆（y1）2+x24的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r2，|FB|2，|AF|yA+1，|AB|yByA，三角形ABF的周长2+yA+1+yByAyB+3，1yB3，三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.下列图象中，可能是函数的图象的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，按a的值分5种情况讨论，分析函数f（x）的定义域、是否经过原点以及在第一象限的单调性，综合即可得答案【详解】根据题意，函数f（x）xa（ex+ex），其导数f（x）axa1（ex+ex）+xa（exex），又由aZ，当a0，f（x）ex+ex，（x0）其定义域为x|x0，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，没有选项符合；当a为正偶数时，f（x）xa（ex+ex），其定义域为R，f（x）为偶函数且过原点，在第一象限为增函数，没有选项符合，当a为正奇数时，f（x）xa（ex+ex），其定义域为R，f（x）为奇函数且过原点，在第一象限为增函数且增加的越来越快，没有选项符合，当a为负偶数时，f（x）xa（ex+ex），其定义域为x|x0，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限先减后增，D选项符合；当a为负奇数时，f（x）xa（ex+ex），其定义域为x|x0，f（x）为奇函数，不经过原点且在第一象限先减后增，没有选项符合，综合可得：D可能是函数f（x）xa（ex+ex）（aZ）的图象；故选：D【点睛】本题考查函数图象的判定，注意讨论a的取值情况，属于基础题对于已知函数表达式确定函数的图像的题目，一般是通过解析式得到函数的定义域和值域，或者函数的奇偶性等性质，进而对图像进行排除.12.已知直线：交双曲线：于，两点，过作直线的垂线交双曲线于点若，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】联立直线xy和双曲线方程可得A，B的坐标，以及|AB|，直角三角形的性质可得|AC|AB|，设出直线AC的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C的横坐标，由弦长公式，化简计算可得ab，进而得到所求离心率【详解】联立直线xy和双曲线方程可得x2，y2，可设A（，），可得|AB|2|OA|，在直角三角形ABC中，ABC60，可得|AC|AB|，设直线AC的方程为yx，代入双曲线方程可得（b23a2）x2xa2b20，可得xC，即有|xCxA|，可得|AC|2，即为a2+b2|b23a2|，可得ab，e故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于综合题求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).二、填空题13.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点,则=_【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义，求出sin，利用二倍角公式可得cos2的值【详解】由三角函数的定义，r，可得：sin，可得：cos212sin212（）2故答案为：【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题14.在矩形中，点在边上若，则的值是_【答案】【解析】【分析】由平面向量数量积的运算得：|cosFAB|3，即|，即|，即|，得解【详解】因为，所以|cosFAB|3，所以|，所以|，所以|，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题15.已知正三棱锥每个顶点都在球的球面上，球心在正三棱锥的内部球的半径为，且若过作球的截面，所得圆周长的最大值是，则该三棱锥的侧面积为_【答案】【解析】【分析】依题意，该球的大圆的周长为8，可得R4， BC=6设底面BCD的中心为E，连接BE并延长交CD于F，求得BE，EF，在三角形OBE中应用勾股定理得到OE可得三棱锥的高AEAO+OE所以由勾股定理得到三棱锥的斜高AF 求侧面积即可【详解】依题意，该球的大圆的周长为8，所以2R8，得R4，如图，正三棱锥ABCD中，设底面三角形BCD的中心为E，则AE平面BCD，设F为CD的中点，连接BF，AF，则E是BF的三等分点，且AF是三棱锥的侧面ACD的斜高根据正三棱锥的对称性，球心O在AE上所以BC6则BE2EF，又因为三角形OBE为直角三角形，所以OE2所以三棱锥的高AEAO+OE4+26所以三棱锥的斜高AF该三棱锥的侧面积为S侧339故填：【点睛】本题考查了正三棱锥的结构特征，正三棱锥的外接球，考查空间想象能力与计算能力，是中档题16.已知函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意可得，且，由于，所以当时，函数在上单调递增，则，所以，故，即，应填答案。点睛：解答本题的关键是借助等价转化的数学思想，先将问题等价转化为求函数在区间的最大值和最小值的问题。然后运用导数的知识先求函数的导数，在借助函数的单调性求出其最大值和最小值，从而使得问题获解。三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17.已知数列的前项和，的最小值为（1）确定的值，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用数列和的最值求出k，利用，求通项公式即可;（2）推出，然后求解T2n+1【详解】（1）由已知得 因为，当n=k时，故；所以.因为，所以， 得.当时，,综上，. （2）依题意，, 所以【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出作差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。18.如图,四棱锥中，（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算BC，根据勾股定理可得BCBD，结合BCPD得出BC平面PBD，于是平面PBD平面PBC；（2）建立空间坐标系，设，计算平面ABM和平面PBD的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于，解方程得出的值,即可得解【详解】（1）证明：因四边形为直角梯形，且, ,所以， 又因为。根据余弦定理得 所以，故. 又因为, ,且,平面，所以平面， 又因平面PBC，所以（2）由（1）得平面平面, 设为的中点，连结 ，因为,所以,又平面平面，平面平面，平面.如图，以为原点分别以，和垂直平面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则， 假设存在满足要求，设，即，所以易得平面的一个法向量为. 设为平面的一个法向量， 由得，不妨取.因为平面与平面所成的锐二面角为，所以，解得，（不合题意舍去）.故存在点满足条件，且.【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。19.绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额分组如下：，得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）（2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人” 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？水果达人非水果达人合计男10女30合计（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案附：参考公式和数据：，.临界值表：2.0722.7063.8416.6357.8790.1500.1000.0500.0100.005【答案】（1）62元 （2）见解析（3）方案二更划算【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数即可；（2）根据题意补充列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；（3）分别计算选方案一、方案二所支付的款数，比较它们的大小即可【详解】（1）估计今年7月份游客人均购买水果的金额为元 （2）列联表如下：水果达人非水果达人合计男104050女203050合计3070100,因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系 （3）若选方案一：则需付款元；若选方案二：设付款元，则可能取值为，96， ， ，所以 因为，所以选择方案二更划算【点睛】本题主要考查了频率分布直方图、平均数、独立性检验及数学期望等基础知识，也考查了运算求解能力、数据处理能力、应用意识，是中档题条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.20.已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出AB，得到a，然后求解b，即可得到椭圆方程;（2）当直线AB的斜率不存在时，求解三角形面积，设直线CD的方程为yk（x+2）（k0）由消去y整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k280，0，设C（x1，y1），D（x2，y2），利用弦长公式求解CD，然后求解三角形面积，推出范围即可【详解】（1）当点的坐标为时，所以由对称性，所以，得将点代入椭圆方程 中，解得， 所以椭圆方程为.（2）当直线的斜率不存在时，此时 当直线的斜率存在时，设直线的方程为由消去整理得： 显然，设，则 故 因为，所以，所以点到直线的距离即为点到直线的距离，所以，因为，所以，所以综上，【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.已知函数函数恰有两个零点和（1）求函数的值域和实数的最小值；（2）若，且恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据分段函数的值域可得f（x）的值域;（2）构造函数，利用导数判断单调性得到最值可得【详解】（1）当时，. 当时，.的值域为 令，.又的单调减区间为，增区间为. 设，且，无解.从而要有两个不同的根，应满足，. .即的最小值为.(2) 有两个零点、且，设，.，.对恒成立设，.，恒成立.当，即时，在上单调递增.成立. 当时，设.由.，使得.且当时，时，当时，单调递减，此时不符合题意.综上，.【点睛】本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，