福建省龙海第二中学学年高二数学下学期期末考试试题理 (1)

龙海二中2018-2019学年第二学期期末考高二数学（理）试题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得集合中一元二次不等式的解集.然后对四个选项进行分析判断，由此得出正确选项.【详解】由(x2)(x1)0，解得2x1，所以Bx|2x2，UBx|x1或x2，AUB，UAx|x1，BUA，故选A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集、并集、补集和子集的概念，属于基础题.2.函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据求具体函数的基本原则：分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数中真数为正数列不等式解出的取值范围，即为函数的定义域。【详解】由题意可得，即，解得，因此，函数的定义域为，故选：D.【点睛】本题考查具体函数的定义域的求解，求解原则如下：（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数非负；（3）对数中真数大于零，底数大于零且不为；（4）正切函数中，；（5）求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.3.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用中间值来比较大小，得知，再用换底公式以及不等式性质可得出、的大小关系，从而得出三个数的大小关系。【详解】由于函数在定义域上是增函数，则，由于函数在定义域上也是增函数，则，函数在定义域上是增函数，则，由换底公式得，且，故选：A.【点睛】本题考查指对数混合比大小，考查指数函数和对数函数单调性的应用，解这类问题常用中间值、建立桥梁得出三个数的大小关系，但中间值不唯一，需要结合具体事例来确定，考查分析问题的能力，属于中等题。4.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，则（ ）A. 2B. 4C. -2D. -4【答案】C【解析】【分析】先求出的值，再由函数的奇偶性得出可得出结果。【详解】由题意可得，由于函数是定义在上的奇函数，所以，故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，求函数值时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题。5.已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）A. 和B. 和C. 和D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间【详解】函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x或x2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，)故选：C【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题6.下列命题是真命题的是（ ）A. ，B. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件C. “”是“”充分不必要条件D. 的充要条件是【答案】B【解析】【分析】取特殊值来判断A选项中命题的正误，取特殊数列来判断B选项中命题的正误，求出不等式，利用集合包含关系来判断C选项命题的正误，取特殊向量来说明D选项中命题的正误。【详解】对于A选项，当时，所以，A选项中的命题错误；对于B选项，若，则等比数列的公比为，但数列是递减数列，若，等比数列是递增数列，公比为，所以，“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，B选项中的命题正确；对于C选项，解不等式，得或，由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，C选项中的命题错误；对于D选项，当时，但与不一定垂直，所以，D选项中的命题错误。故选：B.7.已知直线与曲线相切，则实数k的值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】由得，设切点为，则，对比，故选D.8.定义在上的奇函数满足，当时，则在区间上是()A. 增函数且B. 增函数且C. 减函数且D. 减函数且【答案】B【解析】【分析】先利用函数奇偶性求出函数在上的解析式，然后利用周期性求出函数在上的解析式，结合解析式对其单调性以及函数值符号下结论。【详解】设，则，由于函数为上的奇函数，则，当时，则.所以，函数在上是增函数，且当时，故选：B.【点睛】本题考查函数单调性与函数值符号的判断，解决函数问题关键在于求出函数的解析式，本题的核心在于利用奇偶性与周期性求出函数的解析式，属于中等题。9.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】考查函数的定义域、奇偶性，以及该函数在上的函数值符号可得出图象。【详解】由，得，函数的定义域为，排除D选项；，该函数为偶函数，排除C选项；，排除B选项，故选：A.【点睛】本题考查利用函数图象的辨别，对于这类问题，一般要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，利用这些要素对函数图象进行排除来得出正确的选项，考查分析问题的能力，属于中等题。10.若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A. 15B. 16C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】根据伙伴关系集合的概念可知：1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由1,1,3和，2和这“四大”元素所组成的集合的非空子集所以满足条件的集合的个数为24115.故选A.【点睛】本小题主要考查新定义概念理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题.11.已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的解析式，并求出零点、关于的表达式，令，知，并构造函数，利用导数求出函数在上的值域，即可作出的取值范围。【详解】因为函数，所以，由，得，由，得，设，则，所以，设，则，即函数在上是减函数，故选：B.【点睛】本题考查函数零点积的取值范围，对于这类问题就是要利用函数的解析式求出函数零点的表达式，并构造函数，利用导数来求出其范围，难点在于构造函数，考查分析问题的能力，属于难题。12.对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先得出函数f（x）ex1+x2的零点为x1再设g（x）x2axa+3的零点为，根据函数f（x）ex1+x2与g（x）x2axa+3互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1|1，从而得出g（x）x2axa+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可【详解】函数f（x）ex1+x2的零点为x1设g（x）x2axa+3的零点为，若函数f（x）ex1+x2与g（x）x2axa+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1|1，02，如图由于g（x）x2axa+3必过点A（1，4），故要使其零点在区间0，2上，则或，解得2a3，故选：D【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用二、填空题.13.已知，则=_.【答案】-2【解析】试题分析：把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f（2）可求解：由f（x）=x2+3xf（2），得：f（x）=2x+3f（2），所以，f（2）=22+3f（2），所以，f（2）=2故答案为：2考点：导数的运算14.已知函数，则=_.【答案】8【解析】 ，所以 点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.15.李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为， (其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为_元【答案】33000【解析】【分析】设其中一家连锁店销售辆，则另一家销售辆，再列出总利润的表达式，是一个关于的二次函数，再利用二次函数的性质求出它的最大值即可。【详解】依题意，可设甲这一家销售了辆电动车，则乙这家销售了辆电动车，总总利润，所以，当时，取得最大值，且，故答案为：.【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查二次函数最值等基础知识，解题的关键在于确定函数的解析式，考查学生的应用能力，属于中等题。16.已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是减函数；函数没有最小值；函数在处取得最大值；的图象关于直线对称其中正确的序号是_【答案】【解析】【分析】先利用题中等式推出，进一步推出，得知该函数是周期为的周期函数，作出满足条件的图像可得出答案。【详解】因为，所以，所以，所以，即函数是周期为4的周期函数由题意知，函数关于点对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知正确故答案为：.【点睛】本题考查抽象函数的相关问题，解题的关键在于充分利用题中等式进行推导，进一步得出函数的单调性、周期性、对称性等相关性质，必要时结合图象来考查。三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数 (其中a，b为常数，且，)的图象经过点，。(1)求的解析式；(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围。【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）把点代入函数的解析式求出的值，即可求得的解析式（2）由（1）知在上恒成立，设，利用g（x）在上是减函数，能求出实数m的最大值试题解析：(1)由题意得(2)设在上是减函数在上的最小值因为在上恒成立即得所以实数的取值范围.考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法18.已知函数(1)求函数的解析式;(2)解关于的不等式。【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）令，得，求出的范围，得出的范围，再将代入题中函数解析式即可得出函数的解析式与定义域；（2）将所求不等式转化为，然后解出该不等式组即可得出答案。【详解】（1）令，则，由题意知，即，则。所以，故。（2）由，得。由，得，因，所以，由，得，即，解得或.又，所以或.故不等式的解集为.【点睛】本题第（1）问考查函数解析式的求解，对于简单复合函数解析式的求解，常用换元法，但要注意新元的取值范围作为定义域，第（2）问考查对数不等式的解法，一般要转化为同底数对数来处理，借助对数函数的单调性求解，同时也要注意真数大于零这个隐含条件。19.已知函数。(1)解不等式；(2)记函数的值域为M，若，证明：。【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得最小值，即得值域为，再作差并因式分解，根据各因子符号确定差的符号即得结果.【详解】（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，.原不等式等价于.， . .【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向20.已知的极坐标方程为，,分别为在直角坐标系中与轴，轴的交点曲线的参数方程为（为参数，且），为,的中点（1）将，化为普通方程；（2）求直线（为坐标原点）被曲线所截得弦长【答案】(1) ：； (2) 【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程利用两角差的余弦公式展开，利用将曲线的极坐标方程化为普通方程，在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程；（2）求出点的坐标，可得出直线的方程，再将直线的方程与曲线的普通方程联立，求出交点、的坐标，再利用两点间的距离公式可得出.【详解】（1）的极坐标方程为，即，化为普通方程是：； 曲线的参数方程为消去参数t得：普通方程：（2）因为，所以直线设直线与交于A，B两点，直线与联立得：，所以.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考查直线截二次曲线所得弦长的计算，可以利用直线参数方程的几何意义，也可以利用弦长公式来计算，都是常考题型，考查计算能力，属于中等题。21.已知函数，其导函数的两个零点为和.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）求函数的单调区间；（III）求函数在区间上的最值.【答案】（I）；（II）增区间是，减区间是；（III）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足，解方程组求出m,n；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1),求出切点，再求得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.试题解析：（1），由知，解得从而，.所以，曲线在点处的切线方程为，即，（2）由于，当变化时，的变化情况如下表：-30+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故的单调增区间是，单调递减区间是（-3,0）.（3）由于，所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1.22.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求的取值范围【答案】（1）详见解析（2）或【解析】分析】（1）将函数求导并化简，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）原不等式即（），当时，上述不等式显然成立.当时，将不等式变为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.【详解】解：（1） 若，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减若，当时，上单调递减； 当时，在上单调递增当时，在上单调