2014中考数学圆综合题(含答案) 2.doc

2013寒假班 周老师初三数学 圆 专题训练一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径， （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2012数学中考圆综合题1如图，ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，ACD=ABC（1）求证：CA是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tanABC=，tanAEC=，求圆的直径2如图，已知AB是O的弦，OB2，B30，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于O于点D，连接AD (1)弦长AB等于 （结果保留根号）； (2)当D20时，求BOD的度数； (3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程3. 如图右，已知直线PA交0于A、B两点，AE是0的直径点C为0上一点，且AC平分PAE，过C作CDPA，垂足为D。(1)求证：CD为0的切线；(2)若DC+DA=6，0的直径为l0，求AB的长度.1. (1)证明：连接OC,点C在0上，0A=OC,OCA=OAC，CDPA，CDA=90，有CAD+DCA=90，AC平分PAE，DAC=CAO。DC0=DCA+ACO=DCA+CAO=DCA+DAC=90。 又点C在O上，OC为0的半径，CD为0的切线(2)解：过0作0FAB，垂足为F，OCA=CDA=OFD=90，四边形OCDF为矩形，0C=FD，OF=CD.DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，O的直径为10，DF=OC=5，AF=5-x，在RtAOF中，由勾股定理得.即，化简得：解得或。由ADDF，知，故。从而AD=2, AF=5-2=3.OFAB，由垂径定理知，F为AB的中点，AB=2AF=6.4（已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD (1)如图，当PA的长度等于 时，PAB60； 当PA的长度等于 时，PAD是等腰三角形； (2)如图，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把PAD、PAB、PBC的面积分别记为S1、S2、S3坐标为（a，b），试求2 S1 S3S22的最大值，并求出此时a，b的值5.6.（11金华）如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作O，分别与EPF 的两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA/PE（1）求证：AP=AO；（2）若tanOPB=，求弦AB的长；PABCODEFG第21题图（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 . （1）PG平分EPF，DPO=BPO ， OA/PE，DPO=POA ， BPO=POA，PA=OA； 2分（2）过点O作OHAB于点H，则AH=HB=AB，1分HPABCODEFG tanOPB=，PH=2OH， 1分设OH=，则PH=2，由（1）可知PA=OA= 10 ，AH=PHPA=210， ， 1分解得（不合题意，舍去），AH=6， AB=2AH=12； 1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.7（芜湖市）（本小题满分12分）如图，BD是O的直径，OAOB，M是劣弧上一点，过点M点作O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点（1）求证：PMPN；（2）若BD4，PA AO，过点B作BCMP交O于C点，求BC的长8（黄冈市）（6分）如图，点P为ABC的内心，延长AP交ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足ADABAE，求证：DE是O的切线.（证明：连结DO，ADABAE，BADDAE，BADDAE，ADBE.又ADBACB，ACBE，BCDE，又ODBC，ODDE，故DE是O的切线）OBACEMD9（义乌市）如图，以线段为直径的交线段于点，点是的中点，交于点，（1）求的度数；（2）求证：BC是的切线； （3）求的长度（解：（1）BOE=60 A BOE 30 （2）在ABC中 C=601分 又A 30 ABC=902分 BC是的切线 （3）点M是的中点 OMAE在RtABC中 AB=6 OA= OD= MD=）10. （兰州市）（本题满分10分）如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，COB=2PCB. （1）求证：PC是O的切线； （2）求证：BC=AB； （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MNMC的值.解：（1）OA=OC,A=ACO COB=2A ,COB=2PCB A=ACO=PCB AB是O的直径 ACO+OCB=90 PCB+OCB=90,即OCCP OC是O的半径 PC是O的切线 （2）PC=AC A=P A=ACO=PCB=P COB=A+ACO,CBO=P+PCB CBO=COB BC=OC BC=AB (3)连接MA,MB 点M是弧AB的中点 弧AM=弧BM ACM=BCM ACM=ABM BCM=ABM BMC=BMN MBNMCB BM2=MCMN AB是O的直径，弧AM=弧BM AMB=90,AM=BM AB=4 BM= MCMN=BM2=8 11（本题满分14分）O2O1NMBA图（1）O2O1NMBA图（2）如图（1），两半径为的等圆和相交于两点，且过点过点作直线垂直于，分别交和于两点，连结（1）猜想点与有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想的形状，并给出证明；（3）如图（2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明4. （1）在上证明：过点，又的半径也是，点在上（2）是等边三角形 证明：，是的直径，是的直径，即，在上，在上 连结，则是的中位线，则是等边三角形 （3）仍然成立证明：由（2）得在中所对的圆周角为在中所对的圆周角为 当点在点的两侧时，在中所对的圆周角，在中所对的圆周角，是等边三角形 12如图12，已知：边长为1的圆内接正方形中，为边的中点，直线交圆于点（1）求弦的长（2）若是线段上一动点，当长为何值时，三角形与以为顶点的三角形相似BADEPC图121）如图1过点作于点在中，又的度数为 BADEPC5题图1FBADEPC5题图2QBADEPC5题图3（Q）（2）如图2当时有得：即点与点重合，如图3，当时，有得，即 当或时，三角形与以点为顶点的三角形相似 13.（本小题满分10分）如图，O是RtABC的外接圆，AB为直径，ABC=30，CD是O的切线，EDAB于F，第6题图ABDEOFC(1)判断DCE的形状；(2)设O的半径为1，且OF=，求证DCEOCB 6. 解：(1)ABC=30，BAC=60又OA=OC, AOC是正三角形又CD是切线，OCD=90，DCE=180-60-90=30而EDAB于F，CED=90-BAC=30故CDE为等腰三角形 (2)证明：在ABC中，AB=2，AC=AO=1，BC=OF=,AF=AO+OF=又AEF=30,AE=2AF=+1 CE=AE-AC=BC而OCB=ACB-ACO=90-60=30=ABC,故CDECOB.14（08湖北襄樊24题）8（本小题满分10分）如图14，直线经过上的点，并且，交直线于，连接（1）求证：直线是的切线；（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若，的半径为3，求的长（1）证明：如图3，连接 ， 是的切线 （2） 是直径， 又， 又， （3）， ，设，则 又， 解之，得， 15 如图14，直线经过上的点，并且，交直线于，连接（1）求证：直线是的切线；（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若，的半径为3，求的长4 解：（1）证明：如图3，连接 ，是的切线 （2） 是直径，又，又，（3），设，则又， 解之，得，5 O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作O的切线PE，E为切点，PEOD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K(5题)（1）求证：四边形OCPE是矩形；（2）求证：HKHG； （3）若EF2，FO1，求KE的长5 解：(1)ACBC，AB不是直径，ODAB，PCO90(1分)PEOD,P90，PE是切线，PEO90，(2分)四边形OCPE是矩形.(3分)(2)OGOD,OGDODG.PEOD,KODG.(4分)OGDHGK,KHGK,HKHG.(5分)(3)EF2，OF1,EODO3.(6分)PEOD，KEODOE，KODG.OFDEFK，(7分)EFOFKEOD21,KE6.(8分)6题6 如图，直角坐标系中，已知两点O(0,0) A(2,0)，点B在第一象限且OAB为正三角形，OAB的外接圆交轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交X轴于点D（1）求两点的坐标；（2）求直线的函数解析式；（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的