数学文化第五讲幻方PPT课件

1,.,数学文化的起源,幻方,2,.,一、幻方基本知识,1、从河洛文化说起,相传，在上古伏羲时代，洛阳东北孟津县境内的黄河里跃出一匹龙马，背上驮了一幅图，上面有黑白点55个，用直线连成10数献给伏羲。后人称之为河图，伏羲依此而演绎成八卦，后为周易来源。,3,.,又传，大禹治水时，有灵龟自洛水出，背上排列成“带九履一，左三右七，四二为肩，八六为足，五居中央”的图形，献给大禹，后人称之为洛书。大禹依此治水成功，遂划天下为九州。又依此定“九章大法”治理社会，流传下来收入尚书中，名为洪范。在中国历史中，,大禹的功劳极其巨大，因为他治水以后，中国九州才开始以农业立国。而他成功治水的智慧就来自“洛书”的启示。,4,.,（1）两图的结构对称。,（2）数的概念直接而又形象地包含在图书之中，其中由黑点构成的数为偶数，白点构成的数为奇数。,5,.,2、幻方,在一个方阵中，如果每行、每列以及对角线上自然数之和分别都等于某一个定值，则称此方阵为幻方。这个特定值称为幻和，每格内的自然数称为元素。幻方每边格数n称为幻方的阶。,如果每一对角线上的元素之和也都等于幻和，则称该方阵为完美幻方。幻方内元素全体的和称为幻方和。在幻方中所有与其中心对称的两元素的和如果都相等，则该幻方称为对称幻方。,6,.,二、妙趣横生的幻方,1、洛书图,7,.,2、九九图,我国宋朝数学家杨辉在续与摘奇算法中给出了一个9阶幻方。,8,.,该幻方中蕴含着许多奇特的性质,1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数之和都为82。注意12+92=82。,2、将幻方按图中粗线分为九块，即为九个三阶幻方。,9,.,10,.,该幻方中蕴含着许多奇特的性质,1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数之和都为82。注意12+92=82。,2、将幻方按图中粗线分为九块，即为九个三阶幻方。,3、若把上述九个三阶幻方的每个“幻和”值写在九宫中，又构成一个新的三阶幻方。并且幻方中的九个数分别是首项为111，末项为135，公差为3的等差数列。将这些数按大小顺序的序号写在九宫格中，它又恰好是“洛书”幻方。,11,.,12,.,（4）将幻方对角线上的数全部圈起来，再从外向里用方框框上，则每个“回”形上圈里的八个数字与中心数41又分别构成三阶幻方。,13,.,14,.,3、素数幻方,尾数全是9，幻和为1077。,尾数全是7，幻和为798。,15,.,4、黑洞数幻方,（1）该幻方中，4行4列4斜对角线及4副对角线上的4个四位数的和统统是6174。每一个田字格中的四数之和都是6174。若再有规律地截得的长方形、平行四边形、梯形等几何图形的4角中的四数之和也是6174。,（2）任何一个元素，通过一定的四则运算它们个个可以变成6174。,16,.,17,.,5、回文数幻方,该四阶完美幻方的幻和是13992。,18,.,6、马步幻方,19,.,20,.,21,.,7、方中含方,22,.,7、方中含方,23,.,7、方中含方,24,.,25,.,26,.,27,.,8、和、积幻方（也叫加乘幻方）,该幻方每一行和、列和，对角线和均为840；且每行积、每列积、对角积均为2058068231856000,28,.,该幻方每一行和、列和，对角线和均为2215；且每行积、每列积、对角积均为400617453604515840000,29,.,9、二次幻方,该幻方本身是一个幻方，同时幻方中各数的平方仍组成一个幻方。图中幻方幻和为20049.,30,.,10、雪花幻方（全对称幻方）,该幻方中的数字对称中心41等距离的两数之和相等；将幻方左边第一列移动到最右边。上面第一行移动到最下边所组成的图形仍是一个9阶幻方。,31,.,三、幻方的构造,1、杨辉与奇数阶幻方的构造方法,三阶幻方的构造方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。,32,.,类似可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方,33,.,类似可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方,34,.,类似可以构造5阶、7阶、9阶等奇数阶幻方,35,.,2、奇数阶幻方的罗伯构造,原理：1居首列正中央，下数依次左上放；左出格时右边写，上出格时下面填；遇到有数无处填，就在此数右邻放。,36,.,3、偶数阶幻方的海尔构造,根数：指在一个n阶幻方的构造过程中，数字k（k=1，2，3，n）的根数为n(k-1)。例如，在四阶幻方中，1的根数为0，3的根数为8；在10阶幻方中，3的根数为20。,37,.,以4阶幻方为例来说明：,（1）将1到4这4个数字分别从左到右（从小到大）填入方阵的两条对角线中，得方阵A。,（2）把A中每一行的空格中填入1到4在该行没有的数字（左大右小），使每行每列数字之和均为10，得方阵B,38,.,（3）把方阵B转置，即交换行列，得到方阵C，C中的数叫做原始数。,（4）把C中各原始数分别用其相应的根数替换，得方阵D。,39,.,（5）最后将B，D两方阵中对应数分别相加，便得到一个4阶幻方。,40,.,4、双偶阶幻方的构造,定义：在一个n阶幻方的构造过程中，数字k（k=1，2，3，n）的补数为n2+1-k.例如，在四阶幻方中，1的补数为16，3的补数为14。,41,.,以8阶幻方为例来说明双偶阶幻方的构造方法:,（1）将从1到82这64个自然数依次连续填入方阵各方格内。,42,.,（2）然后将两条对角线及方阵内与对角线平等间隔为两格的斜线上的数字分别替换为各自的补数，得到的方阵即是一个8阶幻方。,43,.,（2）然后将两条对角线及方阵内与对角线平等间隔为两格的斜线上的数字分别替换为各自的补数，得到的方阵即是一个8阶幻方。,44,.,四、幻方的应用,1、幻方在艺术等方面的应用,建筑学家索力拉东发现幻方的对称性相当丰富，他采用幻方组成许多美丽的图案，把幻方中的那些阵内的线条称为“魔线”，并应用于轻工业。封面包装设计中，加拿大滑铁卢大学的一位专家发现了幻方与“拉丁方”的内在联系，由于“拉丁方”在实验设计领域中有着无比的重要性，从而幻方原理成了正交试验设计的新思路。,45,.,2、幻方与科学技术,幻方在计算机、图论、实验统计等方面都有出色的应用。幻方因具有一种自然的属性，虽是数字关系，但往往抽象概括特别方便。当人们反复思考后，就可能对某个学科理论产生出灵感来，从而推动其发展。,在中国的传统文化中，我们能看到洛书运用于军事、中医、天文、气象等领域，大量的资料说明幻方与各种学科密切相关。如今，幻方在图论、人工智能、博弈论、组合分析、实验设计等方面有着广泛运用。幻方引出了电子方程式、自动控制论，从而促进了电子计算机的诞生。,46,.,1977年，人类向太空送去寻求太空理性生物的使者宇宙飞船旅行者一号，为了使语言不通的太空理性生物知道人类已高度了解宇宙的某些奥秘，特别是数的奥秘，飞船上载有一块永不生锈，极难变形的合金板，其上刻的就是一个4阶