数学危机的发生和重要意义(毕业论文).doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 数学危机的发生和重要意义数学危机的发生和重要意义 学生姓名 依比热依木 艾山江 学 号 20080102054 系 部 数学系 专 业 数学与应用数学 年 级 2008 年级 2 班 指导教师 杜刚老师 完成日期 年 月 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 中文摘要 三次数学危机实际上是西方数学发展过程矛盾斗争的结果 也能看出在西 方社会 数学文化的精神已经进入到西方社会 是普通民众的所具有的精神 一旦数学上问题与社会意识发生矛盾时 便会引起全社会的争论 进而产生了 危机 这些危机的解决是需要对数学的再认识 再理解 在数学内部用纯粹知 识就可解决 三次危机一方面促进了数学的发展 另一方面也展示了西方数学 在西方社会的文化地位 以及对西方人思维的影响 前者只需要数学发展历程 可看出 而后者是需要我们进一步仔细思考的内容 关键词 关键词 数学危机 危机的发生 危机的解决 危机的重要意义 Mathematics crises and important meaning Abstract Three mathematical crisis in fact is the western mathematics development process of the struggle contradictions result can also see that in western society the spirit of mathematical culture has entered the western society is ordinary people a spirit once the math problem and social consciousness is contradictory will cause the social debate which brings the crisis The crisis is needed to solve the recognition of mathematics and understand in mathematical internal use pure knowledge can be solved Three crisis on one hand promoted mathematics of development on the other hand also shows the western mathematics in western society culture status and the influence of the thinking of westerners The former only need math development can 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 be seen and the latter is we need to think carefully about further the content Key words Mathematical crisis Crises The solution of the crisis The significance of the crisis 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 目 录 中文摘要中文摘要 1 ABSTRACT 1 引言引言 2 1 1 第一次数学危机第一次数学危机 2 1 1 第一次数学危机的发生 2 1 2 第一次数学危机的解决 4 1 3 第一次数学危机的影响和重要意义 5 2 2 第二次数学危机第二次数学危机 7 2 1 第二次数学危机发生 7 2 2 第二次数学危机的解决 10 2 2 第二次数学危机的影响和重要意义 11 3 3 第三次数学危机第三次数学危机 12 3 1 第三次数学危机的产生 12 3 2 第三次数学危机的解决 14 3 2 第三次数学危机的影响和重要意义 16 参考文献参考文献 18 致谢致谢 18 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 引言 本文详细介绍了三次数学危机的来龙去脉 每一次数学危机用一节的篇幅 包括危机的引发 危机的解决 在解决过程中产生的各种数学成果以及危机解 决后产生的深远影响 读者通过本文可以充分了解危机对数学发展所起到的巨 大作用 又能对数学中欧几里得几何 无理数 微积分 集合论等的来龙去脉 获得更清晰的认识 并理解枝繁叶茂的数学大树是如何一步一步成长起来的 在整个数学发展过程中存在许多更为深刻的矛盾 有穷与无穷 连续与离散 乃至存在与结构 逻辑与直观 概念与计算等等 数学的发展史贯穿着矛盾的 斗争和解决 而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时 就会产生数学危机 1 第一次数学危机 1 11 1 第一次数学危机的发生第一次数学危机的发生 第一次危机发生在公元前 580 568 年之间的古希腊 那是的数学家毕达哥 拉斯建立了毕达哥拉斯派 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家和 哲学家 由毕达哥拉斯提出的著名命题 万物皆数 是该学派的哲学基础 而 一切数均可标成整数或整数之比 这是这一学派的数学信仰 但是人们对有 理数的认识还很有限 对于无理数的概念更是一无所知 毕达哥拉斯学派所说 的数 原来是指整数 他们不把分数看成一种数 而仅看作两个整数之比 他 们的错误的认为 宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比 然而 具有戏 剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却称了毕达哥拉斯学派学数学信 仰的 奠基人 关于第一次危机还有一个十分悲情著名的事件 他有一个学生西帕索斯绝顶聪明 毕达哥拉斯在许多场合都讲西帕索斯的 智慧超群 夸奖他的创新精神 为了摸清勾股数底子 毕达哥拉斯把筛选三元 数组的任务交给了西帕索斯 在研究过程中碰到了这样一个问题 正方形的变 长为 1 那么 对角线多少呢 西帕索斯用了很长的时间 发现对角线的长 既不是整数 也不是两个整数之比 于是他向毕达哥拉斯请教 西帕索斯思想清晰 敢于坚持真理的人 他没有被权威吓到 也没有被放 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 弃对的探究 一有机会就宣传这个无理数的存在 对此毕达哥拉斯坚持不住了 他认为西帕索斯反叛于毕达哥拉斯学派 最后把他残忍的扔进海里淹死了 这 就是数学史上著名的 第一次数学危机 然而 他发现边长相等的正方形其对角线长并不能整数或者整数之比表示 假设正方形边长为 1 并设其对角线长为 以勾股定理应有 即d 222 11d 那么 d 是多少呢 显然不是整数 那它必是两整数之比 西帕索斯 2 2d d 花了很长时间来寻找这两个整数之比 结果没有找着 反而找到了两数不可通 约性的证明 用反证法证明如下 设 两直角边为 则由勾股定Rt ABC ab 理有 已设将中的公约数约去 即已经互素 于是 为偶数 22 2ca ca和 a cc 为奇数 不妨令 则有 于是为偶数 这与前面已证 a2cm 2 2 22ma aa 互素矛盾 c 在这个模型中 一切事物的存在方式取决于数量及其几何形状 都是由点 或最小的存在单元按照相应的各种几何形象组合而成的 他指出 万物的本 源是一 从一生产出二 二是属于一的不定的质料 一则是原因 从完满的一 与不定的二中生产出各种数目 从数产生出点 从点产生出线 从线产生出面 既然数学是万物的基础和本质 那么数是什么呢 在毕达哥拉斯看来 数 就是整数或整数之比 用整数之比表达的比称可公度比 以及相比两量可用公 共量单位量尽 确切的说 无理数的发现导致了毕达哥拉斯关于信条的破产 并进一步导致了毕达哥拉斯以数为基础的宇宙模型的破产 从数学上讲 有理数和无理数都是无穷多个的 当代数学家把无穷集合中 元素个数称为基数 若一个集合元素个数和整数集合的元素个数相同则成为可 数集合 若一个几何元素个数和全体实数的个数相同则成为不可数集 显然不 可数无穷集合的元素个数远远多于可数无穷集合的个数 但是现在数学已经证 明有理数集合只是一个可数无穷集 在整个实数集里面有理数只占了很少的一 部分 而广大的无理数才占据了大多数席次 在毕达哥拉斯的时代科学家或者 哲学家门仅仅 猜到 了无穷宇宙中的一个很少的部分并没有对众多的无理数 做合理的解释 而正是无理数的出现导致了危机的出现 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 1 21 2 第一次数学危机的解决第一次数学危机的解决 数学的第一次危机的解决大约在公元前 370 年 才华横溢的希腊数学家毕 达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏拉图给出两个相等的定义从而消除 了这次危机 他们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关 其实这也是自然 的 因为两个线段的比本来与第三条线段无关 毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边长的正方形的对角线的长度本能 用整数之比来表示的证明方法 证明过程如下 假设 是有理数 设 22 q p 1p qp q 是自然数 且 两边平方得 22 21pq 则必是两倍数 也是两倍数 2 q 2 q 1p q 为奇数p 2q q 是自然数 21ppp 是自然数 将上面两个式子代入得 1 22 2 212pq 即 2 2 2 4414ppq 两边除以 2 得 2 2 4412ppq 观察此式可看出等式左边为奇数 右边为偶数 这样出现奇数等于偶数 引出矛盾 故是无理数 目前 证明是无理数的方法很多 无论是用初22 等数学知识还是高等数学知识都可以证明是无理数 2 数 并且可以从不同的角度来加以证明 例如 从无理数被发现的角度 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 从方程的角度 从正整数标准分解式的角度 从数的进位制角度 从自然数公 里的角度等等 是无理数的种种证明 使我们对无理数有了进一步的认识 2 对数学中的美 对各种丰富的数学思想方法有更深刻的感受 这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决 两个几何线段 如果存在一个第三线段能同时量尽它们 就称这两个线段是可通约的 否则称 为不可通约的 正方形的一边与对角线 就不存在能同时量尽的它们的第三线 段 因此它们是不可通约的 很显然 只要承认不可通约量的存在使几何量不 再受整数的限制 所谓数学危机就不复存在了 不可通约量的研究开始于公元 前 4 世纪的欧多克斯 其成果被欧几里得所吸收 部分被收入他的 几何原本 中 1 31 3 第一次数学危机的影响和重要意义第一次数学危机的影响和重要意义 毕达哥拉斯悖论的出现 对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击 数即万物 的世界观被极大的动摇了 有理数的尊崇地位也受到了挑战 因此也影响到了 整个数学的基础 使数学界产生了极度的思维混乱 历史上成为第一次数学危 机 从第一次数学危机的历史论述中可知 哲学 逻辑和数学之间有紧密的联 系 正确的哲学思想对数学的发展具有十分重要的指导意义 此外 哲学与逻 辑也必须不断总结数学的新成果来发展自己 这两方面的关系是不能偏废的 否则就会使人类的知识出现不必要的曲折和危机 数学的第一次危机的实质主 要在于数学家思维囿于错误的哲学思想 即主要在于数学家的思维被错误哲学 思想支配了 本来就是一个数 但它的发现结果反而导致了数学的危机 并2 成了数即万物 而数 又只能是整数或者整数之比这种错误哲学观点的牺牲 品 二百年后 大约在公元前 370 年 才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的 比理论 他本人著作已失传 他的成果被呆存在欧几里德 几何原本 一书第 五篇中 欧多克索的巧妙方法可以避免无理数这一 逻辑上丑闻 并保留住与 之相关的一些结论 从而解决了由无理数出现而引起的数学危机 但欧多克索 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 的解决方式 是借助几何方法 通过避免直接出现无理数而实现的 这就生硬 地把数和量肢解开来 在这种方案下 对无理数的使用只有在几何中是允许的 合法的 在代数中就是非法的 不合逻辑的 或者说无理数只当作是附在几何 上的单纯符号 而不被当作真正的数 一直到 18 世纪 当数学家证明了基本常 数如圆周率是无理数时 拥护无理数存在的人才多起来 到十九世纪下半叶 现在意义上的实数理论建立起来后 无理数本质被彻底高清 无理数在数学园 地中真正扎下了根 无理数在数学中合法地位的确立 一方面使人类对数的认 识从有理数拓展到实数 另一方面也真正彻底 圆满的解决了第一次数学危机 第一次数学危机的影响巨大的 它极大的推动了数学及其相关科学的发展 首先 第一次数学危机让人们认识到了无理数的存在 无理数从此诞生了 之 后 许多数学家正式研究了无理数 给出了无理数的严格定义 提出了一个含 有有理数和无理数的新的数类 并建立了完整的实数理论 为数学分析的发展 奠定了基础 再者 第一次数学危机表明 直觉和经验不一定靠得住 推理证 明才是可靠的 从此希腊人开始重视演绎推理 并由此建立了集合公里体系 欧氏几何就是人们为了消除矛盾 解除危机 在这个时候应运而生的 第一次 数学危机 极大地促进了几何学的发展 使几何学在此后两千年间成为几乎是全 部严密数学的基础 这不能不说是数学思想史上的一次据大革命 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 2 第二次数学危机 2 12 1 第二次数学危机发生第二次数学危机发生 这次数学危机的萌芽出现在大约公元前 450 年 从历史或逻辑观点来看 这次危机的发生带有必然性 芝诺悖论的提出可能有更深的背景 不一定是专门针对数学的 但是它们 在数学王国中却激起了一场轩然大波 它们说明了希腊人已经看到 无穷小 与 很小很小 的矛盾 但他们无法解决这些矛盾 其后果是 希腊证明几何 中从此就排除了无穷小 经过许多人多年的努力 终于在 17 世纪晚期 形成了无穷小演算 微积分 这门科学 牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者 他们的功绩主要在于 把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法 有明确的计算步骤 微分法和 积分法互为逆运算 由于运算的完整性和应用的广泛性 微积分成为解决问题 的重要工具 同时 关于微积分基础的问题也是越来越严重 求速度为例 瞬时速度是 当趋近于零的值 是零 是很少的量 还是v 什么东西 无穷小量究竟是不是零 无穷小及其分析是否合理 由此而引起了 数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论 造成第二次动摇数序理论基础的危 机 无穷小量究竟是不是零 两种答案都会导致矛盾 牛顿对它曾作过三种不 同解释 1669 年说它是一种常量 1671 年又说它是一个趋于零的变量 1676 年又说它是 两个正在消逝的量的最终比 但是 他始终无法解决上述矛盾 莱布尼兹试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量 当时一些数学家和其他学者 也批评过微积分的一些问题 指出其缺乏必 要的逻辑基础 在那个勇于创造时代的初期 科学中 逻辑中存在这样那样的 问题 并不是个别现象 莱布尼兹在研究级教时 也认为格拉弟的结论 1 1 1 1 1 2 是正确的 并解释说 这就像一件东西 今天放在这个人处 明天放在那 个人处 于是相当一人一生 对于无穷级数来说 有些运算律并非都可以用 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 而要看条件 例如 上面 对上面的级数 如果利用结合律 则有 1 1 1 11 11 10000 利用交换律和结合律 就有 1 1 1 11 11 11 1 11 11 11 1 1 0003 利用结合律和分配律 就有 1 1 1 111 11 11 001 由此可见 如果不顾条件的话 尽管是正确的定律的定律也会导出荒谬的 结果 18 世纪的数学思想的确是不严密的 直观的 他强调形式的计算而不管 基础的可靠 其中特别是 没有清楚的无穷小概念 从而导数 微分 积分等 概念不清楚 无穷大概念不清楚 所以说 第二次数学危机导源于微积分工具的使用 伴随着人们科学理论 与实践认识的提高 十七世纪几乎在同一时期 微积分这一锐利无比的数学工 具为牛顿 莱布尼兹各自独立发现 这一工具一问世 就显示出它的非凡能力 但是不管是牛顿 还是莱布尼兹所创立的微积分理论都不是严格的 两人的理 论都建立在无穷小分析之上 但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用 却是混乱的 因而 从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击 其中攻击 最猛烈的是英国大主教贝克莱 例如牛顿当时是这样的函数的导数的 n yx 然后用自变 2 12 1 2 nn nnn n n xxxn xxxxx 量的增量除以函数的增量 得 x y 21 12 1 2 n n nn nn xxx n ny n xxxn xxx xx 最后扔掉其中含有无穷小量的的项 即得到函数的导数为 x n yx 1n ynx 对于牛顿对导数求导过程的论述 哲学家贝克莱很快发现了其中的问题 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 他一针见血的指出 先用为除以 说明不等于零 然后又扔掉含有x y x 的项 则又说明等于零 这岂不是自相矛盾吗 因此贝克莱嘲弄无穷小x x 是 逝去的量的灵魂 他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果 说 微积分的推到是 分明的诡辩 第二次数学危机导源于微积分工具的使用 数学先驱们的努力建立起来了 微积分基础 然而还有一步最关键的工作有待完成 正如莱布尼茨后来所说的 在这样的科学成就后 所缺少的只是引出问题的迷宫的一条线 即依照代数 样式的解析计算法 这一步就是 以一般形式建立起新计算方法的基本概念及 相互联系 创立一套一般的符号体系 建立正规的程序或算法 而完成这一步 绝非易事 世纪晚期 两位科学巨匠牛顿和莱布尼茨几乎同时再这一关键 工作上取得重大进展 但是不管是牛顿的流数论 还是莱布尼兹所创立的微积 分理论 在创立之初都是不严格的 两人的理论都建立在无穷小分析之上 但 他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的 因而 从微积分诞 生时就遭到了一些人的反对与攻击 其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱 1734 年 贝克莱以 渺小的哲学家 之名出版了一本标题很长的书 分析 学家 或一篇致一位不信神数学家的论文 其中审查一下近代分析学的对象 原则及论断是不是比宗教的神秘 信仰的要点有更清晰的表达 或更明显的推 理 在这本书中 贝克莱对牛顿的流数理论进行了攻击 例如他指责牛顿 为 计算比如说的导数 先将取一个不为 0 的增量 由 得到 2 xxx 2 2 xxx 后再被除 得到 最后突然令 求得导数为 2 2x xx x 2xx 0 x 2x 这是 依靠双重错误得到了不科学却正确的结果 瞪着眼睛说瞎话 是 分 明的诡辩 因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零 一会儿又说不是零 因此 贝克莱嘲笑无穷小量是 已死量的幽灵 贝克莱的攻击虽说出自维护神 学的目的 但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷 是切中要害的 同时贝克莱还 指出莱布尼茨的微积分理论中 忽略高阶无穷小消除误差 的做法所得相互的 结论 是从错误的原理出发通过 错误的抵消 获得的等等 无穷级数到底等于什么 1 1 1 1 1S 当时人们认为一方面 另一方面 1 11 10S 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 再有就是 所 11 11 11S 11 1 1 1 11SS 以 那么岂非这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解 甚 1 2 S 1 01 2 至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误 他在得到 后 令 得出 23 1 1 1 n xxxx x 1x 1 1 1 1 1 1 2 s 令 得出2x 1 1248 161 1 2 而这样的荒谬结果欧拉居然也接受了 不仅如此 格兰弟还发现了更有趣 的结论 3467 2 1 1 1 xxxxx xx 令 得到 用这种方法还可以得到没有定值 1x 1 3 s 1 1 4 5 s 由此一例 即不难看出当时数学中出现的混乱局面了 消除不谐和音 把 分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务 到十九世纪 批判 系统化和严密论证的必要时期降临了 2 22 2 第二次数学危机的解决第二次数学危机的解决 对于牛顿对导数求导过程的论述 哲学家贝克莱很快发现了其中的问题 他一针见血的指出 先用为除数除以 说明不等于零 而后又扔掉含x y x 有的项 则又说明等于零 这不就是自相矛盾吗 因此贝克莱嘲弄无穷x x 小是 逝去的量的鬼魂 他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果 说微积分的推导是 分明的诡辩 直到 19 世纪 柯西详细而有系统地发展了极限理论 柯西认为把无穷小量 作为确定的量 即使是零 都说不过去 它会与极限的定义发生矛盾 无穷小 量应该是要怎样小就怎样小的量 因此本质上它是变量 而且是以零为极限的 量 至此柯西澄清了前人的无穷小的概念 另外创立了 极限理论 加Weistrass 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 上实数理论 集合论的建立 从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来 第二次数学危机基本解决 而我自己的理解是一个无穷小量 是不是零要看它 是运动的还是静止的 如果是静止的 我们当然认为它可以看为零 如果是运 动的 比如说 我们说 但个相乘就为 1 这就不是无穷小量了 当我 1 n n 1 n 们遇到无穷小量等情况时 我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限 也可 以用展式展开后 一阶一阶的比 我们总会在有限阶比出大小 Taylor 2 22 2 第二次数学危机的影响和重要意义第二次数学危机的影响和重要意义 第二次数学危机的出现 迫使数学家们不得不认真对待无穷小量 为了x 克服由此引起思维上的混乱 解决这一危机 无数人投入大量的劳动 在初期 经过欧拉 拉格朗日等人的努力 微积分取得了一些进展 从 19 世纪开始为彻 底解决微积分的基础问题 柯西 外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格 化工作 微积分内在的根本矛盾 就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷 小 从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质 在解决使无穷小数学化的问 题上 出现了罗比达公理 一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量 则可认为它保持不变 而柯西采用的方法刻画无穷小 把无穷小定义为以 0 为极限的变量 沿用到今 无穷小被极限代替了 后来外尔斯特拉斯又把它 明确化 给出了极限的严格定义 建立了极限理论 这样就使微积分建立在极 限基础之上了 极限的定义就是用静态的刻画动态极限 用有限量来 描述无限性过程 它是从有限到无限的桥梁和路标 它表现了有限与无限的关 系 使微积分朝科学化 数学化前进了一大步 极限理论的建立加速了微积分 的发展 它不仅在数学上 而且在认识论上也有重大的意义 后来在考查极限 理论的基础中 经过代德金 康托尔 海涅 外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努 力 产生了实数理论 在考查实数理论的基础时 康托尔又创立了集合论 这 样有了极限理论 实数理论和集合论三大理论后 微积分才算建立在比较稳固 和完美的基础之上了 从而结束了二百多年的纷乱争论局面 进而开辟了下一 个世纪的函数论的发展道路 第二次数学危机由人们对无穷量的探索而起 而贝克莱悖论是这一危机的 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 12 直接导火索 这一危机的产生 发展和解决造就了 18 世纪分析学的辉煌 18 世纪因而被称为 分析时代 一代代数学先驱为将数学分析建立在严格坚实的 基础之上而不懈奋斗 直到 1889 年 皮亚诺给出了举世闻名的自然数公理 建 立起自然数的皮亚诺公理系统 在自然数公理的基础上简明扼要地建立起了自 然数系 数学分析基础依赖于使数 实数依赖于有理数 而有理数最终依赖于 自然数 一旦对自然数的逻辑处理完之后 家里实数的基本问题也就宣告完备 了 再经过这样自上而下既有趣又耐人寻味的基础重建工程后 数学分析完全 建立在实数理论基础之上了 于是 随着分析的算术化 建立在十数理论之上 的微积分理论有了严格的基础 微积分学无论在基本概念 还是逻辑严密性 形式严谨性上 都有如欧几里得几何学一般的令人惊叹 然而 良日总是苦短 不久后 数学家们就只能以向往的心情回顾这段短暂 的数学天堂岁月了 新的转折来自在分析严格化过程中产生的一个新的数学领 域 集合论 3 第三次数学危机 3 13 1 第三次数学危机的产生第三次数学危机的产生 十九世纪下半叶 康托尔创立了著名的集合论 在集合论刚产生时 曾遭 到许多人的猛烈攻击 但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了 并且 获得广泛而高度的赞誉 数学家们发现 从自然数与康托尔集合论出发可建立 起整个数学大厦 1900 年 国际数学家大会上 法国著名数学家庞加莱就曾兴 高采烈地宣称 借助集合论概念 我们可以建造整个数学大厦 今 天 我们可以说绝对的严格性已经达到了 可是 好景不长 1903 年 一个震惊数学界的消息传出 集合论是有漏洞 的 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论 罗素构造了一个集合由一切不是自身元素的集合所组成 然后罗素问 S S 是否属于呢 根据排中律 一个元素或者属于某个集合 或者不属于某个SS 集合 因此 对于一个给定的集合 问是否属于它自己是有意义的 但对这个 看似合理的问题的回答却会陷入两难境地 如果属于 根据的定义 就SSSS 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 13 不属于 反之 如果不属于 同样根据定义 就属于 无论如何都是SSSSS 矛盾的 其实 在罗素之前集合论中就已经发现了悖论 如 1897 年 布拉利和福尔 蒂提出了最大序数悖论 1899 年 康托尔自己发现了最大基数悖论 但是 由 于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论 所以只是在数学界揭起了一点小 涟漪 未能引起大的注意 罗素悖论则不同 它非常浅显易懂 而且所涉及的 只是集合论中最基本的东西 所以 罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑 学界内引起了极大震动 如 弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说 G 一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时 其基 础崩溃了 罗素先生的一封信正好把我置于这个境地 戴德金也因此推迟了他 的 什么是数的本质和作用 一文的再版 可以说 这一悖论就象在平静的数 学水面上投下了一块巨石 而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机 西班牙的小镇塞维利亚有一个理发师 他有一条很特别的规定 只给那些不 给自己刮胡子的人刮胡子 但有一天 一个好事的人跑去问这个理发师一个问题 着实让他很为难 也暴 露了这个特别规定的矛盾 那个人的问题是 理发师先生 您给不给自己刮胡子呢 这让理发师不可避免地陷入了两难境地 如果他给自己刮胡子 他就是自己 刮胡子的人 按照他的规定 他不能给自己刮胡子 如果他不给自己刮胡子 他就 是不给自己刮胡子的人 按照他的规定 他就应该给自己刮胡子 不管怎样的推 论 理发师的做法都是自相矛盾的 这真是令人哭笑不得的结果 用集合语言将这个问题表述如下 以表示是其自身成员的集合的集合 M 表示不是其自身成员的集合的集合 然后问是否为它自身的成员 如果NN 是它自身的成员 则属于而不属于 也就是说不是它自身的成员 NNMNN 另一方面 如果不是它自身的成员 则属于而不属于 也就是说NNNM 是它自身的成员 无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论 这就是著名的N 罗素悖论 1919 年 罗素又给出了这个悖论的通俗形式 即前面所提到的理发 师悖论 十九世纪下半叶 康托尔创立了著名的集合论 先简单的介绍一下康托尔的集合论 康托尔是从研究 函数的三角级数表 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 14 达式的唯一性问题 的过程中 先是涉及无穷点集 随后一步步地发展出一般 集合概念 并把集合论发函称一门独立的学科 在这个过程中 康托尔展示了 他让世人惊异得想象力和创造力 在发现了无穷的存在后 从未有人试图再把 无穷加以区分 然而康托尔的集合论告诉我们 无穷是分等级的 譬如 有理 数集合无理数集都是无穷集合 然而有理数集是可数集 无理数集是不可数集 而不可数集的级别要高于可数集 也就是说 无理数其实要比有理数多得多 这显然是与我们的常识相违背的 更加不可思议的发现接踵而至 就像是打开 了的潘多拉魔盒 康托尔证明了直线上的点与 维空间中的点存在一一对应关 系 继而又发现了无穷集可分为无穷多的层次 并对各种无穷大建立了一个完 整的序列 康托尔全然不顾众人的瞠目结舌 又发挥惊人的想象力从另一角度 创造了一种无限集的无穷谱集 康托尔为我们描绘出一幅无限王国的完整图景 在集合论刚产生时 曾遭到许多人的猛烈攻击 甚至康托尔的老师 著名 数学家克罗内克也认为康托尔的想法是极其荒谬的 是异想天开的 集合论颠 覆了人们 整体大于部分 等等的旧观念 超限等理论又十分抽象难以理解 且往往与直觉或常识相悖 所以不难想象 在当时 康托尔的集合论给了数学 家的心灵怎样的震撼与冲击 但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了 并且获得广泛而高度的赞誉 康托尔的集合论从本质上揭示了无穷的特性 使 人们对无穷的认识上升到一个新的层次 集合论给数学开辟了广阔的新领域 数学家们发现 从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦 严格的 分析基础被归结为实数理论 而实数理论又需要在自然数理论和集合论的基础 上发展起来 因而集合论成为现代数学的基石 一切数学成果可建立在集合论 基础上 这一发现使数学家们为之陶醉 1900 年 国际数学家大会上 法国著 名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称 借助集合论概念 我们可以建 造整个数学大厦 今天 我们可以说绝对的严格性已经达到了 可是 好景不长 1903 年 一个震惊数学界的消息传出 集合论是有漏洞 的 这就是英国数学家罗素提出的罗素悖论 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 15 3 23 2 第三次数学危机的解决第三次数学危机的解决 罗素的悖论发表之后 许多以前被看作消遣性智力游戏的古老悖论进入了 数学家们的视野 一连串的悖论相继提出并产生了第三次数学危机后 众多数 学家开始分析悖论产生之因 并寻求消除悖论的解决方案 当回顾这段历史时 我们不得不说 悖论的出现 尤其是引起普遍关注 实在是恰逢其时 设若早 几年出现这样的事情 康托尔的反对派手中将增添一件极具杀伤力的武器 康 托尔的集合论能否幸存下来都很难预料了 好在悖论出现在集合论已经赢得了 大量同盟军的时刻 在这种情况下 固然会有反对派借题发挥 要求取消集合 论 但是更多却站在保卫集合论的立场上 迅速投入到解决危机的工作之中 人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造 通过对集合定义加以限制来排 除悖论 这就需要建立新的原则 这些原则必须足够狭窄 以保证排除一切矛 盾 另一方面又必须充分广阔 使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存 下来 1908 年 策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系 他给出了 7 条公理 外延公理 对于两个集合和 若属于 且属于 则 STSTTSST 这就是说 每一个集合都是由它的元素所决定的 初等集合公理 存在一个没有元素的集合 并称它为空集合 对于对象 域中的任意元素 存在集合和 ab与 a a b 分离公理 假如对集合 命题函数p x 是确定的 那么就存在集合S T 它恰好只包含那些使得为真 xS p x 幂集合公理 如果S是一集合 则的幂集合仍然是一个集合 换言之 S 一集合的子集合仍然组成一集合 并集合公理 如果是一集合 则S的并仍然是一集合 S 选择公理 如果是不空集合的不交集合 那么存在的并的一子集合T它SS 与S的每一元素都恰好有一个公共元素 无穷公理 存在一集合 它含有空集合 并且对于任一对象 若 ZaaZ 则 策梅罗设计这一公理 是为了保证一个无限集是可以构造的 aZ 在策梅罗的这种处理下 集合论变成一个完全抽象的公理化理论 在这样一 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 16 个公理化的理论中 集合这个概念不加定义 它是满足上述 7 条公理的条件的 对象 后来经其他数学家改进 称为系统 这一公理化集合系统很大程度上ZF 弥补了康托尔朴素集合论的缺陷 除系统外 集合论的公理系统还有多种 ZF 如诺伊曼等人提出的系统等 公理化集合系统的建立 成功排除了集合论NBG 中出现的悖论 从而比较圆满地解决了第三次数学危机 但在另一方面 罗素 悖论对数学而言有着更为深刻的影响 它使得数学基础问题第一次以最迫切的 需要的姿态摆到数学家面前 导致了数学家对数学基础的研究 而这方面的进 一步发展又极其深刻地影响了整个数学 3 23 2 第三次数学危机的影响和重要意义第三次数学危机的影响和重要意义 从 20 世纪初到 30 年代 围绕着数学基础之争 形成了现代数学史上著名 的三大数学流派 逻辑主义 直觉主义和形式主义 这三大学派的争论 成为 数理逻辑发展的巨大推动力 逻辑主义的代表人物罗素 在于怀特海合作完成 的 数学原理 中 建立了一个完整的命题演算和谓词演算系统 由于弗雷格 罗素等逻辑主义者的努力 形式逻辑从传统路基到数理逻辑的发展基本实现了 而逻辑主义 代表另一个第一流的学术运动 是对于人类思想的力量和美妙的 巨大贡献 直觉主义否定了排中律 发展了自己的逻辑系统 形式主义者对数 理逻辑的发展起了更为洪要的作用 譬如形式主义的杰出人物希尔伯特 歌德 尔等 他们的努力使数理逻辑走上了全新的道路 1930 年后 数理逻辑进入一 个大发展的新阶段 作为者们数学分支成熟与蓬勃发展的标志 数理逻辑本身 又划分出证明轮 递归论 模型论 公理集合论等多个数学分支 然而 第三次数学危机的解决也留给数学家们一些令人困惑的问题 例如 在消除悖论时用到了重要的选择公理 然而用选择公理也可以证明出一些荒唐 的结论 且每一种选择都会导致以资额无法控制的后果 这种选择困难使数学 家在数学基础研究中陷入了新的困境 问题还在于无论如何选择都意味