福建省永春县2020学年高二数学上学期期末考试试题 理

福建省永春县2020学年高二数学上学期期末考试试题 理本试卷分第I卷和第II卷两部分第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上.1设集合，集合，则等于（ ）A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D.3. 已知命题：若，则；命题：若，则则下列命题为真命题的是（ ）A B C D4. 命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）A0 B1 C2D35. “双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知的内角所对的边分别为.若，则等于（ ）A B C或 D或7若满足，则的最大值为（ ）A. 0 B. 3 C. 4 D. 58空间四边形中，点在上，且，点为的中点若，则等于（ ）A B C D9. 已知分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上若，则的面积为（ ）A B C D10. 若为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ）11. 已知分别为椭圆的左，右焦点若为椭圆上的一点，且的内切圆的周长等于，则满足条件的点的个数为（ ）A0 B1 C2 D412在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢. 问：几日相逢？（ ）A8日 B9日 C12日 D16日第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，13. 双曲线的离心率为_ 14图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面m，水面宽m水位上升m后，水面宽_ m15在平行六面体中，则的长等于 16设的内角、所对的边、成等比数列，则的取值范围为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知等差数列的首项，公差，且成等比数列（）求数列的通项公式；（），求数列的的前项和为18（本小题满分12分）如图，在正方体中，分别是的中点（）求与所成角的余弦值；（）求证：平面.19（本小题满分12分）已知动圆过定点且与定直线：相切，动圆圆心的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）过点作倾斜角为的直线，交曲线于两点，求的面积20（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）求证：；（）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值.21（本小题满分12分）已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，点是的中点.（）若四边形是平行四边形，求点的轨迹方程；（）求的取值范围.22（本小题满分10分）已知函数（）解不等式；（），求证：永春一中高二数学（理）期末试卷 参考答案123456789101112ADCCADCBBBCB13. 14 15 16 17解：（）因为成等比数列，所以，即，数列的通项公式为（）由（）得，则，所以 ，18解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图所示则，.（）解：，.所以.因此，与所成角的余弦值是.（）证明：方法一：取的中点，连接，则，.所以，即，又平面，平面，因此平面.方法二：，即与，共面，又平面，因此平面.方法三：，设是平面的一个法向量，则，令，得，.又，故，所以.又平面，因此平面.19解：（）依题意知，点到定点和直线的距离相等，所以点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线的方程为（），由，得，故曲线的方程为（）直线的方程为，由消去整理得，设，则，所以，的面积为20（）证明：分别取，的中点，连接，由，得，因为侧面底面，侧面底面， 平面，所以底面.在矩形中，则两两互相垂直.以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示则，设（），所以，所以，因此，得（）解法一：，设是平面的一个法向量，则，令，得，又，因为与平面所成的角为，所以，设是平面的一个法向量，则，令，得，设是平面的一个法向量，则，令，得，所以因此，二面角的余弦值为.解法二：作，垂足为，连接，如图所示设，则，即，又，所以平面，为在平面上的射影，故是与平面所成的角，由，得，在中，则，为等边三角形，因此作，垂足为，连接.在中，故，故为二面角的平面角，.因此，二面角的余弦值为.21 解法一：（）设直线的方程为，由消去整理得，设，则，四边形是平行四边形，设，则，消去整理得，由，得，故点的轨迹方程为（）.（）不妨设，.设，.由，得，即的取值范围为