上海七宝中学高三数学上学期期中

上海市七宝中学2019届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1.集合的真子集有_个【答案】【解析】【分析】直接写出集合A的真子集即得解.【详解】集合A的真子集有，0，1，2018，0,1，0,2018，1,2018，所以集合A的真子集个数为7,故答案为：7【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.设全集，则图中阴影部分所表示的集合是_（用区间表示）【答案】【解析】【分析】先化简集合M和N，再求MN,再求即得阴影部分所表示的集合.【详解】由题得M=x|x2或x-x+1,再分1x2和0x1两种情况讨论恒成立问题，即得解.【详解】由题得|2x-a|-x+1,当1x2时，-x+10,所以不等式恒成立.当0x1时，-x+10，所以2x-a-x+1或2x-ax-1，所以a3x-1或ax+1在0,1上恒成立，所以a2,因为a0,综合得a2.故答案为：a2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10.已知常数，函数的图像经过点、，若，则_【答案】【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=16pq，所以：a2=16，由于a0，故：a=4故答案为：4【点睛】本题主要考查函数的性质和指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.11.已知函数，若，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】设g(x)=f(x)-3,再判断函数g(x)的奇偶性和单调性，再由得，再利用三角换元求的最大值.【详解】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=,所以所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，由题得，所以函数g（x）是减函数，因为，所以，所以g=0,所以g=g(1-,所以不妨设，所以=，所以的最大值为.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有三点，其一是构造函数g(x)得到函数g(x)的奇偶性和单调性，其二是由得，其三是利用三角换元求的最大值.12.已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图像，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围.【详解】当1x2时，f(x)=-x+2,当时，12x2，所以f(x)=,当时，2x1，所以f(x)=,当时，2x，所以f(x)=,当时，2x，所以f(x)=,所以函数的图像为：其图像为线段PA,EB,GC,HD,(不包括上端点A,B,C,D,)直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系，由题得C(),D(),当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和函数f(x)的图像有三个不同的交点，由题得.所以k的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查求函数的解析式，考查函数的零点问题，意在考查学生读这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键是求出函数f(x)的解析式作出函数的图像.(3)函数的零点问题常用的方法有：方程法、图像法、方程+图像法.二. 选择题13.“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。视频14.若函数的反函数为，则函数与的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】f（x）和f1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f（xa）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移【详解】函数f（x1）是由f（x）向右平移一个单位得到，f1（x1）由f1（x）向右平移一个单位得到，而f（x）和f1（x）关于y=x对称，从而f（x1）与f1（x1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x1，排除B，D；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得A选项有可能，C选项排除；故答案为：A【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键15.在中，角、所对的边分别为、，给出四个命题：（1）若，则为等腰三角形；（2）若，则为直角三角形；（3）若，则为等腰直角三角形；（4）若，则为正三角形；以上正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】对每一个命题逐一分析得解.【详解】(1)若，则2A=2B或2A+2B=，所以A=B或A+B=,所以ABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题是错误的.(2) 若，所以sinA=sin(,所以则不一定为直角三角形,所以该命题是错误的.(3) 若，所以A=C=，则为等腰直角三角形，所以该命题是真命题.(4)若，所以所以A=B=C,所以ABC是正三角形.所以该命题是真命题.故答案为：B【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】直接利用定义函数的应用求出结果【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合我们可以通过代入和赋值的方法当f（）=，3时，此时得到的圆心角为，然而此时x=0或者x=时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，故答案为：C【点睛】本题考查函数的定义的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三. 解答题17.已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点，其中点坐标.（1）求的值；（2）若，求点坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求出，再求的值.(2)由题得，解方程组即得点B的坐标.【详解】由题得，所以=-7.由题设B(x,y),因为是钝角，所以,所以点B的坐标为.【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.如图，某公园有三个警卫室、有直道相连，千米，千米，千米.（1）保安甲沿从警卫室出发行至点处，此时，求的直线距离；（2）保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发前往警卫室，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由解直角三角形可得C=30，在BPC中由余弦定理可得BP的值；（2）设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0t4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4t，讨论0t1时，当1t4时，分别在AMQ和AMB中，运用余弦定理和二次不等式的解法，即可得到所求结论【详解】（1）在RtABC中，AB=2，BC=2，所以C=30，在PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC22BCPCcos30=（2）2+1221=7，即BP=；（2）在RtABC中，BA=2，BC=2，AC=4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0t4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4t，当0t1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4t）2+（2t）222t（4t）cos60=7t216t+169，解得t或t，所以0t；当1t4时，乙在警卫室B处，在ABM中，由余弦定理得MB2=（4t）2+422t（4t）cos60=t26t+129，解得t3或t3+，又1t4，不合题意舍去 综上所述0t时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时【点睛】本题考查解三角形的实际问题的解法，注意运用余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题19.问题：正数、满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若实数、满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；（2）利用（1）的结论，求函数的值域.【答案】（1），且等号成立；（2）.【解析】【分析】（1）先化简=( ，再利用基本不等式求最值即得解.(2) 令再利用结论求函数的值域.【详解】=( 当时取等.令由（1）得,因为f(t)0,所以.所以函数的值域为.【点睛】(1)本题主要考查常量代换和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题的解题关键是对“1”的常量代换，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.20.定义区间、的长度均为，已知不等式的解集为.（1）求的长度；（2）函数（，）的定义域与值域都是（），求区间的最大长度；（3）关于的不等式的解集为，若的长度为6，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】解不等式得其解集即得区间长度.(2) 由题意求出f（x）的定义域并化简解析式，判断出区间的范围和f（x）的单调性，由题意列出方程组，转化为m，n是方程f（x）的同号的相异实数根，利用韦达定理表示出mn和m+n，由判别式大于零求出a 的范围，表示出nm利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和a的值(3)先求出AB（0，6），再转化为不等式组，当x（0，6）时恒成立. 分析两个恒成立问题即得t的取值范围.【详解】解不等式得其解为-1x6，所以解集A区间长度为6-(-1)=7.(2) 由题意得，函数f（x）的定义域是x|x0，m，n是其定义域的子集，m，n（，0）或（0，+）f（x）=在m，n上是增函数，由条件得，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2（a2+a）x+1=0同号相异的实数根mn=，m+n=，则=（a2+a）24a20，解得a1或a3nm=，nm的最大值为，此时，解得a=3.即在区间m，n的最大长度为(3) 因为x0,A=-1,6），的长度为6，所以AB（0，6）.不等式log2x+log2（tx+3t）2等价于又AB（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组，当x（0，6）时恒成立. 当x（0，6）时，不等式tx+3t0恒成立，得t0当x（0，6）时，不等式tx2+3tx40恒成立，即恒成立 当x（0，6）时，的取值范围为，所以实数综上所述，t的取值范围为【点睛】本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的三种不同的题目进行整理变化，灵活解答函数的最值问题和恒成立问题.21.已知定义在上的函数满足：对任意的实数都成立，当且仅当时取等号，则称函数是上的函数，已知函数具有性质：（,）对任意的实数（）都成立，当且仅当时取等号.（1）试判断函数（且）是否是上的函数，说明理由；（2）求证：是上的函数，并求的最大值（其中、是三个内角）；（3）若定义域为， 是奇函数，证明：不是上的函数； 最小正周期为，证明：不是上的函数.【答案】（1），是S函数；，不是S函数；（2）见解析，最大值；（3）见解析.【解析】【分析】(1)利用S函数的定义证明当0a1