福建闽侯二中五校教学联合体高二数学上学期期中

福建省闽侯二中五校教学联合体2017-2018学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式左边因式分解可得，从而可解不等式.【详解】因为的两根为，不等式可化为，所以不等式的解集为或，故选A.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的求解方法，意在考查对基础知识的掌握，属于简单题.2.下列结论正确的是 ()A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：当时，A不成立；当时，B不成立；令则由，可得，C不正确；若，则一定能推出，故D成立。故选D。考点：不等式的基本性质3.已知等比数列的前项和，则公比的值为()A. 1 B. C. 1或 D. 1或【答案】C【解析】【分析】等比数列中，,可得由等比数列的性质可得,从而可得结果.【详解】等比数列中，,前3项之和,整理可得,即,解得或，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.4.的内角所对的边分别为 ，已知，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由余弦定理得 （负舍），选A.5.在中，若，则该三角形的形状是( )A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用对数的运算法则可求得，利用正弦定理求得 ,根据余弦定理求得的表达式进而建立等式，整理求得,判断出三角形为等腰三角形.【详解】，,由正弦定理可得，整理得，的形状是等腰三角形，故选A.【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.6.在数列中， ，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，两式相减可得，也适合，可得，利用等比数列的求和公式可得结果.【详解】由于已知有，因此令，且当时有，由一得，此式对也适用，所以数列的通项公式为，从而，所以数列是一个以1为首项，4为公比的等比数列，故选B.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系以及等比数列求和公式，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.7.在各项都不为0的等差数列中， ，数列是等比数列，且则= ( )A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】8.的内角所对的边分别为 ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】对于，利用正弦定理可判断；对于，利用余弦定理可判断；对于，利用正弦定理结合边角大小关系可判断；对于,由正弦定理求得，再根据，可得， 可能是锐角也可能是钝角，从而可得有两个解.【详解】对于，若 ,则由正弦定理可得,求得，故有一解；对于，若 ,则由余弦定理可得,求得，只有一个解，故有一解；对于，若 ,则由正弦定理可得,求得，再根据，可得为锐角，故角只有一个，故有一解；对于，若 ,则由正弦定理可得,求得，再根据，可得，可得可能是锐角也可能是钝角，即角有2个值，故有两解，故选D.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9.已知函数 且 的图象过定点，且点在直线上，则的最小值为( )A. 2 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】【分析】由当时，可得函数过定点，于是有，,由基本不等式即可求得的最小值.【详解】 函数 且 的图象过定点，又点在直线上，(当且仅当时取“=”)，即的最小值为9，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10.已知实数x,y满足约束条件，若的最大值为12，则的最小值为( )A. -3 B. -6 C. 3 D. 6【答案】B【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，当过点时取得最大值为12，所以当过点时取得最小值为考点：线性规划问题11.等差数列的前项和为，若，且有最小值，那么以下四个结论：公差；当=18时，取得最小正值其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由等差数列的求和公式，结合二次函数的性质可得，正确；由结合，可得，故错误；由 ，可得错误；，结合，可得正确，从而可得结果.【详解】，有最小值，二次函数图象开口向上，正确；，与异号，结合，可得，故错误； ，错误；，结合，时，取最小正值，正确，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的增减性、等差数列的性质与等差数列的前 项和公式，属于中档题. 解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.12.已知函数 (0，且1)若数列满足 ，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的性质可得：函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数的单调性、分界点处两函数的单调性与整体保持一致，列出不等式组，解不等式组可得实数的取值范围.【详解】因为函数，且是递增数列，因为在上递增，所以一次函数递增，指数函数递增，且，可得，解得，所以实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、单调性以及数列的增减性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.二、填空题.13.在等比数列中，若=_.【答案】【解析】【分析】由利用等差数列的通项公式可得，且，求得首项与公差，从而可得结果.直接求解.【详解】在等差数列中，由且，解得,故答案为 .【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量运算，是基础题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.14. 的内角所对的边分别为 ，已知是公差为4的等差数列，且的最大内角为，则最大边的长度为_.【答案】14【解析】【分析】设三角形的三边分别为,结合最大内角为，利用余弦定理列方程求得，从而可得结果.【详解】设三角形的三边分别为,则,化简得,解得,所以三角形的三边分别为,的最大边的边长是,故答案为14.【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15.对于任意，都有恒成立，则实数取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将分情况进行讨论，时，显然成立，时，利用判别式小于零列不等式，解不等式组求出的范围，问题得解.【详解】时，成立，时，由题意得,解得,综合得，故答案为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题；（3）要注意讨论二次项系数是否为零.16.把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)：设 是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8若=2018，则i，j的值分别为_，_.【答案】 (1). 64 (2). 2【解析】【分析】第一行有一个数 ,第二行有两个数，第三行有三个数，第行有个数字，可得前行共有个数，是第行第2个数，从而可得结果.【详解】由题意可知，第一行有一个数 ,第二行有两个数，第三行有三个数，第行有62个数，第63行有个数63，第行有个数字，这样每一行的数字个数组成等差数列，前项的和，当时，；前行共个数，所以，是第行递2个数，的值分别为.故答案为.【点睛】本题的考点是归纳推理，以及等差数列的前项和公式,属于难题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).17.已知 ，（I）解关于的不等式；(）若关于的不等式的解集为，求实数的值【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)由可得,化为，利用一元二次不等式的解法求解即可；(2) 不等式可化为，即，由不等式的解集为，可得方程的两个根分别为，由韦达定理可得结果.【详解】(1) 即 故不等式的解集为 (2)不等式可化为即不等式的的解集为方程的两个根分别为故 ，或【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，意在考查转化与划归思想的应用以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.18.已知等差数列的公差为，且成等比数列（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和的最小值，并求此时的值.【答案】（1）（2）当的最小值为-25，【解析】【分析】（）设的首项为,运用等比中项性质以及等差数列的通项公式，可得的方程，解出 ,从而可得的通项公式；(2)结合（1），运用等差数列的求和公式可得，利用配方法和二次函数的最值，即可得结果.【详解】(1)由题意，得， 所以由 得 解得 所以，即 (2)由(1)知， 故当时，取最小值.【点睛】本题主要考查等比中项的应用以及等差数列的通项公式与等差数列的求和公式，属于中档题. 求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：将前项和表示成关于的二次函数， ，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；可根据且确定最大时的值.19. 的内角所对的边分别为 已知，（）求的大小； （）若的面积为，求的最小值【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理可得 结合 可得 ，根据辅助角公式可求解角的大小；（2）由的面积为，可得，根据余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值.【详解】(1) 由正弦定理,可得 又为的内角 ，故 .(2). 在中,由余弦定理知 当且仅当b=c=4时等号成立，此时a取最小值为4【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到20.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立，（I）证明:数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)把和相减整理求得，整理出,判断出数列是首项为6，公比为2的等比数列；（2）由（1）利用等比数列的通项公式求得，则可得的表达式；(3)把（2）中的代入 ,求得通项公式，进而利用错位相减法，结合等比数列求和公式，可求得数列的前项的和.【详解】（1）由已知得 ， 由-得：，所以 ,又得 所以是以6为首项，2为公比的等比数列 （2）由（1）得 ，即 .（3）,所以, , 由- 得 =, .【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列的通项公式、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.21.如图，在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛北偏东，俯角为的处，到11时10分又测得该船在岛北偏西，俯角为的处.(I) 求船的航行速度是每小时多少千米?()又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛有多远?【答案】(1)千米/时;(2)千米【解析】【分析】在、中利用山的高度以及俯角，确定的长，求得，最后利用勾股定理求得，用里程除以时间即可得船的速度；（2）利用 ，求得的值，利用，求得的值，进而利用正弦定理求得，从而可得结果.【详解】(1)在中， ， 所以 在中，