2003全国高中数学联赛及详细解析

2003年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分，共36分)1(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492设a，bR，ab0，那么直线axy+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是 3过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A) (B) (C) (D) 84若x，则y=tan(x+)tan(x+)+cos(x+)的最大值是 (A) (B) (C) (D) 二填空题(每小题9分，共54分)7不等式|x|32x24|x|+30的解集是 8设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|PF2|=21，则PF1F2的面积等于 9已知A=x|x24x+3mn0已知=，其中x=xx，而x表示不超过x的最大整数求这种三角形周长的最小值三、（本题50分）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，lq(q+1)2+1，q2，qN已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)2003年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025，462=2116在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数故1至2025中共有新数列中的202545=1980项还缺20031980=23项由2025+23=2048知选C3过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于 (A) (B) (C) (D) 8 【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=x，弦的中点在y=上，即AB中点为(，)，中垂线方程为y=(x)+，令y=0，得点P的坐标为 PF=选A4若x，则y=tan(x+)tan(x+)+cos(x+)的最大值是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】令x+=u，则x+=u+，当x，时，u，y=(cotu+tanu)+cosu=+cosu在u，时，sin2u与cosu都单调递增，从而y单调递增于是u=时，y取得最大值，故选C二填空题(每小题9分，共54分)7不等式|x|32x24|x|+30的解集是 【答案】(3，)(，3)【解析】即|x|32|x|24|x|+30，(|x|3)(|x|)(|x|+)0|x|，或|x|3 解为(3，)(，3)9已知A=x|x24x+3mn0已知=，其中x=xx，而x表示不超过x的最大整数求这种三角形周长的最小值【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时，=即求满足3l3m3n( mod 104)的l、m、n 3n(3ln1)0 (mod 104)(ln0)但 (3n，104)=1，故必有3ln1(mod 104)；同理3mn1(mod 104)下面先求满足3x1(mod 104)的最小正整数x j(104)=104=4000故x|4000用4000的约数试验： x=1，2，时3x1(mod 10)，而341(mod 10)， x必须是4的倍数； x=4，8，12，16时3x1(mod 102)，而3201(mod 102)， x必须是20的倍数； x=20，40，60，80时3x1(mod 103)，而31001(mod 103)， x必须是100的倍数； x=100，200，300，400时3x1(mod 104)，而35001(mod 104)即，使3x1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而ln、mn都是500的倍数，设ln=500k，mn=500h，(k，hN*，kh) 由m+nl，即n+500h+nn+500k，n500(kh)500，故n501取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值 所求周长的最小值=3003三、（本题50分）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，lq(q+1)2+1，q2，qN已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)现设任一点连的线数n2且设b0q+2n2且设图中没有四边形于是当ij时，Bi与Bj没有公共的点对，即|BiBj|1(0i，jn1)记VB0，则由|BiB0|1，得|Bi|bi1(i1，2，n1)，且当1i，jn1且ij时，Bi与Bj无公共点对从而中点对个数(Bi中点对个数)即CCC (b3bi+2)(bi)23bi+2(n1)(由平均不等式) (2lb0)23(2lb0)+2(n1)(2lb0)23(n1)(2lb0)+2(n1)2 (2lb0n+1)(2lb02n+2)(2lq(q+1)2+2(n1)(q+1)+2) (n1)(q+1)+2b0n+1(n1)(q+1)+2b02n+2 (n1)q+2b0(n1)(q1)+2b0(两边同乘以2(n1)即 (n1)(nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0)(n1q(q+1)代入)得 q(q+1)(nb0)(nb01)(nqq+2b0)(nqqn+3b0)(各取一部分因数比较) 但(nqqn+3b0)q(nb01)(q1)b0n+3(b0q+2)(q1)(q+2)n+3q2+q+1n0 (nqq+2b0)(q+1)(nb0)qb0qn+2q(q+1)n+210