云南曲靖会泽茚旺高级中学高二数学下学期期中文

会泽县茚旺高级中学2019年春季学期期中考试高二数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合，所以，由集合并集的定义可得，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点落在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】原等式两边同乘以，从而可得，进而可得结果.【详解】因为，所以，复数在复平面内对应的点为第四象限的点，故选D【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，已知老、中、青人数之比为，现用分层抽样的方法抽取容量为的样本，其中老年教师有18人，则样本容量（ ）A. 54B. 90C. 45D. 126【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的概念即可求解。【详解】依题意得，解得，即样本容量为90. 故选B【点睛】本题考查分层抽样的应用，属基础题。4.有一段演绎推理是这样的：“幂函数在上是增函数；已知是幂函数；则在上是增函数”，其结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【答案】A【解析】【分析】分别判断大前提、小前提、以及推理形式是否正确即可.【详解】因为“幂函数在上是增函数”是错误的，所以得到结论错误，结论错误的原因是大前提错误，故选A.【点睛】本题主要考查三段论的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.5.下列直线中，与函数的图象在处的切线平行的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，,函数的图象在处的切线方程为与其平行的直线可以为：故选：B点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为6.长、宽分别为，的矩形的外接圆的面积为，将此结论类比到空间中，正确的结论为（ ）A. 长、宽、高分别为，的长方体的外接球的半径为B. 长、宽、高分别为，长方体的外接球的表面积为C. 长、宽、高分别为，的长方体的外接球的体积为D. 长、宽、高分别为，的长方体的外接球的表面积为【答案】D【解析】【分析】类比为求长、宽、高分别为，的长方体的外接球的表面积即可.【详解】“矩形的外接圆的面积”在类比中对应的是“长方体的外接球的表面积”，长、宽、高分别为，的长方体的外接球的半径为，故其表面积为,故选D.【点睛】本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 46B. 48C. 50D. 52【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，求出底面及四个侧面的面积即可得结果.【详解】该几何体是如图所示的一个四棱锥，棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，4个侧面都是直接三角形，由所给数据可得该几何体表面积为，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A. B. 0C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】执行框图，依次写出每次循环所得x和y的值，并进行判断，即可得结果。【详解】输入x=11第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，；第六次循环：，退出循环，输出.【点睛】本题考查循环结构的程序框图，方法是依次写出每次循环所得x和y的值，并进行判断，属基础题。9.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则所得图象对应的函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：依据题的条件，根据函数的图像变换规律，得到相应的函数解析式，利用诱导公式化简，可得结果.详解：根据题意，将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数图像对应的解析式为，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的函数图像对应的解析式为，故选D.点睛：该题考查的是有关函数图像的变换问题，在求解的过程中，需要明确伸缩变换和左右平移对应的规律，影响函数解析式中哪一个参数，最后结合诱导公式化简即可得结果.10. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解法一：由排列组合知识可知，所求概率；解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故.【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力.11.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与圆相切，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】符合条件的渐近线方程为，与圆相切，即d=r，代入公式，即可求解【详解】双曲线C的渐近线方程为，与圆相切的只可能是，所以圆心到直线的距离d=，得，所以，故选B。【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查分析推理，计算化简的能力，属基础题。12.已知定义在上的函数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，由可得在上单调递增，由此，从而可得结论.【详解】令，则.因为当时，此时，于是在上单调递增，所以，即，故，故选C【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题.13.已知向量，则_.【答案】【解析】【分析】直接利用平面向量夹角余弦公式求解即可.【详解】因向量，所以，又因为，所以，故答案为向量.【点睛】本题主要考查向量的夹角以及数量积的坐标表示，属于基础题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.14.已知实数，满足则的最小值为_.【答案】【解析】试题分析：由数形结合得，直线经过点时，取得最小值为.考点：线性规划.15.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程.零件数（个）1020304050加工时间 62 758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为_.【答案】68【解析】试题分析：设表中有一个模糊不清数据为，由表中数据得：，由最小二乘法求得回归方程将，代入回归方程，得。考点：线性回归方程16.球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到的距离为，则球的体积为_.【答案】【解析】【分析】先求出截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的体积公式可得结果.【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，球的体积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球的性质以及球的体积公式，属于中档题.球的截面问题，做题过程中主要注意以下两点：多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了调查人们喜爱游泳是否与性别有关，随机选取了50个人进行调查，得到以下列联表：喜爱不喜爱合计男24630女61420合计302050能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为喜爱游泳与性别有关系？附表及公式： 0.0500.0100.001 3.8416.63510.828，.【答案】能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为喜爱游泳与性别有关系.【解析】【分析】由表中数据，利用公式求出的观测值，根据所给表格与临界值比较，从而可得结论.【详解】由表中数据得的观测值.，能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为喜爱游泳与性别有关系.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于基础题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.18.的内角，所对的边分别为，.已知，且.（1）求角；（2）若，且面积为，求的周长.【答案】（1）（2）15【解析】【分析】（1）由，利用两角和的余弦公式化简原式，可得，从而可得结果；（2）由，利用正弦定理可得，由的面积为，可得，求得的值，再根据余弦定理求出的值，从而可得结果.【详解】（1）由，得.，.（2），所以，由正弦定理可得.又因为的面积为，.由余弦定理得，.故的周长为.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19.设为数列的前项和，.（1）证明：数列为等差数列，并求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）见证明，；（2）【解析】【分析】（1）当时，求得，再利用等差数列的定义可得结论；（2）先由可得，由此可得，利用裂项相消法可得结果.【详解】（1）当时，当时，也满足，故.，数列是首项为7公差为4的等差数列.（2），.【点睛】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）等差数列，；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20.在如图所示的几何体中，平面，.（1）证明：平面；（2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）由余弦定理结合勾股定理可证明，利用线面垂直的性质可证明，由线面垂直的判定定理可得平面；（2）取的中点，的中点，连接，截面即为所求，由（1）可知，平面，平面， 由“分割法”利用棱锥的体积公式可得结果.详解：（1）证明：在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.（2）取的中点，的中点，连接，平面即为所求.理由如下：因为，所以四边形为平行四边形，所以，从而平面，同理可证平面.因为，所以平面平面.由（1）可知，平面，平面因为，所以，所求几何体的体积.点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体椎体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知斜率大于0且过点的直线与椭圆及抛物线自上而下分别交于，如图所示，若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得，将代入椭圆方程，结合性质 ，列出关于 、的方程组，求出 、即可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，结合韦达定理、抛物线的定义，利用可得，再将代入，利用弦长公式求出，再由可得结果.【详解】（1）的焦点的坐标为，所以，所以，解得，.所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，代入，得，设，则，因为，所以.将代入，得.设