2013年天津文科数学试题及答案(精校版)

2013年天津卷数学试题（文史类)一选择题1.（A，天津，文理1）已知集合，则（A） （B） （C） （D）2. 设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（A） （B） （C） （D）3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A） （B） （C） （D）4. 设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件5. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（A） （B） （C） （D）6. 函数在区间上的最小值为（A） （B） （C） （D）7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增若实数满足，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）8. 设函数，若实数，满足，则（A） （B） （C） （D）二.填空题9. 是虚数单位，复数_10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为，则正方体的棱长为_11. 已知抛物线的准线过双曲线（，）的一个焦点，且双曲线的离心率为，则该双曲线的方程为_12. 在平行四边形中，为的中点若，则的长为_13. 如图，在圆内接梯形中，过点作圆的切线与的延长线交于点若，则弦的长为_14. 设，则的最小值为_三.解答题15. 某产品的三个质量指标分别为，用综合指标评价该产品的等级若，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号质量指标产品编号质量指标（I）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（II）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标都等于4”，求事件发生的概率16. 在中，内角，所对的边分别为，已知，（I）求的值；（II）求的值17. 如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，分别为棱，的中点（I）证明：平面；（II）证明：平面平面；（III）求直线与平面所成角的正弦值18. 设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（I）求椭圆的方程；（II）设，分别为椭圆的左、右定点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点若，求的值19. 已知首项为的等比数列的前项和为（），且，成等差数列（I）求数列的通项公式；（II）证明（）20. 设，已知函数（I）证明在区间内单调递减，在区间内单调递增（II）设曲线在点处的切线互相平行，且证明 2013年天津卷文科数学试题及解析1、 选择题考点名称：【1】集合【1】（A，天津，文1）、D解析： 集合，所以考点名称：【16】简单的线性规划【2】（A，天津，文2）、A解析： 如图，当目标函数经过可行域内点A(5，3)时，z的最小值为-7.考点名称：【24】算法初步与框图【3】（A，天津，文3） D 根据程序框图，列表如下变量初始值第1次第2次第3次第4次s01234n1234跳出循环，输出n=4考点名称：【2】常用逻辑用语【4】（A，天津，文4） A ，而，当时，不成立考点名称：【14】直线与圆【5】（B，天津，文5）C 由已知点在圆上，则切点半径的斜率为2，过点的切线斜率为，直线的斜率为，考点名称：【6】三角函数的最值及其应用【6】（B，天津，文6）B 由已知，又在上单调递增，考点名称：【3】函数的概念及性质与不等式【7】（B，天津，文7）C 已知函数是定义在R上的偶函数，即，又函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，解得考点名称：【4】指、对、幂函数【8】（C，天津，文8）A 方法1 在R上为单调增函数， 的零点 在上为单调增函数，的零点 所以 ，则. 方法2 在同一直角坐标系下画出，的图象，易得与的交点，及与的交点，显然在上为单调增函数，又在上为单调增函数，二、填空题考点名称：【34】复数【答案】（A, 天津，文9） 考点名称：【21】空间几何体与三视图【10】（A, 天津，文10） 令正方体的棱长为，球的半径为，解得考点名称：【15】圆锥曲线及其标准方程【11】（A, 天津，文11） 由抛物线的准线方程为，且过双曲线（，）的一个焦点，即，且，解得，且，故，该双曲线的方程为考点名称：【17】平面向量的概念及其运算【12】（A，天津，文12） ABCDE 解法1 设. ， ，ABCDExy.解法2 以为坐标原点，所在直线为轴，建系如图则，设则， ，.考点名称：【37】几何证明选讲【13】（B, 天津，文13） 在圆内接梯形中，由切割线定理可知，在中，由余弦定理可知，且由弦切角定义可得，在中，可解得.考点名称：【11】不等式性质【14】（C, 天津，文14） ，则.当时，即时，当且仅当，即，且，时等号成立当时，当且仅当，即，且，时等号成立综上所述，当时，的最小值为三、解答题考点名称：【27】概率【15】（A, 天津，文15）（I）计算10件产品的综合指标，如下表：产品编号4463454535其中的有，共6件，故该样本的一等品率为，从而可估计该产品的一等品率为（II）（i）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为，共15种（ii）在该样本的一等品中，综合指标等于4的产品编号分别为，则事件发生的所有可能结果为，共6种所以考点名称：【6】三角函数的最值及其应用【16】（B, 天津，文16）（I）在中，由，可得.又由，可得，又，故由，可得（II）由，得，进而得，所以考点名称：【23】立体几何【17】（B, 天津，文17）（I）证明：如图，在三棱柱中，且，连接，在中，因为，分别为，的中点，所以且，又因为为的中点，可得，且，即四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面（II）由于底面是正三角形，为的中点，故又由于侧棱底面，平面，所以，又，因此平面，而平面，所以平面平面 （III）在平面内，过点作交直线于点，连接由于平面平面，而直线是平面与平面的交线故平面由此得为直线与平面所成的角 设棱长为，可得，由，易得. 在中， 所以直线与平面所成角的正弦值为考点名称：【16】直线与圆锥曲线【18】（C, 天津，文18）（I）设，由，知过点且与轴垂直的直线为，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又，从而，所以椭圆的方程为（II）设点，由得直线的方程为，由方程组消去，整理得求解可得，因为，所以，由已知得，解得考点名称：【20】数列的综合应用【19】（C, 天津，文19）（I）解：设等比数列的公比为，因为，成等差数列，所以，即，可得，于是又，所以等比数列的通项公式为（II），当为奇数时，随的增大而减小，所以当为偶数时，随的增大而减小，所以故对于，有考点名称：【21】导数的应用【20】（C, 天津，文20）（I）设函数，由，从而当时，所以函数在区间内单调递减，由于，所以当时，；当时，