云南高三数学第一次高中毕业生复习统一检测理

云南省2019届高三数学第一次高中毕业生复习统一检测试题 理（含解析）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则的真子集共有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数.【详解】依题意，其真子集为，只有一个真子集，故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题.2.已知为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简.【详解】依题意，原式，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.设向量，若，则（ ）A. B. -1C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据即可得出，解出即可【详解】 故选：【点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.在的二项展开式中，的系数等于（ ）A. -180B. C. D. 180【答案】D【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于6，求出的值，即可求得的系数【详解】的二项展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为.故选：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查二项展开式的特定项的系数的求法，属于基础题5.执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运行程序，计算的值，当时退出循环，求得输出的值.【详解】运行程序，判断否，判断否，判断否，以此类推，判断是，输出.故选C.【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：）为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，故体积为，故选A.【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查圆柱和长方体体积的计算，属于基础题.7.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）A. 向左平行移动个单位B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】D【解析】【分析】由题将函数可化为，将的图象转换为，再利用三角函数图像的变换求解.【详解】由题将函数可化为，将的图象转换为，该图象向右平移个单位，即可得到的图象故选：【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题8.已知，都为锐角，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用求得，由此求得的表达式，利用诱导公式化简，并利用齐次方程计算出的值.【详解】由于，所以，所以 .故选B.【点睛】本小题主要考查余弦函数的零点，考查诱导公式、二倍角公式以及齐次方程，属于中档题.9.已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于，两点，则线段的中点的纵坐标为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为的直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去，然后利用韦达定理求得中点的纵坐标.【详解】由于为圆心的圆与直线相切且经过点，根据抛物线的定义可知为抛物线的焦点，故，所以抛物线方程为.设斜率为的直线的方程为，则，代入抛物线方程得，即，所以，.即中点的纵坐标为，故选A.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.10.在中，内角，对的边分别为，平分交于点，则的面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，则，根据正弦定理表示出，即可表示出三角形的的面积，再根据三角函数的化简和正弦函数的图象和性质即可求出.【详解】设，则，平分交于点，在三角形中，由正弦定理可得，在三角形中，由正弦定理可得，面积， ， ，当时，即时，面积最小，最小值为，故选：【点睛】本题考查了正弦定理的应用和三角形函数的化简，主要考查三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，属于难题11.双曲线的焦点是，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据是有一个内角为的等腰三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化简后求得离心率.【详解】不妨设在第一象限，由于是有一个内角为的等腰三角形，故，代入双曲线方程得，化简得，解得，故.所以选C.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题.12.已知是自然对数的底数，不等于1的两正数，满足，若，则的最小值为（ ）A. -1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简，并利用导数求得最小值.【详解】依题意 ，即，由于，故上式解得，即.所以.构造函数（为不等于的正数）.，故函数在上递减，在上递增，所以最小值为.故选D.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题。13.若，满足约束条件，则目标函数的最大值等于_【答案】2【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.14.已知随机变量服从正态分布，则_.【答案】8【解析】【分析】由已知求得，再由得答案【详解】随机变量服从正态分布，则故答案为：8【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题15.已知函数，若，则_【答案】-4【解析】【分析】当时，无解；当时，由此能求出的值【详解】函数，当时，无解；当时，解得，（2）故答案为：【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.已知，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，,平面平面，则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】设的中点为，证明是球的球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】设中点为，设中点为，作出图像如下图所示，由于，,平面平面,所以,平面，故.由于，所以，.所以，故点到的距离相等，所以为球心，且球的半径为，故表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球球心的位置的求法，考查球的表面积公式，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.数列中，.（1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围【答案】（1），（2），且是正整数【解析】【分析】（1）根据已知条件，分别令和，求得的值.（2）根据判断出数列的通项公式为，利用裂项求和法求得的值，利用累加法求得的值，根据列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1），（2）由数列的通项公式是，中的一个，和得数列的通项公式是由可得，即由，得，解得或是正整数，所求的取值范围为，且是正整数【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查裂项求和法，考查累加法，属于中档题.18.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了、两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在的为优质品现从该厂生产的、两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）设500件型产品性能质量评分的中位数为，直接写出所在的分组区间；（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）； 型节排器型节排器总计优质品非优质品总计5005001000（3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为、两种不同型号的节排器性能质量有差异？附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.828【答案】（1）（2）见解析（3）有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.【解析】【分析】（1）中位数左边和右边的频率各占一半，由此判断出中位数所在区间是.（2）根据题目所给数据填写好联表.（2）计算的值，由此判断出有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.【详解】解：（1）；（2）列联表如下：A型节排器B型节排器总计优质品180140320非优质品320360680总计5005001000（3）由于所以有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.【点睛】本小题主要考查由频率分布直方图判断中位数的位置，考查列联表及独立性检验，属于基础题.19.在四棱锥中，四边形为菱形，且，分别为棱，的中点（1）求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成二面角的正弦值【答案】（1）见证明（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，先证明，即证平面；（2）连接，设，连接，连接. 分别以，为轴，轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.再利用向量方法求平面与平面所成二面角的正弦值为.【详解】（1）证明：设的中点为，连接，.，分别是，的中点，且.由已知得，且.，且.四边形是平行四边形.平面，平面，平面.（2）连接，设，连接，连接.设菱形的边长为，由题设得，平面，分别以，为轴，轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设得，.设是平面的法向量，则，化简得，令，则，.同理可求得平面的一个法向量.平面与平面所成二面角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理转化能力.20.已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个（1）求椭圆的方程；（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，且，比较与的大小【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知设椭圆的方程为，由已知分析得，解得，即得椭圆的方程为.（2）先证明直线的斜率为0或不存在时，.再证明若的斜率存在且不为0时，.【详解】（1）根据已知设椭圆的方程为，.在轴上方使成立的点只有一个，在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点.当点是短轴的端点时，由已知得，解得.椭圆的方程为.（2）.若直线的斜率为0或不存在时，且或且.由，得.若的斜率存在且不为0时，设：，由得，设，则，于是 .同理可得.综上.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求证：函数只有一个零点，且；（3）用表示，的最小值，设，若函数在上为增函数，求实数的取值范围【答案】（1）（2）见证明（3）【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程为.（2）先计算得，所以存在零点，且.再证明在上是减函数，即得证函数只有一个零点，且.(3)由题得，在为增函数在，恒成立，即在区间上恒成立. 设，只需证明，再利导数求得的最小值，.【详解】（1），切线的斜率，.函数在点处的切线方程为.（2）证明：，存在零点，且.，当时，；当时，由得.在上是减函数.若，则.函数只有一个零点，且.（3）解：，故，函数只有一个零点，即.在为增函数在，恒成立.当时，即在区间上恒成立.设，只需，在单调减，在单调增.的最小值，.当时，由上述得，则在恒成立.综上述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线的方程的求法，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知常数是实数，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出的普通方程与的直角坐标方程；（2）设曲线与相交于，两点，求的最小值【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为（2）8【解析】【分析】（1）将的参数方程消去，得到的普通方程.对的极坐标方程两边乘以，由此求得的直角坐标方程.（2）联立的直角坐标方程，写出韦达定理，然后根据弦长公式求得的表达式，进而求得的最小值.【详解】（1）的普通方程为的直角坐标方程为（2）设，则由得，当时，的最小值等于8【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查弦长公式，属于中档题.23.选修4-