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共焦椭圆的对称性广东省东源县东源中学 黄志谋邮编517500 电话(0762)8638900数学的地位很特殊，最早它就不是作为一门“关于自然的学科”而提出的，现在它的应用范围也决不限于自然或工程领域。传统的社会科学如经济学、政治学、管理学等，都因为引入数学工具和数学思维方法而变得更加理性、更加可靠。现代的社会可以说是数学的社会，数学从来没有像在今天一样具有这么大的统治力。在圆锥曲线里面，很多图形都可以给我们于美的享受。现从另方面谈谈共焦的两个椭圆的对称性。设两椭圆： ( 1 ) (2) 上图(1),(2)分别是同焦距，焦点分别在x轴和y轴上的两个椭圆。1、自身对称：如，用图象关于y轴对称。同理可证得图象关于X轴对称。由此可知图象关于（0，0）中心对称。 2、把等焦的两个椭圆，图（1）、（2）放在同一坐标上，可得到以下效果。 现对同一坐标的两图进行讨论：联立方程，由此不能认为此公共解是一个圆的轨迹。如图象可以看出联立方程到后得到结果只是四个孤立的点：A、B、C、D。 由,解得:两椭圆交点为:A与B，C与D都关于y轴对称。A与D，B与C都关于x轴对称。A与C，B与D都关于（0，0）成中心对称。 3、A、B、C、D四点到圆点的距离都为，所以这四点共一个圆上，并把该圆弧四等分。如图（4） 可以看出，圆的内接矩形中面积最大的是正方形ABCD。那么正方形ABCD是否是椭圆内接矩形中面积最大的？我们可以给出证明：如图（5）可知内接矩形的面积为当且仅当。即，正方形ABCD面积为所以可得：椭圆的内接矩形中，面积最大的是正方形ABCD，正方形ABCD又是两等焦椭圆相交的四个点确定的圆的内接正方形。3、相交时除了公共部分，剩下的是一个漂亮的四片花瓣，这四片花瓣面积，大小，形状都相等。而且左右，上下，分别关于x轴和y轴对称，整体是中心对称的。如图（6）数学中综合了人类思维的理性之美，以及大自然
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