关于重庆高级“二诊”理科数学第22题第Ⅱ小题的错误分析 人教_第1页
关于重庆高级“二诊”理科数学第22题第Ⅱ小题的错误分析 人教_第2页
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关于重庆市高2007级“二诊”理科数学第22题第()小题的错误分析（一）问题提出重庆市高2007级“二诊”理科数学第22题：已知函数。（）求在上的极值；（）若对任意，不等式成立，求实数的取值范围；（）若关于的方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围。本题一经出来，第（）问立即引发巨大争议。下面是命题组给出的参考解答：（）由得或，设依题意知或在上恒成立，与都在上单调递增，要使不等式成立，当且仅当或，即或。下面给出本题的另一解法：（）即为：而要使原不等式在上恒成立，只要与不同时为零。当时，此时，只要 。故实数的取值范围为。上面两个解法，哪个正确？（二）问题分析第一个解法运用了高一（上）教材第15页结论：“一般地，不等式的解集是；不等式的解集是”进行变形，得到不等式，貌似等价变形。殊不知忽略了极为重要的条件：！该变形是非恒等变形！此为错一。有教师说，该结论即便去掉条件，不等式仍然成立，在这里是无限制充要条件。这一说法似乎有些道理。本人认为不妥，理由有二：当时，不等式解集由实数的性质显然为R，的解集为，何须再解？当时同样这样思考。这与数学固有的简洁美是相统一的；其二，数学结论有其产生的背景和过程，与的产生过程你清楚吗？它有不有隐含的一些东西？要不，你也许不会犯这样的错误。我们认为，不等式与的解集本质上就是利用绝对值的定义：（当然，课本是利用绝对值的几何意义来推导的）：如果注意不到这一点，就当然要出问题了。此为错二。基于以上两点，我们来讨论本题的正确解法。（三）问题解决1、在运用结论“一般地，不等式的解集是；不等式的解集是”时，关注条件。当你得到不等式后，是不是该考虑或者的符号了呢？由此我们产生了前面的第二个解法！2、充分考虑绝对值的定义，适当调整解法一，产生如下解法：解：（）由得或，设，与都在上单调递增。且，在同一坐标系下作出的图象（如图）。由图示知，当时，不等式在上恒成立；当时，不等式在上恒成立；当时，对任意的，若，由有不等式成立；若，由有不等式成立。即对任意的，不等式必有之一成立。综上可知，实数的取值范围为。注：上面解法中，仅根据图形直观应用了，应加以证明。我们在这里从略。（四）结语数学学科，无论是新课还是复习课，都要注意知识的发生过程；命题的限制条件对解题的制约作用，是学生的“易错点”，也是数学教学的难点，还是高考中的常
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