云南陆良高三数学第二次适应性考试文

陆良县2019届高三毕业班第二次适应性考试文科数学试题卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用补集的定义求.【详解】由补集的定义得.故选：B【点睛】本题主要考查补集求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知复数满足,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】由，得故选：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3.已知命题，那么是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定解答.【详解】由全称命题的否定得是.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为 ，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）A. 6B. 7C. 10D. 16【答案】C【解析】【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数，由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，从而得解【详解】由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10故选：【点睛】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题5.已知，且，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先通过已知求出，再利用平方关系求的值.【详解】因为，所以.因为，且，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查二倍角公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用指数函数y=2x、y=0.5x及对数函数y=log2x的单调性，即可比较出三个数的大小详解：00.521，20.51，log20.50，abc，故选：C点睛：本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键7.设函数的最小正周期为，且 ，则 ( )A. 在上单调递减B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递增【答案】A【解析】分析】先利用辅助角公式将函数解析式化为，然后根据题中条件求出与的值，得出函数的解析式，然后分别就与讨论，并求出的范围，结合余弦函数的单调性得出答案。【详解】由于，由于该函数的最小正周期为，得出，又根据，以及，得出因此，若，则，从而在单调递减，若，则，该区间不为余弦函数的单调区间，故都错，正确故选：A。【点睛】三角函数问题，一般都是化函数为形式，然后把作为一个整体利用正弦函数的性质来求求解掌握三角函数公式（如两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角关系，诱导公式等）是我们正确解题的基础。8.已知双曲线 的左右焦点为,过左焦点作垂直于轴的直线交 双曲线的两条渐近线于两点，若是直角，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出,再化简即得双曲线的离心率.【详解】联立得，所以，因为是直角，所以，所以所以.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】分别取棱、的中点、，证明平面平面，从而动点的轨迹所形成的区域是平面，再求面积得解.【详解】如图，分别取棱、的中点、，则，平面平面，点在正方体内部或正方体的表面上，若平面，动点的轨迹所形成的区域是平面，正方体的棱长为1，到的距离，动点的轨迹所形成的区域面积：故选：【点睛】本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，并判断出位置关系，判断出几何体的外接球的球心位置，从而求出外接球的半径，代入求的表面积公式求解即可【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：底面是一个直角三角形，是的中点，平面，且、，几何体的外接球的球心是，则球的半径，即几何体的外接球表面积，故选：【点睛】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体、确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力11.已知点，过抛物线上一点的直线与直线垂直相交于点，若，则的横坐标为( )A. B. 2C. D. 1【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义，结合，即可求出点的横坐标【详解】由题意，可知，过抛物线上一点的直线与直线垂直相交于点，的横坐标为，故选：【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础12.已知关于的方程有2个不相等的实数根，则的取值范围是( ).A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分离参数得有2个不相等的实数根，利用导数分析即得k的取值范围.【详解】分离参数得,设，所以函数的减区间为（），增区间为，所以函数f(x)的最小值为.因为有2个不相等的实数根，所以.故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平分析推理能力.二、填空题.13.已知向量，若，则的值为_【答案】【解析】【分析】直接利用向量垂直的坐标表示求解.【详解】因为，所以-1+2m=0，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.如图，点是的边上一点，_。【答案】【解析】【分析】由已知及余弦定理可求，结合范围，即可求得，求得，利用正弦定理即可得解的值【详解】，由余弦定理可得：，由正弦定理可得：故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题15.若点（其中）为平面区域内的一个动点，已知点, 为坐标原点，则的最小值为_ 。【答案】13【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部根据题意，将目标函数对应的直线进行平移，由此可得本题的答案【详解】点坐标为，点坐标为，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的区域，其中，可得，将直线进行平移，可得当经过点时，目标函数达到最小值，故答案为：13【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了向量的数量积、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题16.已知函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用二次函数的图像和性质，结合对数函数的图像和性质分析得到实数a的取值范围.【详解】因为二次函数在区间上单调递减，所以a0.由x+20，所以x-2.所以.故a的取值范围为.【点睛】本题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列的前n项和满足，其中. （）证明：数列为等比数列；（）设，求数列的前n项和.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义证结论，（2）根据分组求和法（一个等比数列与一个等差数列和）求数列的前项和详解：解：（），当时，解得；当时，由-得，由得，故是首项为，公比为的等比数列（）由（）知，则的前项和，点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型（如 ）18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（）写出的值；试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率.【答案】（）；870人 （）【解析】【分析】（）根据频率频率直方图的性质可求得的值；由分层抽样求得初中生有60名，高中有40名，再求阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数再求和即得解；（）利用古典概型的概率公式求至少抽到1名高中生的概率.【详解】（）解：由频率直方图的性质，所以，由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人，同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，学生人数约有人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人.（）解：记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件， 初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人.高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人. 记这3名初中生为，这2名高中生为，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：，而事件的结果有7种，它们是，所以.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查分层抽样和古典概型的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，BAD=60，M是PD的中点 （）求证：OM平面PAB；（）平面PBD平面PAC；（）当三棱锥CPBD的体积等于 时，求PA的长【答案】（）见证明；（）见证明（）【解析】【分析】（）先证明OMPB，再证明OM平面PAB; （）先证明BD平面PAC，再证明平面PBD平面PAC；（）根据求出PA的长.【详解】（）证明：在PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点，所以OMPB又OM 平面PAB, PB平面PAB，所以OM平面PAB （）因为底面ABCD是菱形，所以BDAC因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD又ACPA=A，所以BD平面PAC又BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC （）因为底面ABCD是菱形，且AB=2，BAD=60，所以 又 ，三棱锥的高为PA，所以 ，解得 【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查体积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆的离心率为,点在椭圆上直线过点，且与椭圆 交于，两点，线段的中点为（I）求椭圆的方程； （）点为坐标原点，延长线段与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说明理由【答案】（）（）见解析【解析】【分析】（I）根据已知得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（）先讨论当直线与轴垂直时，直线的方程为 满足题意.再讨论直线与轴不垂直，设直线，先计算出，再根据求出此时直线的方程.【详解】解：（I）由题意得,解得. 所以椭圆的方程为 （）四边形能为平行四边形（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为 满足题意（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然.设，将代入得， 故，于是直线的斜率，即由直线，过点，得，因此的方程为设点的横坐标为由得，即 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是由，得满足 所以直线的方程为时，四边形为平行四边形综上所述：直线的方程为或 .【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数.（）若曲线在点处的切线经过点（0,1），求实数的值；（）求证：当时，函数至多有一个极值点；【答案】（）（）见证明【解析】【分析】（）利用导数的几何意义求实数a的值；（）对a分两种情况讨论，利用导数证明函数至多有一个极值点.【详解】解：（）由，得所以，. 所以由得. （）证明：当时，当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，则.由得，则当，即时，在上单调递减，所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点.所以函数在上至多有一个极值点.当，即时，及随的变化情况如下表：x+0-极大值因为，所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点. 所以函数在上至多有一个极值点.综上，当时，函数在定义域上至多有一个极值点【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上（）求的值和直线的直角坐标方程及的参数方程；（）已知曲线的参数方程为，（为参数），直线与交于两点，求的值【答案】（），的直角坐标方程