数学建模深洞

数学建模 课程设计报告 系(部、中心) 姓名 学号 专业班级 提交时间 成绩 教师签名 1 摘要 在探险采矿等活动中, 经常会碰到比较深的洞. 为了探索的安全和事前的准备. 这 时候, 就需要估算深洞的深度. 常常我们不会带复杂的精密仪器出入山林. 所以, 碰到 这种情况, 需要我们用简单的仪器粗略的计算出深洞的深度. 本模型利用秒表和石头等常见的物品做试验, 再作出各种合理的假设, 运用物理知 识和微积分估算出各假设下的洞深. 讨论了不考虑空气阻力及考虑空气阻力等三种况. 还进一步考虑了回声的作用. 建立微分方程模型并逐一计算得出各种情况下的洞深. 关键词: 洞深, 空气阻力, 回声, 微积分 2 目录 一、提出问题. 3 二、问题分析. 3 三、模型假设. 4 四、符号说明. 4 五、模型的建立与求解.5 六、结果分析和检验.8 七、讨论模型的评价、改进和推广.9 参考文献.10 3 一、问题适述 假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器, 你出于好奇心想用扔 下一块石头听回声的方法来估计洞的深度. 假定你捡到一块质量是 1KG 的石头, 并准 确的测定出听到回声的时间 T=5S. 就下面给定情况, 分析这一问题, 给出相应的数学 模型并估计洞深. 1、不计空气阻力. 2、受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度成正比. 比例系数 k1=0.05. 3、受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比. 比例系数 k2=0.0025. 4、在上述三种情况下, 如果再考虑回声传回来所需要的时间. 二、问题分析 这个问题就是物理中的自由落体, 通过自由落体算出洞的深度则需要知道石头从 洞口落到洞底所用的时间. 石头是否落到了洞底则需要从石头撞击洞底传来的回声来 判断. 通过物理知识, 我们知道石头下落过程中会受到空气的阻力来阻碍石头下落, 但是 空气阻力的大小我们并不清楚, 而且计算方法我们也并不清楚, 这就需要我们做出假 设. 通过物理知识, 我们知道声音的传播也是有速度的. 所以回声从洞底传递到测量者 耳朵是需要一小段时间的. 如果洞不深的话, 回声传播的时间会很小, 可以忽略. 但如 果很深的话, 忽略会对计算结果产生很大的误差. 因此石头下落过程中会受到空气的阻力和声音传递到测量者耳朵的时间这两个因 素必须考虑在内. 4 三、模型假设 基于上述分析, 作以下假设. 1.石头落下是作自由落体运动, 测量者并未给其一个初始速度. 并且石头下落过程 中没有碰到任何障碍物. 石头落下的地方能够代表洞底的那一平面, 并且能够发出声 响. 2.测量者在听到第一声回声响起时就马上按下计算器, 不存在反应时间. 且声波在 洞中传递的速度不变. 3.石头下落过程所受空气阻力只与下落速度 v 有关系, 假设三种情况: (1)不计空气阻力. (2)阻力与 v 成正比, 比例系数 k1=0.05. (3)阻力与 v2成正比, 比例系数 k2=0.0025. 4.在上述三种情况下, 考虑回声传回所需的时间. 四、符号说明 h 洞深 m 石头的质量, 为 1Kg T 从开始落下到测出回声的时间 g 重力加速度, 取 10m/s2 v 石头下落的速度 k1 比例系数 k2 比例系数 va 声波传递的速度,取 340m/s T1 石头落到洞底的时间 5 T2 回声从产生到测量者听到的时间 五、模型的建立与求解 1:当不计空气阻力时, 求解洞深 h. 解: 由伽利略的落体定律, 不考虑回声传回的时间和空气阻力, 易知: 2 1 2 hgT 可以求得: h=125m. 2: 如果石块下落时受到空气阻力, 且空气阻力与石块下落速度成正比, 比例系数 k1=0.05 时, 求解洞深 h. 解: 由Fma ,选向下为正, 建立微分方程如下: 1 111 , kdvdv mgk vmk vg k dtdtm 1 11111 1 ln()() k dvdv gk vk dtdgk vd k tC dtgk v 111 ln()gk vk tC , 初始条件: 0 ( )0 t v t 1 1 1 ln(1) k t g Cgve k 111 222 00 111111 0 (1)() T tT k tk tk T gggggg hvdtedtTeTe kkkkkk 代入数据可求得: h=115m. 6 3: 如果受空气阻力, 并假设空气阻力与石块下落速度的平房成正比, 比例系数 k2=0.0025, 求解洞深 h. 解: 建立微分方程如下: 由Fma , 选向下为正. 22 2 222 , kdvdv mgk vmk vg k dtdtm 2 122 2222 2 2 2 1 ln() 2 k dvk vgdv gk vk dtddk tC dtgk vgk vg 2 22 2 1 ln 2 k vg k tC gk vg , 初始条件: 2 0 ( )0,0 t v tC 令: A= , B=2; 2 2 2 2 221 (1)1 (1) Bt BtBt gk t ggAe vAA kee ke 可得: h = = Adt =Adt =(At+2Bln) =AT+2Bln 代入数据编程求解得: h=114m. 4:在不计空气阻力情况下, 考虑回声传回所需的时间后, 对 3-1, 3-2, 3-3 再一次求 7 解. 解: (1)在不计空气阻力的情况下, 考虑回声传回的时间 2 1 2 12 1 2 2 () aa a hgt hh hv tT vh gv ttT 代表声速，由方程解出 代入数据编程求解得: h=109.4m. (2)在石块下落时受到空气阻力, 且空气阻力与石块下落速度成正比, 比例系数 k1=0.005 的情况下, 考虑回声传回时间, 列得方程组如下: 1 1 1 22 1111 11 22 1212 ( ) ( ),( )( ) k t a ggg hte kkkhf t hv thg tf gfhghT ttTttT 物理意义保证函数的单调性，则 利用 MATLAB 计算 X=solve(x+3000+20*x/34=4000*2.7(-0.25+0.05*x/340),x) X=106.71125398368799763210014510673 h=106.7m. (3)在受空气阻力, 并假设空气阻力与石块下落速度的平房成正比, 比例系数 k2=0.0025 的情况下, 考虑回声传回时间, 列得方程组如下: , A=,B=2 利用 MATLAB 计算 X=solve(x=63(5-x/340)+2*63/0.316*(log(2.7(0.316*5x/340)+1)-log(2*2.7(0.316*5-0.316* x/340),x) X=101.86825754949506384343423952243. h=101.9m. 8 六、结果分析和检验 一、不考虑回音的情况 1.不计空气阻力, 不考虑回声传播时间 计算得洞深 h=125m 误差分析: 不计空气阻力算的结果 125m 与考虑空气结果 115m 相差 10m, 而实 际上空气阻力肯定是存在的, 所以结果不精确. 2.受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度成正比. 比例系数 k1=0.05, 不考 虑回声传播时间 计算得洞深 115m. 误差分析: 假设阻力与 v 成正比所得结果 115m, 与假设阻力与 v2成正. 比所得结果 114, 相差 1m, 比例数值是没有根据的取值的, 不是很精确. 3.受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比. 比例系数 k2=0.0025 , 不考虑回声传播时间 计算得洞深 114m. 误差分析: 假设阻力与 v 的平方成正比所得结果 115m, 但比例数值是没有根据 的取值的, 不是很精确. 以上三种模型都没有考虑回音的问题, 不考虑声音从洞底到人耳的时间, 所以 结果都不是很精确. 为了得到更准确的结果, 我们把回音的情况考虑进去. 取音速 为 340m/s, 声音从洞底到人耳的时间为 0.338s. 带入模型一计算, 得 h=100.7m, 与 h=114m 相差 14.2%. 可看出不考虑回音对结果影 响较大, 以上结果都不合理. 二、考虑回音 考虑回音的情况下, 如不考虑空气阻力, 问题如模型一, 所以不能忽略一定存在的 空气阻力. 考虑空气阻力时, 空气阻力与石头速度 v 的关系系数的确定影响结果的精确 度, 应该综合考虑各种外在因素. 让求得的结果更精准. 9 七、讨论模型的评价、改进和推广 1.模型的评价 优点: 本模型对提出的深洞探测问题采用了微分方程建立了石子下落的动态模型, 考虑 了不计空气阻力的情况、 受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度成正比, 比例 系数 k1=0.05 的情况和受空气阻力, 并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比, 比例系数 k2=0.0025 的情况以及在这三种情况下考虑回音因素 6 种假设, 逐步增加约束 条件, 使问题由浅至深逐步解决, 利用物理知识和微积分方程知识求解, 并用 MATLAB 求出了方程的结果, 求解过程科学合理, 结果准确无误. 缺点： 1. 在假设 3-1 中不考虑空气阻力是不合理的。 。 2. 3-2、3-3 中比例系数的确定不合理. 3. 考虑音速时, 没有考虑音速在深洞中的具体数值. 4. 物体的形状没有描述, 没有考虑物体的形状对空气阻力的影响. 5. 没有考虑温度等其他因素对模型的影响. 2.模型的改进： 1.把石头换成圆形的铁球或者其他球形物体. 2.具体测量深洞中的音速. 3