函数三求函数的值域人教

函数三 求函数的值域【课 题】函数（3）求函数的值域【教学目标】掌握求函数值域的基本方法；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.【教学重点】值域的求法【教学难点】二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.【教学过程】一、 复习引入函数的三要素是什么？它们之间的关系如何？二、 例题分析（一）几种常见函数的值域【例1】 求下列函数的值域：y=3x+2(1x1)；+1(x0)；y=|x+1|+|x2|.分析：求函数的值域就是求由定义域和对应法则确定的函数y的取值范围，对应法则相同，不同的定义域对应不同的值域.解：1x1，33x3，13x+25，即1y5，函数y的值域是1，5.说明：此法由定义域，通过观察、凑配，直接得出y的范围，可称为观察法.4x30，y=，由反比例函数的值域知，y，值域是y|y.说明：此法通过将分式的分子常数化，再利用已知反比例函数的值域，从而得出函数的值域，一般称为分离常数法.x0，y=x+1=3，值域是3，+).注意：下面的解法是错误的（为什么？）：x0，y=x+1=，值域是1，+).说明：此法通过配方，利用函数的极值得出值域，称为配方法或极值法.x2+x+1=(x+)2+0恒成立，函数的定义域R，原式可化为y(x2+x+1)= x2x+1，整理得(y1)x2+(y+1)x+y1=0，若y=1，即2x=0，则x=0；若y1，xR，即有0，(y+1)24(y1)20，解得y3且 y1.综上可得函数是值域是y|y3.说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.令u=0，则x=2u2，原式可化为y=2u2+u=(u)2+，u0，y，函数的值域是（，.说明：此法通过换元将根号脱去，对于含根号的无理函数较常用，一般称为换元法.法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（右图），由图象可知，函数的值域是y|y3.法2：函数y=|x+1|+|x2|表示数轴上的动点x到两定点1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+).说明：两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.（二）二次函数在给定区间上的值域（最值）的求法【例2】 求下列函数的最大值、最小值与值域：y=x22x1；y=x22x1，x0，3；y=x22x1，x2，0；y=x22mx1(m为常数)，x0，2.解：y=x22x1=(x1)22，顶点为(1，2)，顶点横坐标为1.抛物线的开口向上，函数的定义域R，x=1时，ymin=2 ，无最大值；函数的值域是y|y2.顶点横坐标10，3，当x=1时，y=2；x=0时，y=1；x=3时，y=2，在0，3上，ymin=2，ymax=2；值域为2，2.顶点横坐标12，0，当x=2时，y=7；x=0时，y=1，在2，0上，ymin=1，ymax=7；值域为1，7.y=x22mx1=(xm)2m21，顶点为(m，m21)，顶点横坐标为m.若a0，则函数在0，2上递增，当x=0时，ymin=1，当x=2时，ymax=34a；此时函数的值域是1，34a.若a2，则函数在0，2上递减，当x=0时，ymax=1，当x=2时，ymin=34a；此时函数的值域是34a，1.若0a2，则再分成两个对称区间讨论（否则最大最小值难确定）： 若0a1，则x=a时，ymin=a21，x=2时，ymax=34a；此时函数的值域是a21，34a；若1a2，则x=a时，ymin=a21，x=0时，ymax=1；此时函数的值域是a21，1.说明：对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)，若定义域为R时，若a0，则当x=时，其最小值；若a0）时或最大值（a0恒成立(为什么？)，函数的定义域为R，原函数可化为2yx24yx+3y5=0，由判别式0，即16y242y(3y5)=8y2+40y0(y0)，解得0y5，又y0， 00， 值域为00恒成立，原函数可化为2yx24yx+3y6=0，由0解得0y6，又 y0，0y6.，y1，无最大最小值，值域为y| y1.y=x2+3x2=，顶点为，又x1，3，顶点横坐标1，3，f(1)=0，f()=，f(3)=2，ymin=2，ymax=2、0y0，得f(a)=2a|a+3|=a23a+2=(a+)2+(1a)，二次函数f(a)在1，上单减，f(a)min=f()=；f(a)max=f(1)=4，f(a)的值域是，4.说明：二次函数的有关知识应熟练掌握、加深理解.3、设，去分母整理得yx2ax+(yb)=0，